cours second degres

Fonctions usuelles
Chapitre 4
I) La fonction carré
1) L`affl ˜f´o“n`cˇtˇi`o“nffl `c´a˚r˚r`é
Définition
La fonction carré est la fonction définie sur R qui, à tout réel associe son carré.
f : x 7−→ x2
Propriété
La fonction carré est croissante sur R+ et décroissante sur R− .
Démonstration :
On calcule f (b) − f (a) = b2 − a2 = (b − a)(b + a) et on cherche le signe de f (b) − f (a).
➔ 1er cas I = [0; +∞[
Soit a et b de
I = [0; +∞[ tels que a < b, on a donc b > a ≥ 0
)
b−a>0
(b − a)(b + a) > 0
b+a>0
Donc pour tous 0 ≤ a < b alors f (b) − f (a) > 0 donc f (b) > f (a)
conclusion : La fonction carrée est strictement croissante sur [0; +∞[.
➔ 2e cas J =] − ∞; 0]
Soit a et b de
J =] − ∞; 0] tels que a < b, on a donc a < b ≤ 0.
)
b−a>0
(b − a)(b + a) < 0
b+a<0
Donc pour tous a < b ≤ 0 alors f (b) − f (a) < 0 donc f (b) < f (a)
Conclusion : La fonction carrée est strictement décroissante sur ] − ∞; 0].
Tableau de variations :
x
−∞
0
Courbe représentative :
+∞
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
f : x 7−→ x
0
Le minimum de la fonction carré est 0 ; il est
atteint pour x = 0.
La courbe représentative de la fonction carré
tracée ci-contre est une parabole de sommet O
→
−
et d’axe (O; j ).
-3
18
-2
-1
-1
1
2
3
2) F`o“n`cˇtˇi`o“nffl `d`é¨fˇi‹n˚i`e `àffl ˜l„`a˚i`d`e `d`e ˜l´affl ˜f´o“n`cˇtˇi`o“nffl `c´a˚r˚r`é
Définition
Une fonction f dont l’expression algébrique peut s’écrire sous la forme f (x) = ax2 + bx + c où
a 6= 0 est appelée fonction polynôme de degré 2.
Soit f une fonction polynôme de degré 2.
Il est difficile en seconde d’étudier les variations avec la forme développée car la variable x
“apparait deux fois“ (dans x2 et bx).
Généralement on étudie les variations sur une forme adéquate.
Voici des exemples classiques, la méthode est à connaître.
Exemple 1
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x2 − 12x + 13.
1. Vérifier que f (x) = 2(x − 3)2 − 5.
2. Déterminer les variations de f sur ] − ∞ ; 3] puis sur [3 ; +∞[.
3. Dresser le tableau de variations de f pour x ∈ [−1 ; 6].
4. Dresser un tableau de valeurs de la fonction f puis tracer sa courbe représentative dans un
repère.
1. On a : 2(x − 3)2 − 5 = 2(x2 − 6x + 9) − 5 = 2x2 − 12x + 13 = f (x).
2. Soit a et b deux réels de I =] − ∞ ; 3] tels que a < b.
opération
inégalité
justification
a<b≤3
−3
a−3 <b−3≤0
fonction carrée
(a − 3)2 > (b − 3)2
la fct. carrée est décroissante sur ] − ∞; 0]
2
2
×2
2(a − 3) > 2(b − 3)
5 est positif
2
2
2(a − 3) − 5 > 2(b − 3) − 5
−5
f (a) > f (b)
Donc la fonction f est décroissante sur ] − ∞ ; 3].
De même sur [3 ; +∞[, soit a et b tels que 3 ≤ a < b :
inégalité
justification
opération
3≤a<b
−3
0≤a−3 <b−3
fonction carrée
(a − 3)2 < (b − 3)2
la fct. carrée est croissante sur [0; −∞[
2
2
×2
2(a − 3) < 2(b − 3)
5 est positif
−5
2(a − 3)2 − 5 < 2(b − 3)2 − 5
f (a) < f (b)
Donc la fonction f est croissante sur [3 ; +∞[.
3. On en déduit le tableau de variations de f sur [−1 ; 6] :
x
−1
27
3
6
13
f
−5
f (−1) = 2 × (−1)2 − 12 × (−1) + 13 = 27 et f (6) = 2 × 62 − 12 × 6 + 13 = 13.
Seconde
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4. On dresse un tableau de valeurs :
x
−1
0
1
2
3
4
5
6
f (x)
27
13
3
−3
−5
−3
3
13
On trace alors la courbe représentative de f dans le repère ci-dessous :
14
12
10
8
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-2
-4
-6
→
−
Cette courbe est une parabole de sommet S(3 ; −5) et d’axe (S; j ).
La fonction f admet pour minimum −5 qui est atteint pour x = 3.
Propriété
Soit f un polynôme de degré 2 défini par f (x) = ax2 + bx + c. Alors il existe deux réels α et
β tels que f (x) = a(x − α)2 + β.
−b
α=
et β = f (α). (à savoir par coeur)
2a
L’expression a(x − α)2 + β est appelée forme canonique du polynome f .
Preuve : a(x − α)2 + β = a(x2 − 2αx + α2 ) + β = ax2 − 2aαx + aα2 + β
Par identification avec f (x) = ax2 + bx + c on sait donc que
(



b
−b
−2aα = b
α=
=
⇐⇒
−2a
2a .

aα2 + β = c
 β = c − aα2
Donc α et β existe et sont uniques. De plus si on utilise f (x) = a(x − α)2 + β alors on trouve
que f (α) = a(α − α)2 + β = 0 + β = β
Seconde
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Propriété
α est la valeur de x pour laquelle f (x) atteint son extremum qui est β :
– si a > 0, alors β est un minimum ;
x
−∞
α
+∞
ax2 + bx + c
β
– si a < 0, alors β est un maximum.
x
−∞
α
+∞
β
2
ax + bx + c
Exemple 2
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 5x2 + 8x + 2.
1. Déterminer le tableau de variations de f sur R.
2. Dresser un tableau de valeurs de la fonction f puis tracer sa courbe représentative dans un
repère.
−b
−8
=
= −0, 8. β = f (α) = f (−0, 8) = −1, 2.
2a
2×5
La forme canonique de f est donc f (x) = a(x − α)2 + β = 5 (x + 0, 8)2 − 1, 2.
1. a = 5; b = 8 et c = 2 donc α =
x
5x2 + 8x + 2
On constate aussi que a est positif donc :
Seconde
−∞
0, 8
−1, 2
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