La raison pour laquelle la méthode des différences donne le Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres est : Propriété : si un nombre d divise deux nombres a et b, (avec a > b), alors ce nombre d divise aussi la différence a – b (et aussi la somme a + b). Pour présenter les calculs de la méthode des différences au Brevet : PGCD (378 ; 108) : 378 – 108 = 270 270 – 108 = 162 162 – 108 = 54 108 – 54 = 54 54 – 54 = 0 donc PGCD (270 ; 108) = 54. b) Algorithme d'Euclide (méthode des divisions) Propriété : si un nombre d divise deux autre nombres a et b, alors d divise aussi le reste r de la division euclidienne de a par b : a=b×q+r . Méthode des divisions pour trouver le PGCD de a et b, (avec a > b) : • on fait la division euclidienne a par b : a=b×q+r • on divise ensuite le diviseur b et le reste r ; • on recommence l'étape précédente jusqu'à obtenir un reste nul ; • le PGCD de a et b est le dernier reste non nul. ; Exemple : trouve le PGCD de 224 et de 20 par la méthode des divisions successives : 224 = 80 x 2 + 64 (avec 64 < 80) ; 80 = 64 x 1 + 16 (avec 16 < 64) ; 64 = 16 x 4 + 0 (avec 0 < 16) donc le PGCD de 224 et de 80 est 16. c) Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles Définition : on dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Définition : on dit qu'un nombre entier est premier s'il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les nombres premiers sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; … Définition : on dit qu'une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemple : * 26 13×2 = donc 26 et 49 n'ont pas de diviseur commun, donc 49 7×7 26 et 49 sont premiers entre eux donc * 26 est une fraction irréductible. 49 18 2×9 18 2 = = . : le PGCD de 18 et de 45 est 9, donc on peut simplifier : 45 5×9 45 5