Feuille d`exercices 7

U NIVERSIT É DE M ONTPELLIER
A NN ÉE : 2015-2016
L1 - A NALYSE 2 (HLMA202)
Feuille d’exercices 7
2.4 (A)- D ÉVELOPPEMENTS LIMIT ÉS : EXERCICES TH ÉORIQUES
Exercice 1. Donner les DLn en 0 des fonctions ex , cos x, sin x,
1
1−x ,
(1 + x)α et ln(1 + x).
?Exercice 2. En posant y = x − 2, donner les DLn en 2 des fonctions ex , (1 + x)α et ln(1 + x).
Exercice 3. Donner le DL7 en
π
3
de cos x.
Exercice 4. Montrer que si f est une fonction paire (resp. impaire), les termes impairs (resp. pairs)
de ses DL en 0 sont nuls.
?Exercice 5. Soit α ∈ R. Jusqu’à quel ordre la fonction xα admet-elle un développement limité en 0 ?
Exercice 6. La fonction
1
1+|x|3
admet-elle un DL2 en 0 ? un DL3 en 0 ? un DL4 en 0 ?
Exercice 7. Jusqu’à quel ordre la fonction f (x) = x6 sin( x1 ) si x 6= 0 et f (0) = 0 admet-elle des
DL ?
?Exercice 8. Montrer que la fonction f (x) = x2 sin( x1 ) admet un DL1 en 0. Sa dérivée f 0 admet-elle
un développement limité en 0 ? Peut-on dériver un développement limité ?
Exercice 9. Soit f : R → R la fonction donnée par f (x) = x + x3 sin( x12 ) si x 6= 0 et f (0) = 0.
Montrer que f admet un DL2 en 0, mais que f n’est pas deux fois dérivable en 0.
−1
Exercice 10. Soit f : R → R la fonction donnée par f (x) = e x2 pour x 6= 0, et f (0) = 0.
−1
(a) On suppose que g(x) = e x2 P x1 pour x 6= 0 et g(0) = 0 où P est un polynôme. Montrer que
g(x) −→ 0.
x→0
(b) Montrer que f est de classe C ∞ sur R \ {0} et que ∀n ∈ N, il existe un polynome Pn tel que
1
∀x 6= 0, f (n) (x) = e− x2 Pn x1 .
(c) En déduire que f est de classe C ∞ sur R, et ses DL à tout ordre en 0.
(d) Existe-t-il une autre fonction ayant les mêmes DL à tout ordre que f ?
2.4 (B)- C ALCULS AVEC DES D ÉVELOPPEMENTS LIMIT ÉS
?Exercice 11. Donner les DL2 , DL4 , DL10 et DL2016 en 0 de f (x) = x58 + 2x12 + 5x10 + x3 .
?Exercice 12. Simplifier les expressions suivantes :
3
(a) f (x) = x2 + Ox→0 (x4 ) + 3x4 − 7x6 + ox→0 (x7 ) + x2 − x4 + ox→0 (x3 ).
4
(b) g(x) = −4x8 − x2 + ox→0 (x3 ) + x12 − Ox→0 (x)2 + x3 + ox→0 (x)Ox→0 (x2 ).
(c) h(x) = 2x + ox→0 (x8 ) + Ox→1 (x5 ) − x3 (sic).
?Exercice 13. Sommes de DL.
√
1
+ 3 1 + x.
(a) Donner le DL5 en 0 de 1+x
(b) Donner le DL7 en 0 de ch(x) =
(c) Donner le DL8 en 0 de sh(x) =
ex +e−x
2
ex −e−x
2
(cosinus hyperbolique).
(sinus hyperbolique).
1
?Exercice 14. Produits de DL.
(a) Donner le DL3 en 0 de cos(x) ln(1 + x).
(b) Donner le DL6 en 0 de (1 − ch(x)) sin x.
?Exercice 15. Composition de DL.
(a) Donner le DL4 en 0 de ln(1
+ sin x).
√
1+x
(b) Donner le DL2 en 0√de e
.
(c) Donner le DL4 de 3 1 + cos x en 0.
?Exercice 16. Divisions de DL.
1+x
(a) Donner le DL3 en 0 de 2+x
.
(b) Donner le DL5 en 0 de tan(x).
sh(x)
(tangente hyperbolique).
