Calcul littéral. I. Introduction au calcul littéral

CHAPITRE 11 :
Calcul littéral.
I. Introduction au calcul littéral : Activités.
Problème n°1 : Un programme de calcul.
Je choisis un nombre.
Je le multiplie par 4.
J’ajoute 7 au résultat.
1) Effectuer ce programme en choisissant le nombre 5.
5×4 = 20 et 20 + 7 = 27
2) Ecrire l’expression littérale qui correspond à ce programme de calcul.
4×x + 7 = 4x + 7
3) Effectuer ce programme pour x = 3.
4×3 + 7 = 12 + 7 = 19
Problème n°2 :
Les longueurs sont en centimètres.
7
4
x
1) Ecrire en fonction de x l’aire du rectangle hachuré.
A = l×L = 4×(7 – x)
2) Calculer l’aire du rectangle hachuré en prenant x = 2.
A = 4×(7 – 2) = 4×5 = 20 cm2.
Problème n°3 :
Hélène (H) a 3 ans de plus que Charlotte (C) et 6 ans de moins que Pierre (P).
1) Ecrire l’âge de Charlotte C en fonction de l’âge d’Hélène H.
C=H–3
2) Ecrire l’âge de Pierre P en fonction de l’âge d’Hélène H.
P=H+6
II- Simplifications d’écritures.
Pour marquer la priorité de la multiplication, le symbole « × » peut être supprimé dans certains cas.
3 × a s’écrit 3a
a × b s’écrit ab
4 × (a – 2) s’écrit 4(a – 2)
15 + 4 × a s’écrit 15 + 4a
Attention :
-) 2×3 ne s’écrit pas 23 !
-) on écrit 2a, on n’écrit pas a2.
Le nombre s’écrit toujours devant la lettre.
Nombres au carré, nombres au cube :
3×3 s’écrit 32
6×6 s’écrit 62
5×5×5 s’écrit 53
x×x s’écrit x2 et se lit « x au carré ».
x×x×x s’écrit x3 et se lit « x au cube ».
III. La distributivité.
1) Avec des nombres (Rappel de 5ème : calcul mental).
Calculer mentalement 32 × 101
Méthode : 32 × 101 = 32×100 + 32×1 = 3 200 + 32 = 3 232
Applications :
Calculer (sans calculatrice) :
47×1 002 = 47×1 000 + 47×2 = 47 000 + 94 = 47 094
38×99 = 38×100 – 38×1 = 3 800 – 38 = 3 762
2) Développement simple (avec des lettres).
Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence).
Activité :
a
b
k
Calculer l’aire des deux rectangles.
1ère méthode : A = k×(a + b)
2nde méthode : A = k×a + k×b
Formules : a, b et k désignent 3 nombres relatifs.
k(a + b) = k×a + k×b
k(a – b) = k×a – k×b
Applications:
Développer :
A = 6(x + 4) = 6×x + 6×4 = 6x + 24
C = x(x – 5) = x×x – x×5 = x2 – 5x
E=
B = 11(8 – x) = 11×8 – 11×x = 88 – 11x
D = (5 + x)×3 = 3(5 + x) = 3×5 + 3×x = 15 + 3x
3) Factorisation.
Factoriser une somme (ou une différence), c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Formules :
a, b et k désignent 3 nombres relatifs.
k×a + k×b = k(a + b)
k×a – k×b = k(a – b)
k est le facteur commun
Applications (avec des nombres : calcul mental) :
Factoriser les expressions suivantes puis les simplifier le plus possible :
A = 131×13 + 131×87 = 131×(13 + 87) = 131×100 = 13 100
B = 37×13 – 37×3 = 37×(13 – 3) = 37×10 = 370
C = 8,536,5 + 8,533,5 = 8,53×(6,5 + 3,5) = 8,53×10 = 85,3
D = 0,0819 – 0,084 = 0,08×(19 – 4) = 0,08×15 = 1,2
Applications (avec des lettres) :
Factoriser les expressions suivantes :
A = 4x + 4×5 = 4(x + 5)
B = 3×8 – 8x = 8(3 – x)
C = 7x + 42 = 7x + 7×6 = 7(x + 6)
D = 6x – 18 = 6x – 6×3
E = 15 – 6x = 3×5 – 3×2x = 3(5 – 2x)
F = 5x – 5y = 5(x – y)
IV. Tester une égalité.
1) Vocabulaire.
Inconnue : C’est une lettre qui désigne un nombre qu’on ne connaît pas.
Exemple : x
Egalité ou équation :
C’est une « opération à trous » dont les « trous » sont remplacés par des inconnues.
Exemples : 11x – 7 = 6
ou
4x + 7 = 2x – 13
Membres :
Une équation est composée de deux membres séparés par un signe « = ».
Exemple : 11x – 7 = 6
1er membre 2nd membre
2) Tester une égalité.
L’égalité 5x + 3 = 3x + 13 est-elle vraie dans les cas suivants ?
a) x = 1
b) x = 5
Réponses :
a) Pour x = 1 :
1er membre : 5×1 + 3 = 5 + 3 = 8
2nd membre : 3×1 + 13 = 3 + 13 = 16
Les deux membres ne sont pas égaux. Donc, l’égalité est n’est pas vraie pour x = 1.
b) Pour x = 5 :
1er membre : 5×5 + 3 = 25 + 3 = 28
2nd membre : 3×5 + 13 = 15 + 13 = 28
Les deux membres sont égaux. Donc, l’égalité est vraie pour x = 5.