Chapitre Opérations avec des nombres décimaux ➢ Division d’un nombre décimal par un entier. ➢ Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ...etc. ➢ Multiplier un nombre décimal par un nombre décimal. ➢ Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. ➢ Savoir effectuer ces opérations sous diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. ➢ Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. ➢ Établir un ordre de grandeur d’une somme, d’une différence, d’un produit. Remarques : Notions étudiées en CM2 : ➢ Additions de décimaux . ➢ Multiplication d’un nombre décimal par 10, 100, 1 000 ...etc . ➢ Division d’un nombre décimal par 10, 100, 1 000 ...etc. ➢ Tables d’addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. Chapitre Opérations avec des nombres décimaux 1) Ordres de grandeur pour une addition : a) Méthode: Pour obtenir un ordre de grandeur d’une somme : ➢ on remplace chacun des termes de la somme par un autre nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul mental ; ➢ on effectue l’addition avec ces nombres ; ➢ on obtient un résultat proche du résultat exact. Ce nombre est un ordre de grandeur de la somme. Exemple : Si on veut avoir un ordre de grandeur de la somme 32,14 + 397 + 204,3 ; on peut calculer 30 + 400 + 200 = 630. On dira que le nombre est un ordre de grandeur de la somme. b) Remarques : ➢ On procède de la même manière pour trouver un ordre de grandeur d’une différence. ➢ Plusieurs ordres de grandeur sont possibles pour un même résultat. Exemple : Pour calculer un ordre de grandeur de 234,7 − 123,83 ; on peut calculer mentalement : 235 − 124 = 111 (on arrondit les termes de la soustraction à l’unité) 230 − 120 = 110 (on arrondit les termes de la soustraction à la dizaine) 200 − 100 = 100 (on arrondit les termes de la soustraction à la centaine) 111 ; 110 et 100 sont des ordres de grandeur différents de 234,7 − 123,83 . 110,87 est le résultat exact, calculé en posant l’opération. 2 3 4, 7 - 1 2 3, 8 3 1 1 0, 8 7 c) Utilisations : On peut rechercher un ordre de grandeur du résultat d’une opération pour : ➢ prévoir un résultat : on peut avoir rapidement une idée approximative d’un résultat sans effectuer le calcul exact ; ➢ vérifier le résultat d’une opération, même effectuée à la calculatrice. Exemple : Jean a écrit : « 234,87 + 78,7 + 987,534 = 2 367,654 » Un ordre de grandeur de cette somme est : 230 + 80 +1 000 = 1 310 . Le résultat proposé par Jean est trop éloigné de l’ordre de grandeur ; comme le calcul de l’ordre de grandeur est juste ; on peut en déduire rapidement que Jean s’est trompé dans son calcul. 2) Multiplications de nombres décimaux : a) Multiplier par 10 ,100, 1 000, ...etc: (rappels CM2) Pour multiplier par On décale la virgule de Exemples 10 1 rang vers la droite 0,54 ×10 =5,4 100 2 rangs vers la droite 125 ×100 =12 500 1 000 3 rangs vers la droite 45,75× 1 000 =45 750 10 000 4 rangs vers la droite 0,02 ×10 000 =200 Remarques: Pour tout nombre décimal a : 0 × a = a ×0 = 0 et 1× a = a × 1= a Exemples : 236 358× 0 =0 2,689× 1= 2,689 b) Multiplier un entier par un nombre inférieur à 1 : Pour multiplier par On décale la virgule de Exemples 0,1 1 rang vers