Constructions et calculs d`aires Aires de figures F

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Constructions et calculs d’aires
Aires de figures
Feuille avec mesures et d’aires
Formules et équations
Carré augmenté d’un demi-cerclee
Figure de périmètre 6x et d’aire x²
Equerre d’onglet, angles et aires
Enclos à moutons
Table à rallonges
Constructions et aires
!
C onstruire un parallélogram m e AB C D : la diagonale [AC ] m esure 9cm , l’ angle B AC m esure 37° et le côté [AB ] m esure 5cm
(faire d’ abord un dessin avec la légende, puis réaliser la figure aux dim ensions indiquées).
!
C onstruire un losange DEF G de diagonale [DF ] = 8cm , l’ angle EDF m esure 27°.(faire d’ abord un dessin avec la légende, puis
réaliser la figure aux dim ensions indiquées).
C alculer son aire, indiquer les m esures effectuées et les tracés sur la figure.
Constructions et calculs d’aires
Construire les f igures suivantes en indiquant la ou les propriétés utilisées.
Calculer leur aire : en classes de 6° et de 5° effectuer les tracés nécessaires et les m esures effectuées sur la figure ; en
classes de 4° et de 3° calculer et donner le résultat exact puis une valeur approchée à 10 -5 près ( lorsque le calcul est possible).
Méthode à utiliser : faire une figure en indiquant les dim ensions et m esures d'angles indiquées, réfléchir à la façon de procéder puis
construire soigneusem ent la figure avec les instrum ents.
1° T riangle AB C
isocèle en A.
B C = 6 cm ; la hauteur
[AH] m esure 8 cm .
(R éponse 24 cm 2 )
2° T riangle AB C
isocèle en A.
"
L'angle B m esure 40° et
AB = 7cm .
(24,12779 cm 2 ).
3° T riangle AB C
rectangle en A.
B C = 10 cm et l'angle
!
AB C m esure 37°.
(24,03154 cm 2 )
4° T riangle AB C
rectangle en A.
B C = 9 cm et
AB = 5 cm .
(18,70829 cm 2 )
5° P arallélogram m e
AB C D.
AC = 6 cm ; B D = 8 cm
et AB = 3,5 cm .
(20,3 cm 2 environ, le
calcul par la trigo est
hors programme de 4° et
de 3°)
6° P arallélogram m e
AB C D.
AB = 8 cm ;
B C = 5 cm .
!
L'angle B AD m esure
37°.
(24,07260 cm 2 )
7° P arallélogram m e
AB C D.
B D = 8,5 cm ;
AB = 7 cm .
!
L'angle AB D m esure
58°.
(50,45886 cm 2 )
8° Losange AB C D.
AB = 7 cm et
AC = 11 cm .
(47,63140 cm 2 )
9° Losange AB C D.
AC = 11 cm .
!
L'angle B C D m esure
68°.
(40,80777 cm 2 )
10° Losange AB C D.
AB = 8 cm .
!
L'angle AB C m esure
128°
(50,43269 cm 2 )
13° Un rectangle de
diagonale 10 cm .
Un côté m esure 6 cm .
(48 cm 2 )
15° Un trapèze rectangle
14° Un rectangle de
d'aire 24 cm 2 , de bases
diagonale 10 cm .
L'angle d'un côté avec la 6 cm et 2 cm .
diagonale m esure 18°.
(29,38926 cm 2 )
18° Un trapèze HIJK de
bases KJ et HI :
KJ = 12 cm ; IJ = 4 cm ;
!
l'angle HKJ m esure 68°
!
et l'angle IJK m esure
50°.
(30,93416 cm 2 )
19° Un triangle
LM P .M L = 10 cm ;
!
l'angle M LP m esure 70°
!
et l'angle M P L m esure
50°.
(53,11687 cm 2 )
12° Un carré de
11° Losange AB C D.
diagonale 10 cm .
AB = 8 cm .
La hauteur m esure 5 cm . (50 cm 2 )
(40 cm 2 )
16° Un triangle AB C .
AC = 7 cm ;
AB = 9 cm ; l'angle
!
C AB m esure 49°.
(23,77335 cm 2 )
17° Un trapèze rectangle
DEF G.
!
L'angle DGF est droit;
GF = 10 cm .
EF = 3 cm ; l'angle
!
DEG m esure 60°.
