Arithmétique : PGCD

Arithmétique : PGCD
3-cours
Diviseur d’un entier :
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Rappels : critères de divisibilités
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n est divisible par 2 : si le dernier chiffre de n est 0, 2, 4, 6 ou 8.
n est divisible par4 : si les deux derniers chiffres de n forment un nombre divisible par 4.
n est divisible par 5 : si le dernier chiffre de n est 0 ou 5.
n est divisible par 3 : si la sommes des chiffres composant n est un multiple de 3.
n est divisible par 9 : si la sommes des chiffres composant n est un multiple de 9.
 Un nombre est dit premier s’il admet exactement 2 diviseurs : lui-même et un.
Division Euclidienne :
Dividende diviseur
reste
quotient
Dividende = diviseur x quotient + reste.
PGCD : Plus grand diviseur commun
 Deux nombres sont dits premiers entre eux : si leur PGCD est 1.
–

donc b et (a–b ) ont les mêmes diviseurs communs.
exple :
65 = 13 x 5 et 26 = 13 x 2 on a : 65–26 = 13 x ( 5 – 2) = 13 x 3 = 39 et 65+26 = 13 x ( 5 + 2) = 13 x 7 = 91

a
r
où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
b
q
Méthodes de calculs de PGCD
 Décomposition en facteurs premiers, utilisation des critères de divisibilité.
 Algorithme des soustractions successives le PGCD est le dernier résultat avant 0.
 Algorithme d’Euclide (divisions successives) , le PGCD est le dernier reste avant 0.
a
b
Reste de a/b
PGCD(65 ;26) = 13
65
26
65/26 : reste : 13
26
13
26/13 : reste : 0
Remarque : sur le tableur le reste de la division euclidienne s’obtient par la fonction : MOD
Sur la calculatrice on utilise la touche