Arithmétique

Arithmétique
1
Divisibilité
1.1
Vocabulaire
On peut écrire : 15 = 3 × 5.
On dit alors que :
– 15 est multiple de 3 ;
– 3 est un diviseur de 15 ;
– 3 divise 15 ;
– 15 est divisible par 3.
Remarque :
15 = 15 × 1 . . . De manière générale : a = a × 1, donc :
– 1 est un diviseur de tous les nombres entiers ;
– Tout nombre entier non nul est son propre diviseur.
Un nombre qui ne possède que deux diviseurs (1 et lui-même) est appelé nombre premier.
1.2
Un
Un
Un
Un
Un
1.3
1.3.1
Critères de divisibilité
nombre
nombre
nombre
nombre
nombre
entier
entier
entier
entier
entier
est
est
est
est
est
divisible
divisible
divisible
divisible
divisible
par
par
par
par
par
2
3
9
5
4
s’il est pair.
si la somme de ses chiffres est multiple de 3.
si la somme de ses chiffres est multiple de 9.
si son chiffre des unités est 0 ou 5.
si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est multiple de 4.
Propriété
découverte
Observons 21 et 35.
21 = 3 × 7 et 35 = 5 × 7, 21 et 35 sont donc deux multiples de 7.
Observons leur somme : 21 + 35 = 53 = 8 × 7, la somme est aussi un multiple de 7.
Observons leur différence : 35 − 21 = 14 = 2 × 7, la différence est aussi un multiple de 7.
1.3.2
preuve dans le cas général
Supposons que a at a’ soient deux multiples d’un entier b.
Alors il existe deux entiers q et q’ qui vérifient : a = q × b et a0 = q 0 × b.
a + a0 = q × b + q 0 × b = (q + q 0 ) × b : la somme de a et a’ est un multiple de b.
a − a0 = q × b − q 0 × b = (q − q 0 ) × b : la différence de a est a’ et un multiple de b.
1.3.3
conclusion
Si un entier divise deux nombres entiers, alors il divise leur somme et leur différence.
1.4
diviseurs communs
Liste des diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Liste des diviseurs de 27 : 1, 3, 9, 27.
42 et 27 ont pour diviseurs communs 1 et 3.
3 est le plus grand diviseur commun de 42 et 27, on écrit : PGCD(42 ;27)=3.
Liste des diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Liste des diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
donc P GCD(24; 36) = 12.
Lorsque le PGCD de deux entiers est 1, on dit que ces deux entiers sont premiers entre eux.
Exemple :
Liste des diviseurs de 23 : 1, 23.
Liste des diviseurs de 6 : 1, 2, 3, 6.
donc P GCD(23; 6) = 1 : 23 et 6 sont premiers entre eux.
2
Recherche du PGCD
2.1
lister les diviseurs
Voir ci-dessus.
2.2
algorithme d’Euclide
On veut calculer le PGCD de 360 et 252.
a
b
reste
360
252
108
360 = 1 × 252 + 108
252
108
36
252 = 2 × 108 + 36
108
36
0
108 = 3 × 36
Le dernier reste non nul est 36, c’est le PGCD de 360 et 252.
3
Applications
3.1
Fractions irréductibles
Une fraction est dite irréductible lorsqu’elle est simplifiée « le plus possible ».
Propriété :
Une fraction est irréductible lorsque numérateur et dénominateur sont premiers entre eux.
Exemple :
27 et 14 sont premiers entre eux, donc
27
14
et
14
27
sont des fractions irréductibles.
Pour rendre une fraction irréductible, on peut diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.
Exemple :
Rendre irréductible la fraction 2585
.
715
On calcule le PGCD de 2585 et 715 par l’algorithme d’Euclide :
a
b
reste
2585
715
440
2585 = 3 × 715 + 440
715
440
275
715 = 1 × 440 + 275
440
275
165
440 = 1 × 275 + 165
275
165
110
275 = 1 × 165 + 110
165
110
55
165 = 1 × 110 + 55
110
55
0
110 = 2 × 55
On en déduit :
3.2
2585
715
=
2585:55
715:55
=
P GCD(2585; 715) = 55
47
.
13
Exercice « type »
Un fleuriste dispose de 182 brins de muguet et de 78 roses. Il veut faire le plus grand nombre possible
de bouquets, tous identiques, en utilisant toutes les fleurs. Combien peut-il faire de bouquets ? Quelle est la
composition de chaque bouquet ?
Solution :
S’il utilise toutes les fleurs, le nombre de bouquets divise le nombre de brins de muguet et le nombre de
roses. Comme il veut faire le plus grand nombre possible de bouquets, il s’agit du PGCD de 182 et 78.
Calcul de PGCD(182 ;78) par l’algorithme d’Euclide :
a
b
reste
182
78
26
182 = 2 × 78 + 26
78
26
0
78 = 3 × 26
Donc P GCD(182; 78) = 26
Il fera 26 bouquets.
182 : 26 = 7
78 : 26 = 3 Chaque bouquet comportera 7 brins de muguet et 3 roses.