(24,O3220 cm 2 )
Aires de figures
C OR R IGE
Aire du triangle rectangle
AB C :
AC × BF
2
(22 + 13 + 20) × 30
=
2
55 × 30
=
= 825 m2
2
Aire du triangle C DG :
CG × DG 20 × 35
=
2
2
= 350 m 2
C eci est le plan d'un terrain
AB C DE.
! !
Les angles AF B et AGD sont
droits.
AF = 22 m FG = 13 m GC = 20 m
BF = 30 m AE = 20 m GD = 35 m
C alculer :
l’ aire de AB C :
L’ aire de AGDE :
L’ aire de DC G :
L’ aire du terrain AB C DE :
Aire du trapèze rectangle
AEDG
(AE + GD) × AG
2
( 20 + 35) × (22 + 13)
=
2
55 × 35
=
= 962,5 m2
2
L’ aire de AB C DE est la
som m e des trois aires :
825 + 350 + 962 ,5
= 2137,5 m 2
Nom m er chacune des figures suivantes (carré, triangle rectangle … … ..)
C alculer leur aire de une, deux ou trois m anières différentes selon les figures.
Indiquer les m esures effectuées ainsi que les tracés (à l’ équerre) sur chaque figure :
//
X
X
//
C OR R IGE
//
1,5cm
3,8cm
3,2cm
X
X
2,3 cm
3,6 cm
3 cm
//
3,4 cm
6,4cm
C alculs :
F igure
T riangle
Aire
≈
6 ,4 × 3 ,8
= 1216
, cm2
2
P arallélogram m e
≈ 3, 2 × 2 ,3 = 7 ,36 cm2
T rapèze rectangle
≈
(1,5 + 3, 4) × 3
= 7, 35 cm2
2
Disque : rayon
3, 6 / 2 = 1,8 cm
≈ 3,14 × 1,82 = 10,1736 cm2
Feuille de figures avec dimensions à mesurer et aires à calculer
C OR R IGE
P érim ètre :
B C DF est un carré de côté 10 cm
#
#
10 × 3,14
10 × 3,14
AB + B C + DC + ED + EA = 5 + 10 +
+ 5+
2
4
#
#
AB + B C + DC + ED + EA = 43,55 cm
C alculer le périm ètre et l’ aire de la figure grisée AB C DE.
Aire de AB C D m oins l’ aire de trois quarts de cercle :
3
10 × 10 − 3,14 × 52 × = 41125
,
cm2
4
Formules équations
C haque colonne du tableau correspond à un cercle différent.
Dans la prem ière colonne, écrire les form ules en fonction de R .
Com pléter les cases blanches du tableau en indiquant les calculs dans les cases (et si possible les "équations").(π ≈ 3,14).
R ayon
R
Diam ètre
(form ule)
P érim ètre du cercle
(form ule)
Aire du disque
(form ule)
5cm
7cm
14,13cm
113,04cm 2
C OR R IGE
7
= 3,5 cm
2
14,13
= 2 ,25 cm
2 × 3,14
R ayon
R
5cm
Diam ètre
2×R
2 R × 3,14 = 6,28 R
2 × 5 = 10 cm
7 cm = 2 R
2 × 2 ,25 = 4 ,5 cm
10 × 3 ,14 = 31,4 cm
7 × 3 ,14 = 21,98 cm
2 R × 3,14 = 14,13 cm
, ×R×R =
314
, × 52 = 3,14 × 25
314
3,14 × 3,52
, R2
314
= 78,5 cm2
= 3,14 × 12, 25
P érim ètre du
cercle
Aire du disque
R=
R=
R2 = 6 × 6
R = 6 cm
3,14R2 = 113,04cm2
113,04
= 36
R2 =
3,14
= 38,465 cm2
C OR R IGE
III
1° L’ aire de la figure est 5x ;
Aire = 35cm2
5 x = 35
x est la deuxièm e dim ension du rectangle représenté ci-dessus
1° Exprim e en fonction de x l'aire de la figure.
................
De préférence en écrivant une équation, calcule la valeur de x telle que:
Aire = 35cm 2
2° Exprim er en fonction de x le périm ètre P de la figure, sim plifier l'expression
si possible.
..............
