DIVISION EUCLIDIENNE ET DECIMALE Activité 1, polycopié I) Division euclidienne Vocabulaire : strictement inférieur (ou supérieur) à un nombre signifie qu’il est plus petit (ou plus grand) que ce nombre et ne peut pas lui être égal. Déf : effectuer la division euclidienne d’un nombre entier appelé dividende, par un nombre entier différent de zéro appelé le diviseur, revient à trouver deux nombres entiers, appelés le quotient et le reste, vérifiant : Dividende=(diviseur×quotient)+reste, et le reste est strictement inférieur au diviseur. Exemple : Avec 180 crayons, on peut faire au maximum 22 paquets de 8 crayons (car 8×22<180<8×23) et il restera 4 crayons 1 8 0 8 On peut écrire l’égalité : 1 6 2 2 180=(8×22)+4 (on a bien 4<8) quotient 2 0 − 1 6 4 reste Ex 1−2−3−6 p 51, ex 1 polycopié II) Multiples et diviseurs- Critères de divisibilité 1) Définition Définition : On dit qu’un nombre entier (par exemple 7) est un diviseur d’un autre nombre entier (par exemple 42) lorsque le reste de la division euclidienne de 42 par 7 est égal à 0. On dit aussi que 42 est divisible par 7 ou que 42 est un multiple de 7 Exemple : 52=(4×13)+0=4×13. On peut dire : 13 (ou 4) est un diviseur de 52 52 est divisible par 13 (ou 4) 52 est un multiple de 4 (ou de 13) 14 = 4×3,5 mais 4 n’est pas un diviseur de 14 car le reste de la division euclidienne de 14 par 4 est 2 ! Ex 7 p 51 2) Critères de divisibilité • Un nombre entier est divisible par 2 (ou est un multiple de 2) lorsque son chiffre des unités est égal à 0, 2, 4, 6, 8 et seulement dans ces cas. On dit alors que le nombre est pair, sinon il est impair. Exemple :336 est divisible par 2 car son chiffre des unités est égal à 6 : 336=2×168 ex 2 polycopié a)b) puis activité 3 polycopié • Un nombre entier est divisible par 4 (ou est un multiple de 4) lorsque le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4 et seulement dans ce cas. Exemple :1148 est divisible par 4 car il se termine par 48et 48 est divisible par 4 :48=4×12 • Un nombre entier est divisible par 5 (ou est un multiple de 5) lorsque son chiffre des unités est égal à 0 ou 5 et seulement dans ces cas. Exemple :228 n’est pas divisible par 5 car son chiffre des unités n’est ni égal à 0 ni à 5. Ex 1 c) d) polycopié puis activité 2 polycopié • Un nombre entier est divisible par 3 (ou est un multiple de 3) lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3 et seulement dans ce cas. 1 • Un nombre entier est divisible par 9 (ou est un multiple de 9) lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9 et seulement dans ce cas. Exemple :34872 est divisible par 3 car 3+4+8+7+2=24 et 24 est divisible par 3 (24=3×8) Mais il n’est pas divisible par 9 car 24 n’est pas divisible par 9. Ex 1 e) f), ex 3 polycopié puis activité 4 polycopié III) Division décimale Définition: 3× ?