Nombres Décimaux

Sixième
Nombres Décimaux
sguhel
Collège La Pyramide
Nombres Décimaux Sixième
............................................................................................................................................................................................. 0
1
2
Introduction................................................................................................................................................................. 2
1.1
Quand les entiers ne suffisent plus ..................................................................................................................... 2
1.2
Avec des écritures fractionnaires ....................................................................................................................... 3
1.3
De l’écriture fractionnaire à la virgule................................................................................................................. 4
Ecriture d’un nombre décimal .................................................................................................................................... 4
2.1
Ecriture fractionnaire .......................................................................................................................................... 4
2.2
Ecriture décimale ................................................................................................................................................. 5
3
Droite graduée ............................................................................................................................................................ 6
4
Comparer deux nombres décimaux ............................................................................................................................ 7
5
Encadrement/Valeur approchée d’un nombre décimal .............................................................................................. 8
6
5.1
Encadrer un nombre décimal ................................................................................................................................ 8
5.2
Valeur approchée d’un nombre décimal décimale ................................................................................................. 8
Compétences .............................................................................................................................................................. 10
1
Nombres Décimaux Sixième
Compétences :
Lire un nombre décimal à haute voix ;
Écrire en lettres ou en chiffres un nombre décimal dicté ;
Écrire en lettres un nombre décimal écrit en chiffres ;
Écrire un nombre décimal de plusieurs manières (décompositions);
Comparer deux nombres décimaux ;
Encadrer un nombre décimal ;
Lire l’abscisse d’un point, encadrer l’abscisse d’un point ;
Placer un point dont on connaît l’abscisse sur une droite graduée ;
Déterminer une valeur approchée par excès, par défaut, une valeur
arrondie, un encadrement, à l’unité au dixième, …
1 Introduction
1.1 Quand les entiers ne suffisent plus
Activité :
1) Complète les phrases à trous de cette histoire.
2) Imagine la suite de cette histoire si la ficelle avait mesuré plus de 5 bâtons et 4 dixièmes de
bâton, mais moins de 5 bâtons et 5 dixièmes de bâtons.
2
Nombres Décimaux Sixième
3) L'homme se dit qu'il a trouvé quelque chose de très intéressant, et décide cette fois de partager un
carré en parts égales.
En prenant comme unité le carré (ou plutôt son aire), comment peut-on exprimer les parties colorées
dans chacun des cas suivants ?
1.2 Avec des écritures fractionnaires
Activité :
Introduction
1) Ecris en utilisant des écritures fractionnaires les résultats trouvés dans la dernière question
de l'activité précédente.
2) Trouve plusieurs écritures différentes pour les cas d, e, f, g et h.
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Nombres Décimaux Sixième
1.3 De l’écriture fractionnaire à la virgule
Activité :
Exercice d’application :
2,5 € et 2,05€, c’est la même chose ?
2,5 € signifie 2 euros et 5 dixièmes d’euros, 1 dixième correspond à 10 centièmes donc 5 dixièmes
correspondent à 50 centièmes. 2,5 € signifie donc 2 euros et 50 centimes.
2,05 € signifie 2 euros et 5 centièmes d’euros soit 2 euros et 5 centimes
2 Ecriture d’un nombre décimal
2.1 Ecriture fractionnaire
Exemples :
1
1. « un dixième » : 10
1
2. « un centième » : 100
1
3. « un millième » : 1 000
18
180
1 800
4. « dix-huit millièmes » : = 1 000 = 10 000 = 100 000 = …
Ecriture d’un nombre décimal
Propriété : Tout nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.
4
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Attention !!
Il y a une infinité de façon d'écrire un nombre décimal sous forme d'une fraction décimale
5.
76 +
« soixante-seize et douze dix-millièmes »
12
10 000
=
760 012
10 000
= 76 +
1
1 000
+
2
10 000
=…
Attention !!
Il existe plusieurs décompositions possibles d'un nombre décimal.
2.2 Ecriture décimale
Exemples :
1) « soixante-seize et douze dix-millièmes »
2) « deux millions cinq cent quatre-vingt-seize mille huit cents »
3) « dix-huit millièmes »
Exemple1 :
Ecriture d’un nombre décimal
Le premier nombre s'écrit :
5
Nombres Décimaux Sixième
Exemple2 :
Le deuxième nombre s'écrit :
Remarque :
Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle : en effet, ce deuxième
nombre peut s'écrire 2 596 000,0 ou 2 596 000,00 ou …
Les zéros placés à droite de la virgule sont alors appelés zéros inutiles.
