Calcul : fiche de méthodes 1 Résolution d’équation du 1er degré On veut résoudre une équation du premier degré à une inconnue (x). On a le droit d’ajouter ou de soustraire le même nombre à gauche et à droite de l’égalité, et de multiplier ou diviser par le même nombre non nul à gauche et à droite. Exemple : 3x + 7 = 2(1 − x). Méthode : On cherche à isoler le terme en x dans le membre de gauche. Pour cela : • On développe les termes factorisés : 3x + 7 = 2 − 2x. • On regroupe les termes en x à gauche : 3x + 7 + 2x = 2 − 2x + 2x 5x + 7 = 2. • On regroupe les termes constants à droite : 5x + 7 − 7 = 2 − 7 5x = −5. −5 • On divise des deux côtés par le coefficient devant x : 5x 5 = 5 x = −1. Exos Résoudre les équations : a) −(1−x) = 2, b) 3(1−x) = 6, c) 40+x = 2(14+x) d) 4x+3 = 2−2x, e) −(3x + 2) = 3 − 52 x 2 Simplification de fractions On veut réduire une expression comportant des sommes, produits, quotients de fractions et d’entiers. Il faut connaı̂tre les règles du calcul fractionnaire et les règles de priorité (× prioritaire sur + par ex.) pour faire les opérations dans l’ordre. 1 Exemple : Simplifier 3+1 + 34 × 1+8 1 + 1. 3 Méthode : • On simplifie dans les parenthèses (implicites ou non) • Ensuite on simplifie les quotients et produits • On simplifie les sommes restantes • On simplifie si nécessaire en une fraction irréductible. 1 3+1 1 4 + 1 4 + 1 4 + 2 8 + 11 8 . + 3 4 3 4 1 8 1 8 3 4 54 72 , 1 b) − 15 + 25 , c) 1 2 8 −3 d) 1 2 + 5+1 3 × 4 3 1+ 31 8 +1= × 8 + 1= × 43 × 18 + 1= + 1= + 88 = Exos Simplifier les fractions : a) 1 + × 2 8 −3 3 Simplification de radicaux √ On veut √ simplifier une écriture faisant intervenir un radical (exemple : 63 et l’écrire sous la forme √ a b où a et b sont des entiers naturels, b aussi petit que possible. (dans l’exemple ce sera : 3 7). Méthode : • • • • • • • • Première méthode : on vérifie si le radicande est divisible par un carré parfait (4,9,16,25,36,49,...) On sépare la racine du produit en le produit des racines On simplifie la racine du carré parfait √ On a obtenu une expression du type a b On recommence pour b si nécessaire. Deuxième méthode : Décomposer le radicande en facteurs premiers Séparer les termes d’exposant pair et impair Séparer la racine du produit en produit des racines : Simplifier la racine du carré... : Exos Simplifier les expressions : a) 4 √ 32, b) √ 121, c) √ 72, d) 63 divisible √ √ par 9√ √ √63 = √7 × 9 = 7 9 63 = 3 7. 2 2 252 p3 × 2 √ =7× 2 2 √ (3 2 ) √252 = √ (7) × × 32 22 √252 = √7p 2 252 √ = √ 7 (3 √ × 2) 2 = 6 7=6 7 √ √72 . 98 Déterminer la nature d’un nombre On veut le plus petit des√ensembles auquel appartient un nombre, parmi N, Z, D, Q, R. Exemple : 1 quelle est la nature de x = √12 × −2 + 1. Le principe est de simplifier au maximum l’écriture avant 8 de décider. Méthode : • On simplifie les radicaux : x= • • On simplifie les fractions : S’il reste des racines ou des π qu’on ne peut simplifier x est un irrationnel (comme dans l’exemple) S’il reste un quotient pq de deux entiers : Si q divise p, x est un entier relatif si pq < 0, un entier naturel si pq ≥ 0. Sinon si la div. de p par q ne s’arrête jamais x est rationnel. et si la division de p par q s’arrête : x est décimal. x= • − − Exos Exercices 18, 19, 20, 21 p. 28 2 √ 2√3 × 1 + 2 2√ −2 − 12 √32 + 1. 1