=5 Ce nombre ? est appelé quotient de 5 par 3, est le résultat de la division décimale de 5 par 3. Il est noté 5÷3 ou 5 3 Sa valeur décimale est soit une valeur exacte, soit une valeur approchée. Exemple : 27,6 est la valeur décimale exacte du quotient de 138 par 5 (on obtient un reste égal à zéro).138 :5=27,6 Par contre, 92 :11 n’a pas de valeur décimale exacte. Dans ce cas ; 8 92 2 92 :11 ou 11 2 :7 ou 7 8÷3 ou 3 Valeur exacte Valeur affichée par la calculatrice Encadrement à l’unité près Valeurs approchées à l’unité près 2<2,666<3 par défaut : 2 par excès : 3 Encadrement au dixième près 2,6<2,666<2,7 Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6 par excès : 2,7 8<8,363<9 par défaut : 8 par excès : 9 8,3<8,3636<8,4 par défaut : 8,3 par excès : 8,4 0<0,285<1 par défaut : 0 par excès : 1 0,2<0,2857<0,3 par défaut : 0,2 par excès : 0,3 Remarque : par facilité, on a fait une troncature des nombres au millième, c’est-à-dire qu’on a gardé tous les chiffres jusqu‘au millième et « coupé » le reste. Ex 4-5-6-7 polycopiés, ex 37 p 54 2 Valeur exacte 8 8÷3 ou 3 Valeur affichée par la calculatrice Encadrement à l’unité près Valeurs approchées à l’unité près 2<2,666<3 par défaut : 2 par excès : 3 Encadrement au dixième près 2,6<2,666<2,7 Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6 par excès : 2,7 Valeur exacte 8 8÷3 ou 3 Valeur affichée par la calculatrice Encadrement à l’unité près Valeurs approchées à l’unité près 2<2,666<3 par défaut : 2 par excès : 3 Encadrement au dixième près 2,6<2,666<2,7 Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6 par excès : 2,7 Valeur exacte 8÷3 ou 8 3 Valeur affichée par la calculatrice Encadrement à l’unité près Valeurs approchées à l’unité près 2<2,666<3 par défaut : 2 par excès : 3 Encadrement au dixième près 2,6<2,666<2,7 Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6 par excès : 2,7 Valeur exacte 8 8÷3 ou 3 Valeur affichée par la calculatrice Encadrement à l’unité près Valeurs approchées à l’unité près 2<2,666<3 par défaut : 2 par excès : 3 Encadrement au dixième près 2,6<2,666<2,7 Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6 par excès : 2,7 Valeur exacte Valeur affichée par la calculatrice Encadrement à l’unité près Valeurs approchées à l’unité près 8÷3 ou 8 3 2<2,666<3 par défaut : 2 par excès : 3 Encadrement au dixième près 2,6<2,666<2,7 Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6 par excès : 2,7 92 92÷11 ou 11 8<8,363<9 par défaut : 8 par excès : 9 8,3<8,3636<8,4 par défaut : 8,3 par excès : 8,4 92 92÷11 ou 11 8<8,363<9 par défaut : 8 par excès : 9 8,3<8,3636<8,4 par défaut : 8,3 par excès : 8,4 92 92÷11 ou 11 8<8,363<9 par défaut : 8 par excès : 9 8,3<8,3636<8,4 par défaut : 8,3 par excès : 8,4 92 92÷11 ou 11 8<8,363<9 par défaut : 8 par excès : 9 8,3<8,3636<8,4 par défaut : 8,3 par excès : 8,4 92÷11 ou 92 11 8<8,363<9 par défaut : 8 par excès : 9 8,3<8,3636<8,4 par défaut : 8,3 par excès : 8,4 2 2÷7 ou 7 0<0,285<1 par défaut : 0 par excès : 1 0,2<0,2857<0,3 par défaut : 0,2 par excès : 0,3 2 2÷7 ou 7 0<0,285<1 par défaut : 0 par excès : 1 0,2<0,2857<0,3 par défaut : 0,2 par excès : 0,3 2 2÷7 ou 7 0<0,285<1 par défaut : 0 par excès : 1 0,2<0,2857<0,3 par défaut : 0,2 par excès : 0,3 2 2÷7 ou 7 0<0,285<1 par défaut : 0 par excès : 1 0,2<0,2857<0,3 par défaut : 0,2 par excès : 0,3 2÷7 ou 2 7 0<0,285<1 par défaut : 0 par excès : 1 0,2<0,2857<0,3 par défaut : 0,2 par excès : 0,3 3 4