Exemple3 :
Le troisième nombre s'écrit :
3 Droite graduée
L'abscisse de B est 0,3 et celle de A est 3,2.
Droite graduée
Exemple :
6
Nombres Décimaux Sixième
Exemple :
Quelles sont les abscisses des points A, B et C ?
Place les points D, E, F et G d'abscisses respectives 5,4 ; 6,22 ; 5,9 et 5,49.
Range alors les abscisses des points A, B, C, D, E, F et G dans l'ordre décroissant.
4 Comparer deux nombres décimaux
Définition : Comparer deux nombres, c'est indiquer quel est le plus petit des deux ou le
plus grand des deux ou dire s'ils sont égaux.
Exemples :
5,7 < 6 : 5,7 est plus petit que 6 (ou 5,7 est inférieur à 6);
3,5 =
350
100
350
: 3,5 est égal à 100
19,3 > 19,13: 19,3 est plus grand que 19,13 (ou 19,3 est supérieur à 19,13)
ranger du plus petit au plus grand (resp. du plus grand au plus petit).
Exemple :
Ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant : 1,1 ; 2,2 ; 1 ; 2,104 ; 0,7 ; 1,06
1) On compare d'abord les parties entières :
0,7
1 et 1,1 et 1,06
2,2 et 2,104
Comparer deux nombres décimaux
Définition : Ranger des nombres dans l'ordre croissant (resp. décroissant)consiste à les
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Nombres Décimaux Sixième
2) On compare ensuite les parties décimales (on rajoute si nécessaire des zéros inutiles pour qu'elles
aient le même nombre de chiffres) :
2,2 = 2,200
1=1,00
2,104 < 2,200
1,1=1,10
1,06
1,00 < 1,06 < 1,10
3) On obtient finalement :
0,7 < 1 < 1,06 < 1,1 < 2,104 < 2,2
5 Encadrement/Valeur approchée d’un nombre décimal
5.1 Encadrer un nombre décimal
Définition : Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit et un nombre plus
Exemple :
On encadre le nombre 3,14 :
3 < 3,14 < 4 : encadrement à l'unité (on a encadré 3,14 par deux nombres entiers qui se suivent)
3,1 < 3,14 < 3,2 : encadrement au dixième.
5.2 Valeur approchée d’un nombre décimal décimale
Définition : Une valeur approchée décimale d'un nombre est un nombre décimal qui lui est
très proche.
Encadrement/Valeur approchée d’un nombre décimal
grand que celui-ci.
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Nombres Décimaux Sixième
Exemple :
La longueur a du segment [MN] est comprise entre 2,1 et 2,2.


2,1 est une valeur approchée par défaut (plus petite) de a ;
2,2 est une valeur approchée par excès (plus grande) de a ;
Remarque :
On peut donner différentes précisions aux valeurs approchées d'un nombre : à l'unité près, au dixième près, au
centième près, ...
Encadrement/Valeur approchée d’un nombre décimal
Exemple :
9
Nombres Décimaux Sixième
6 Compétences
 Ce que je dois connaître :
Qu'est-ce qu'un nombre décimal?
La valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un nombre décimal ;
Les différentes écritures d’un nombre décimal ;
La définition d'une droite graduée, de l’abscisse d’un point ;
La règle lorsqu’on multiplie ou divise par 10, 100 ou 1 000 ;
Qu'est-ce qu'un encadrement ? une valeur approchée par excès ? par défaut ? une valeur arrondie ?
Lire un nombre décimal à haute voix ;
Écrire en lettres ou en chiffres un nombre décimal dicté ;
Écrire en lettres un nombre écrit en chiffres ;
Écrire un nombre décimal de plusieurs manières (fraction décimale, écriture à virgule, somme de fractions
décimales, …) ;
Comparer deux nombres décimaux ;
Encadrer un nombre décimal ;
Lire l’abscisse d’un point, encadrer l’abscisse d’un point ;
Placer un point dont on connaît l’abscisse sur une droite graduée ;
Multiplier ou diviser par 10 ; 100 ; 1 000 ; …
Donner une valeur approchée (par excès ou par défaut ou en arrondissant) d’un nombre à l’unité, ou
dixième ou au centième ;
Convertir des unités de longueur ;
Résoudre des problèmes faisant intervenir ces notions.
Compétences
 Ce que je dois savoir faire :
10