De préférence en écrivant une équation, calcule la valeur de x telle que:
P érim ètre = 18,4 cm
35
5
x = 7 cm
2° Le périm ètre P de la figure :
P = 2 (5 + x)
P = 2 x + 10
P érim ètre = 18,4 cm
18,4 = 2x + 10
x=
18,4 − 10 = 2 x
2 x = 8,4
8 ,4
2
x = 4,2 cm
x=
Carré augmenté et diminué d’un demi-cercle
C OR R IGE
1° 314
, × x = 3,14x
III
2° Deux côtés de longueur x, plus la longueur d’ un
cercle de diam ètre x :
périm ètre de la figure : 2 x + 3 ,14x = 5,14x
x
x
Le périm ètre de la figure est égal à 30,84 cm :
Equation :
5,14x = 30 ,84
30,84
x=
5,14
(on utilisera 3,14 com m e valeur approchée de π) La figure grisée est form ée x = 6 cm
d’ un carré de côté x et de deux dem i-cercles de diam ètre x.
Le diam ètre est égal à 6 cm
1° Quelle est la longueur d’ un cercle de diam ètre x ?
2° Exprim er en fonction de x le périm ètre de la figure grisée, sim plifier
l'expression.
T rouver x pour que le périm ètre de la figure grisée soit égal à 30,84 cm .
3° En déplaçant le dem i-disque extérieur à l’ intérieur
du carré, on obtient un carré de côté x et de m êm e
aire.
L’ aire de la figure est donc x 2
a) 9 × 9 = 9 2 = 81 cm2 donc x = 9 cm
b) par essais, on trouve :
5 ,2 × 5,2 = 5,2 2
= 27,04 cm2
3° Exprim er en fonction de x l’ aire de la figure grisée.
donc x = 5,2 cm
En faisant des essais, trouver x pour que l'aire de la figure grisée soit de :
a) 81 cm2
b) de 27,04 cm2
Figure Périmètre 6x aire x²
C OR R IGE
x
1° Le périm ètre de cette figure est 6x et il vaut 18,6 cm
//
//
//
c’ est-à-dire x = 3,1cm
//
x
\\
donc : 6x = 18,6 soit x = 18,6 ÷ 6
\\
x
\\
2° P ar découpage, on rassem ble cette figure en un carré ayant un
côté x ; l’ aire de cette figure est x × x = x 2
L’ aire de cette figure est 25 cm2
C i-dessus une figure en gris, tous les côtés ont la m êm e
longueur que l’ on appelle x ;
1° Exprim er en fonction de x le périm ètre de cette figure.
C alculer x pour que le périm ètre de cette figure soit 18,6 cm
2° En rassem blant la figure, exprim er en fonction de x l’ aire de
cette figure, calculer x pour que l’ aire de cette figure soit
25 cm2 .
x 2 = 25 = 5 2
donc x = 5 cm
Equerre d’onglet, triangles angles aires
C OR R IGE
1° Le triangle NGL est rectangle isocèle en G donc ses angles à
la base m esurent 45°:
L’ objet ONLIT représenté (figure grisée) est une « équerre de
! !
m enuisier » . OGLT est un rectangle.
GNL = GLN = 45°.
OG = TL = 12cm ; OT = GL = 8cm ; IT = TE = EI = EL = 6 cm .
2° Le triangle T IE est équilatéral donc ses angles m esurent 60°.
! !
O
N
G
3° Les angles IEL et IET sont adjacents supplém entaires donc
!
!
IEL = 180° - IET = 180° - 60° = 120°
Le triangle IEL est isocèle en E, ses angles à la base sont égaux
I
donc :
8 cm
!
! ! 180° - IEL
180° - 120°
EIL = ELI =
=
= 30°.
2
2
! ! ! !
GLT = GLN + ILN + ILT
! ! ! !
ILN = GLT – GLN – ILT
E
!
ILN = 90° – 45° – 30°
!
12 cm
T
L (Ecrire sur le ILN = 15°
La som m e des angles du triangle T IL est 180° :
dessin la m esure des angles au fur et à m esure.)
!
! !
1° Quelle est la nature du triangle NGL ?
T IL = 180° – ILT – IT L
! !
!
Quelle est la m esure des angles GNL et GLN ?
T IL = 180° – 30° – 60° = 90°
! !
4° Les angles ONL et LNG sont adjacents supplém entaires donc
2° Quelle est la nature du triangle T IE ?
!
!
Quelle est la m esure de chacun de ses angles ?
