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Nombres Relatifs - Rappels de 5ème
(−6) ⊖ (−4) = (−6) ⊕ (+4) = (−2)
(−11) ⊖ (+8) = (−11) ⊕ (−8) = (−19)
. . . (−3) (−2) (−1) 0 (+1) (+2) (+3) . . .
{z
}
|
{z
}
|
nombres négatifs
{z
|
Ecritures simplifiées
nombres positifs
nombres relatifs
}
(+5) + (+8) = 5 + 8
Comparaisons
(−3) + (+7) = −3 + 7
– Un nombre négatif est toujours plus petit qu’un
(+4) − (+7) = 4 − 7
nombre positif :
(−11) − (+8) = −11 − 8
(−7) < (+3)
– Deux nombres positifs sont rangés dans le même
ordre que leurs distances à zéro :
3 < 4 ⇒ (+3) < (+4)
– Deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre
contraire à celui de leurs distances à zéro :
3 < 4 ⇒ (−3) > (−4)
Sommes de deux nombres relatifs
(−6) + (−4) = −6 − 4
(+5) + (−12) = 5 − 12
(−6) − (−4) = −6 + 4
« Je gagne ... et je perds ... donc ... »
Pour calculer une écriture simplifiée ne comportant
que deux termes, on peut se contenter de trois cas :
Double gain :
Compensation :
5 + 8 = 13
−3 + 7 = +4
Double perte :
4 − 7 = −3
Pour ajouter deux relatifs de même signe :
1. on écrit le signe commun à ces deux nombres,
2. on ajoute leurs distances à zéro.
(+5) + (+8) = (+13)
(−6) + (−4) = (−10)
−11 − 8 = −19
−6 + 4 = −2
Sommes Algébriques
C’est une écriture simplifiée comportant plus de
deux termes ; par exemple :
Pour ajouter deux relatifs de signes contraires :
1. on écrit le signe du plus éloigné de zéro,
2. on soustrait leurs distances à zéro.
(+5) + (−3) = (+2)
(−7) + (+15) = (+8)
Opposé d’un nombre relatif
L’opposé d’un nombre relatif x est le nombre relatif
= (−6) + (+9) + (−11) + (−23) + (+18)
c’est bien une somme (de relatifs) !
On peut donc regrouper les positifs :
S = (+9) + (+18) + (−6) + (−11) + (−23)
= 9 + 18 − 6 − 11 − 23
= +27 − 40
noté − x qui possède :
1. la même distance à zéro.
= −13
En pratique, on dit que l’on doit déplacer les ter-
2. le signe contraire.
−(−3) = (+3)
S = −6 + 9 − 11 − 23 + 18
− (+3) = (−3)
mes de la somme avec leur signe , et on écrit donc :
S = −6 + 9 − 11 − 23 + 18
Différence de deux nombres relatifs
Pour soustraire un nombre relatif à un autre nombre
= +
+ 18} |−6 − {z
11 − 23}
| 9{z
relatif, on ajoute au premier l’opposé du second.
= +27 − 40
(+4) ⊖ (+7) = (+4) ⊕ (−7) = (−3)
=+27
= −13
=−40
Nombres Relatifs - Cours de 4ème
Produit de nombres relatifs
Rappel : un produit est le résultat d’une multiplication.
Règle des signes
Par exemple, calculons :
E = 4 − (−2 + 7) × 3 +
= 4−5×3+
10
−6 + 1
10
−5
= 4 − 15 − 2
– Le produit de deux nombres relatifs
de même signe est positif.
– Le produit de deux nombres relatifs
= +4 − 17
= −13
de signes contraires est négatif.
(+4) × (+7) = (−4) × (−7) = (+28)
(+2) × (−3) = (−2) × (+3) = (−6)
Inverse d’un nombre relatif non-nul
Soit x un nombre relatif non-nul.
L’inverse du nombre relatif x est le nombre relatif y
Un produit de nombres relatifs est :
pour lequel le produit x × y est égal à 1.
– positif si le nombre de facteurs négatifs est pair.
– négatif si ce nombre est impair.
L’inverse de x se note x−1 ou
1
.
x
Exemples :
Par exemple, l’inverse de 2 est 0, 5 car 2 × 0, 5 = 1.
• (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = (−1)
| {z } | {z } | {z } | {z } | {z }
car produit de 5 facteurs négatifs.
On écrit donc :
• (−7) ×(+2) × (−5) = (+70)
| {z }
| {z }
car produit comprenant 2 facteurs négatifs.
• (−2, 9) × (−4) ×(+1, 5) × (−10) = (−174)
| {z }
| {z } | {z }
car produit comprenant 3 facteurs négatifs.
Quotient de deux nombres relatifs
2− 1 =
1
= 0, 5
2
Attention ! Les mots « inverse » et « opposé »
ne sont pas du tout synonymes ! ! !
l’opposé de 2 est simplement (−2) !
Rappel : un quotient est le résultat d’une division.
Le signe du quotient de deux nombres relatifs (bien
entendu non-nuls) est toujours le même que le signe
du produit de ces deux nombres.
(−36)
= (−4)
(+9)
(−36)
= (+4)
(−9)
(+36)
= (−4)
(−9)
(+36)
= (+4)
(+9)
Priorités opératoires
Comme en 5ème , on effectue prioritairement :
1. les calculs entre parenthèses,
2. les multiplications et les divisions,
3. les additions et les soustractions.
L’inverse de 0, 5 est 2 :
0, 5−1 =
1
=2
0, 5
Plus généralement :
Si y est l’inverse de x, alors x est l’inverse de y.
On dit alors que x et y sont inverses l’un de l’autre.
• 2 et 0, 5 sont inverses l’un de l’autre.
• 10 et 0, 1 sont inverses l’un de l’autre.
• 100 et 0, 01 sont inverses l’un de l’autre.
• 1000 et 0, 001 sont inverses l’un de l’autre.
• (−4) et (−0, 25) sont inverses l’un de l’autre.
• (−0, 1) et (−10) sont inverses l’un de l’autre.