(c) Donner le DL3 en 0 de th(x) = ch(x)
x cos x
(d) Donner le DL4 en 0 de sin x . En déduire le DL3 en 0 de cotan(x) − x1 .
Exercice 17. Étude de la fonction arctan.
π
(a) Montrer que la fonction tan :] −π
2 , 2 [→ R est une bijection croissante. On note arctan : R →
−π π
] 2 , 2 [ sa fonction réciproque. Tracer le graphe de arctan.
1
(b) Montrer que tan0 (x) = 1 + tan(x)2 , et en déduire que arctan0 (x) = 1+x
2.
(c) En déduire un DL en 0 à tout ordre de arctan.
Exercice 18. Étude de la fonction arcsin.
π
(a) Montrer que la fonction sin : [ −π
2 , 2 ] → [−1, 1] est une bijection croissante. On note arcsin :
−π π
[−1, 1] → [ 2 , 2 ] sa fonction réciproque. Tracer le graphe de arcsin.
1
(b) Montrer que arcsin0 (x) = √1−x
.
2
(c) En déduire un DL en 0 à tout ordre de arcsin.
Exercice 19. Soit f :] − 1, +∞[→ R donnée par f (x) = x + ln(1 + x).
(a) Montrer que f est une bijection croissante de classe C ∞ .
(b) On note f −1 : R →] − 1, +∞[ sa fonction réciproque. Justifier que f −1 est de classe C ∞ .
(c) Donner un DL3 de f en 0.
(d) En déduire un DL3 de f −1 en 0. Indication : on pourra poser f −1 (x) = a + bx + cx2 + dx3 +
O0 (x4 ) et identifier les coefficients par composition f ◦ f −1 ).
(e) Utiliser ce DL pour donner une solution approchée de l’équation x+ln(1+x) = 0, 02, comparer
avec la valeur obtenue par une calculatrice.
2
On donne ici les réponses numériques à certains des exercices de la feuille.
Solution 2
2
2
2
n
(a) ex = e2 + e2 (x − 2) + e (x−2)
+ · · · + e (x−2)
+ Ox→2 (x − 2)n+1 .
2!
n!
3α−2 (x − 2)2 + · · · + α(α−1)...(α−(n−1))
3α−n (x − 2)n +
(b) (1 + x)α = 3α + α3α−1 (x − 2) + α(α−1)
2!
n!
Ox→2 (x − 2)n+1 .
2
3
n+1
n
(c) ln(1 + x) = ln(3) + (x−2)
− (x−2)
+ (x−2)
+ · · · + (−1) n×3(x−2)
+ Ox→2 (x − 2)n+1 .
n
3
2×32
3×33
Solution 12
(a) f (x) = x2 +
(a)
x3
2
+ o0 (x3 ).
(b) g(x) = O0 (x2 ).
Solution√13
3
1
1 + x = 2 − 23 x + 59 x2 −
1+x +
4
2
6
7 3
27 x
(x8 ).
+
41 4
81 x
(b) ch(x) = 1 + x2! + x4! + x6! + O0
5
7
3
(c) sh(x) = x + x3! + x5! + x7! + O0 (x9 ).
Solution 14
2
3
(a) cos(x) ln(1 + x) = x − x2 − x6 + O0 (x4 ).
3
x5
6
(b) (1 − ch(x)) sin(x) = −x
2 + 24 + O0 (x ).
Solution 15
2
3
4
(a) ln(1 + sin(x)) = x − x2 + x6 − x12 + O0 (x5 ).
√
3
(b) e 1+x = e + ex
2 + O0 (x√ ).
√
p
√
3
3
2
2x4
5
(c) 3 1 + cos(x) = 3 2 − 2x
+
4
72 + O0 (x ).
Solution 16
2
3
1+x
(a) 2+x
= 12 + x4 − x8 + x16 + O0 (x4 ).
3
5
7
(b) tan(x) = x + x3 + 2x
15 + O0 (x ).
5
3
7
(c) th(x) = x − x3 + 2x
15 + O0 (x ).
3
(d) cotan(x) − x1 = − x3 − x45 + O0 (x5 ).
3
−
(c) h(x) quelconque.
155 5
243 x
+ O0 (x6 ).