ONL = 180° – LNG = 180° – 45° = 135°
! !
5° Les angles OT I et IT L sont adjacents com plém entaires donc
!
3° Quelle est la m esure de l’ angle IEL ? (justifier)
!
!
OT I = 90° – IT L = 90° – 60° = 30°
Quelle est la nature du triangle IEL ?
6° Utiliser l’équerre et le compas.
! !
C alculer la m esure des angles EIL et ELI .
Aire du rectangle OGLT :
En utilisant les résultats précédents, calculer la m esure de
OG × OT = 12 × 8 = 96 cm2
!
NG × GL
l’ angle ILN .
AireNGL =
!
2
C alculer la m esure de l’ angle T IL .
8 ×8
AireNGL =
= 32 cm2
2
!
4° C alculer l’ angle ONL.
T IL est rectangle en I :
TI × IL
AireTIL =
!
2
5° C alculer la m esure de l’ angle OT I .
6 × 10,4
AireTIL ≈
2
6° R eproduire aux dim ensions réelles le dessin.
AireTIL ≈ 312
, cm2
C alculer l’ aire du rectangle OGLT .
C alculer l’ aire du triangle NGL.
C alculer l’ aire du triangle T IL (Indiquer sur le dessin les
m esures effectuées).
C alculer l’ aire de l’ équerre d’ onglet ONLIT .
Aire de ONLIT = aireOGLT – aireNGL – aireT IL
= 96 – 32 – 31,2 = 32,8 cm 2
L’enclos à moutons
Un berger dispose de 60 m de clôture m obile pour faire un enclos à m outons.
Il hésite entre un enclos :
a) carré
b) circulaire.
c) rectangulaire dont la longueur est le double de la largeur.
c) de form e un hexagone régulier (polygone à six côtés égaux, inscrit dans un cercle).
1° P our chaque form e, calculer l’ aire obtenue et classer les form es selon leur aire.
2° A l’ échelle 1/100° (1 cm représente 1 m ), dessiner sur le m êm e dessin les quatre enclos envisagés, en faisant coïncider le centre
de chaque enclos.
R etrouver le classem ent obtenu en 1° en com parant les dessins.
La table à rallonges
C OR R IGE
1° P érim ètre : 1,2 × 314
, = 3, 768 m
Utiliser 3,14 com m e valeur approchée de π.
Une table de 1,2 m de diam ètre est form ée de deux dem i-disques R ayon de la table : 1,2 = 0, 6 m
2
que l’ on peut écarter pour intercaler une rallonge rectangulaire
Aire
:
0
6
0
6
3
14
11304
,
×
,
×
,
=
,
m2
dont une dim ension est 1,2 m selon le dessin ci dessous :
2° P our doubler l'aire de la table, on utilise une rallonge qui a la
m êm e aire que la table, l'aire de la rallonge est donc de
table
rallonge
1,1304 m2 .
1,2 m
seule
La dim ension x de la rallonge vérifie l'équation:
1,2 × x = 11304
,
m2
1,1304
1,2
x = 0,942 m
x=
1° C alculer le périm ètre et l’ aire de cette table sans rallonge.
La rallonge m esure 1,2 m sur 0,942 m
2° On veut doubler l’ aire de la table seule en ajoutant une
rallonge. Quelle doit être l’ aire de la rallonge ?
C alculer la largeur de la rallonge.
3° P our doubler le périm ètre de la table, le total des deux
dim ensions x de la rallonge doit être égal au périm ètre de la
table:
2 × x = 3,768 m
3° On veut doubler le périm ètre de la table en lui ajoutant une
rallonge.
Quelle doit être la largeur de la rallonge ?
3,768
2
x = 1,884 m
x=
La rallonge m esure 1,2 m sur 1,884 m
4° Dessiner les plans de la table dans chacun des trois cas
décrits dans les questions 1°, 2° et 3°.
On utilisera l’ échelle : 1 cm sur le dessin représente 20 cm =
0,2 m en réalité (échelle 1 20 ).
4° Longueurs:
S ur le dessin
1
60 20 = 3 cm
En réalité
20
0,6 m = 60 cm
94,2 20 = 4,71 cm
94,2 cm
188 ,4 20 = 9 ,42 cm
188,4 cm
Réaliser les trois dessins aux dimensions calculées. Indiquer en
légende les dimensions réelles ( comme sur une carte)