#33 Division euclidienne Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel. Exercice 1. (NEW) Exercice 2. Décomposition en puissances croissantes Quel est le reste de la division de (X − 3)2n + (X − 2)n − 2 par (X − 2)2 ? Soit A ∈ K[X] de degré > 0. Montrer que pour tout polynôme P ∈ Kn [X], il existe des polynômes P0 , P1 , . . . , Pn uniques vériant : ( Exercice 3. deg Pi < deg A P = P0 + P1 A + · · · + P n A n . Linéarité du reste et du quotient Soit B ∈ K[X] de degré n > 0. On considère les applications : Φ : K[X] −→ P 7−→ Kn−1 [X] R et Ψ : K[X] −→ P 7−→ K[X] avec P = QB + R. Q 1) Montrer que Φ et Ψ sont linéaires. Chercher leurs noyaux et leurs images. 2) Simplier Φ(P1 P2 ). Exercice 4. Endomorphisme P 7−→ AP mod B Soit E = K3 [X], A = X 4 −1, B = X 4 −X, et Chercher Ker ϕ, Im ϕ. Exercice 5. Congruences Exercice 6. Congruences Exercice 7. Calcul de pgcd ϕ: E P −→ 7−→ E reste de la div. euclid. de AP par B. Soient P ∈ K[X], a, b ∈ K distincts, et α = P (a), β = P (b). 1) Quel est le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) ? 2) Trouver le reste de la division euclidienne de (cos θ + X sin θ)n par X 2 + 1. Déterminer les polynômes P ∈ Q3 [X] divisibles par X + 1 et dont les restes des divisions par X + 2, X + 3, X + 4 sont égaux. Calculer le pgcd de P et Q pour : 1) P = X 4 + X 3 − 3X 2 − 4X − 1 Q = X 4 − 4X 3 + 6X 2 − 4X + 1 3) P = X 5 − iX 4 + X 3 − X 2 + iX − 1 Q = X3 + X2 − X − 1 2) P = X 4 − 10X 2 + 1 Exercice 8. Q = X 4 − iX 3 + 3X 2 − 2iX + 2 Coecients de Bézout Montrer que les polynômes P et Q suivants sont premiers entre eux. Trouver U, V ∈ K[X] tels que U P + V Q = 1. 1) P = X 4 + X 3 − 2X + 1 2) P = X 3 + X 2 + 1 2 Q = X3 + X + 1 Q=X +X +1 14 septembre 2015 1 Thierry Sageaux Division euclidienne Exercice 9. Division de (X + 1)n − X n − 1 par X 2 + X + 1 Chercher le reste de la division euclidienne de (X + 1)n − X n − 1 par X 2 + X + 1. Exercice 10. Ensi P 90 Exercice 11. Division de (X − 2)2 n + (X − 1)n − 1 par (X − 1)(X − 2) Pour quels n ∈ N le polynôme (1 + X 4 )n − X n est-il divisible par 1 + X + X 2 dans R[X] ? Soit Pn = (X − 2)2n + (X − 1)n − 1. 1) Montrer que Pn est divisible par X − 1 et par X − 2. On note Q1 et Q2 les quotients correspondant. 2) Montrer que Pn est divisible par (X − 1)(X − 2) et que le quotient est Q2 − Q1 . 3) Montrer que ce quotient est égal à : (X − 2)2n−2 − (X − 2)2n−3 + · · · − (X − 2) + 1 + (X − 1)n−2 + (X − 1)n−3 + · · · + (X − 1) + 1 . Exercice 12. Calcul de restes Exercice 13. Divisibilité Exercice 14. Congruences Exercice 15. pgcd(X n − 1, X m − 1) Exercice 16. Degré minimal dans la formule de Bézout Trouver les restes des divisions euclidiennes : 1) de X 50 par X 2 − 3X + 2. √ 17 par X 2 + 1. 2) de X + 3 √ 3 8 2 3) de X − 32X + 48 par X − 2 . Trouver λ, µ ∈ C tels que X 2 + X + 1 divise X 5 + λX 3 + µX 2 + 1. Soit P ∈ K[X] tel que les restes des divisions de P par X 2 + 1 et X 2 − 1 valent respectivement 2X − 2 et −4X . Quel est le reste de la division de P par X 4 − 1 ? Soient m, n ∈ N∗ . Chercher pgcd(X n − 1, X m − 1). Soient P, Q ∈ K[X] non nuls et D = pgcd(P, Q). U P + V Q = D 1) Démontrer qu'il existe U, V ∈ K[X] uniques tels que : deg U < deg Q − deg D deg V < deg P − deg D. 2) Montrer que la méthode des divisions euclidiennes fournit U et V . Exercice 17. Application (U, V ) 7−→ U A + V B Soient A, B ∈ K[X], p = deg A, q = deg B . On considère l'application : Φ : Kq−1 [X] × Kp−1 [X] −→ (U, V ) 7−→ Démontrer que : A ∧ B = 1 ⇐⇒ Φ est bijective. Exercice 18. pgcd(P (X), P (−X)) et ppcm(P (X), P (−X)) Soit P ∈ K[X]. Démontrer que pgcd(P (X), P (−X)) et ppcm(P (X), P (−X)) sont pairs ou impairs. Exercice 19. A ◦ P |B ◦ P ⇒ A|B Soient A, B, P ∈ K[X] avec P non constant. Montrer que si A ◦ P divise B ◦ P , alors A divise B . 2 Thierry Sageaux Kp+q−1 [X] UA + V B Division euclidienne Solutions des exercices Exercice 1. −2nX + 4n − 1. Exercice 4. Im ϕ = {P ∈ E tel que X − 1 | P } (Bézout généralisé). Ker ϕ = vect(X 3 + X 2 + X). Exercice 5. α(b − X) + β(X − a) . b−a 2) cos nθ + X sin nθ . 1) Exercice 6. P = λ((X + 2)(X + 3)(X + 4) − 6). Exercice 7. 1) X + 1 2) 1 3) X 2 − iX + 1 Exercice 8. 1) 7U = X + 3, 7V = −X 3 − 3X 2 + X + 4 2) 3U = 2X 2 − X + 1, 3V = −2X 2 − X + 2 Exercice 9. n (−1) − 2 Substituer j à X ⇒ R = ((−1)n+1 − 1)(X + 1) ((−1)n + 1)X si n ≡ 0 [3] si n ≡ 1 [3] si n ≡ 2 [3]. Exercice 10. n ≡ 0 [6]. Exercice 11. 3) Faire le produit. Exercice 12. 50 1) (250 − 1)X √ + 2 − 2 . 16 2) 2 X − 3 . 3) 192 X − √ 2 2 . Exercice 13. λ = µ = −1. Exercice 14. −3X 3 + X 2 − X − 1. Exercice 15. n = qm + r ⇒ X n − 1 ≡ X r − 1 [X m − 1]. On applique la méthode des divisions euclidiennes entre n et m ⇒ pgcd = X n∧m − 1. Exercice 16. 2) Récurrence. 3 Thierry Sageaux