Exercice C7

Exercice C7
1. Soit n ∈ N. On est dans l’un des cas suivants :
n ≡ 0 (5) ou n ≡ 1 (5) ou n ≡ 2 (5) ou n ≡ 3 ≡ −2 (5) ou n ≡ 4 ≡ −1 (5)
Le premier cas n ≡ 0 (5) correspond à « n est multiple de 5 »,
les quatre autres cas correspondent à « n n’est pas multiple de 5 ».
Etudions ces différents cas :
• Si n ≡ 0 (5) alors n4 ≡ 0 (5) donc n4 − 1 ≡ −1 ≡ 4 (5), donc n4 − 1 n’est pas multiple de 5.
• Si n ≡ 1 (5) alors n4 ≡ 14 ≡ 1 (5) donc n4 − 1 ≡ 0 (5), donc n4 − 1 est multiple de 5.
• Si n ≡ 2 (5) alors n4 ≡ 24 ≡ 16 ≡ 1 (5) donc n4 − 1 ≡ 0 (5), donc n4 − 1 est multiple de 5.
• Si n ≡ 3 ≡ −2 (5) alors n4 ≡ (−2)4 ≡ 16 ≡ 1 (5) donc n4 − 1 ≡ 0 (5),
donc n4 − 1 est multiple de 5.
• Si n ≡ 4 ≡ −1 (5) alors n4 ≡ (−1)4 ≡ 1 (5) donc n4 − 1 ≡ 0 (5),
donc n4 − 1 est multiple de 5.
On a donc obtenu que :
« si n est multiple de 5, alors n4 − 1 n’est pas multiple de 5 »
et
« si n n’est pas multiple de 5, alors n4 − 1 est multiple de 5 ».
C’est-à-dire :
« n n’est pas multiple de 5 » est équivalent à
« n4 − 1 est multiple de 5 ».
2. On a 35 = 243, donc 3 et 35 ont le même chiffre des unités qui est 3.
72 = 49 et 76 = 117649, donc 72 et 76 ont le même chiffre des unités qui est 9.
28 = 256 et 212 = 4096, donc 28 et 212 ont le même chiffre des unités qui est 6.
43 = 64 et 47 = 16384, donc 43 et 47 ont le même chiffre des unités qui est 4.
3. « a et b ont le même chiffre des unités » se traduit en termes de congruences par « a ≡ b (10) ».
En effet le chiffre des unités correspond au reste dans la division par 10.
4. Soit n ∈ N et p ∈ N∗ ,
on peut écrire : np+4 − np = np (n4 − 1) = n × np−1 (n2 − 1)(n2 + 1) = n × np−1 (n − 1)(n + 1)(n2 + 1)
On peut remarquer que (n − 1) et n étant deux nombres consécutifs, l’un des deux est un nombre pair.
Donc n × np−1 (n − 1)(n + 1)(n2 + 1) est pair, donc np+4 − np est pair.
De plus :
• Si n est multiple de 5, n × np−1 (n − 1)(n + 1)(n2 + 1) est aussi multiple de 5, donc np+4 − np est multiple de 5.
• Si n n’est pas multiple de 5, on sait d’après la première question que n4 − 1 est multiple de 5, donc
np+4 − np = np (n4 − 1) est multiple de 5.
On a donc démontré que, dans tous les cas, np+4 − np est un nombre pair multiple de 5.
Donc np+4 − np ≡ 0 (10) , c’est-à-dire que np+4 et np ont le même chiffre des unités.
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Terminale S : Arithmétique - Exercices
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