la gauche 32× 0,1= 3,2 0,01 2 rangs vers la gauche 125 × 0,01=1,25 0,001 3 rangs vers la gauche 2010× 0,001 =2,010 Exemples : 48 ×0,1 = 48× 1 48 = =4,8 (multiplier par 0,1 revient donc à diviser le nombre par 10) 10 10 530 × 0,01= 530 × 1 530 = =5,3 (multiplier par 0,01 revient donc à diviser le nombre par 100) 100 100 1 256 = =0,256 1 000 1 000 (multiplier par 0,001 revient donc à diviser le nombre par 1 000) 256 ×0,001 =256 × 5 × 0,9 =5 ×9 × 0,1 =5× 9× 0,1 =45 × 0,1= 4,5 c) Remarque importante sur la multiplication : On n’augmente pas toujours la valeur d’un nombre en le multipliant . Exemples : On diminue la valeur d’un nombre positif en le multipliant par un nombre compris entre 0 et 1 . 0,1 × 48 = 4,8 ; quand on multiplie 48 par 0,1 < 1, le produit obtenu 4,8 est inférieur à 48. 0,9 × 5 = 4,5 ; quand on multiplie 5 par 0,9 < 1, le produit obtenu 4,5 est inférieur à 5. d) Multiplier deux nombres décimaux : Exemple : Effectue la multiplication de 2,34 par 1,2. 2, 3 4 1, 2 4 6 8 3 4 . × +2 2, 8 0 × 100 2 × 10 4 1 2 4 6 8 +2 3 4 2 8 0 × : 1 000 8 3 8 Méthode: ➢ On pose l'opération comme s'il s'agissait de nombres entiers. ➢ On effectue la multiplication de 234 par 12 sans tenir compte des virgules. ➢ 234 est 100 fois plus grand que 2,34 ➢ 12 est 10 fois plus grand que 1,2. ➢ Le produit 2,34 × 1,2 est donc 1 000 fois plus petit que 2 808. ➢ Pour obtenir le résultat, on effectue donc la division 2 808 : 1 000. Pour diviser par 1 000, on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche. Finalement 2,34 × 1,2 = 2,808. Exemples : A=13,5 × 25,2= 340,20 1 3, 5 2 5, 2 2 7 0 6 7 5 7 0 4 0, × +2 3 2 0 × 10 1 3 5 2 5 2 2 7 0 6 7 5 +2 7 0 3 4 0 × × 10 : 100 B = 0,023× 0,5 =0,011 5 0, 0 × 0, 0 1 2 3 0, 5 1 5 × 1 000 × 10 : 10 000 2 × 1 3 5 1 5 2 0 3) Organisation d’un calcul On peut modifier l’ordre des facteurs d’une multiplication et les regrouper sans que cela change la valeur du produit. On peut ainsi simplifier certains calculs. Exemples : A= 2,75 ×5 × 2,5 ×2 × 4= 2,75 ×5 × 2 ×2,5 ×4 =2,75 ×10 × 10= 2,75 ×100 = 275 . On peut permuter les facteurs de la multiplication et les regrouper astucieusement B = 2,2 ×0,6 =22 ×0,1×6 × 0,1 B =22 × 6×0,1 ×0,1=132 × 0,01= 1,32 4) Ordres de grandeur pour une multiplication : Méthode: Pour obtenir un ordre de grandeur d’un produit : ➢ on remplace chacun des facteurs par un autre nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul mental ; ➢ on effectue la multiplication avec ces nombres ; ➢ on obtient un résultat proche du produit exact. Ce nombre est un ordre de grandeur du produit. Exemples : Déterminer un ordre de grandeur du produit 21,18 ×60,35 ➢ 21,18 est proche de 20 et 60,35 est proche de 60 ➢ on peut calculer mentalement: 20× 60 =1 200 ➢ un ordre de grandeur de 21,18 ×60,35 est donc 1 200 . Déterminer un ordre de grandeur du produit 10,8 × 2,3 ➢ 10,8 est proche de 11 et 2,3 est proche de 2 ➢ on peut calculer mentalement: 11 × 2= 22 ➢ un ordre de grandeur de 10,8 × 2,3 est donc 22 . 5) Division d’un nombre décimal par un entier : Exemple 1 : Division de 75,8 par 4. 7 - 5, 8 0 4 - 1 3 5 3 2 - On commence la division, comme pour une division euclidienne. Le reste de la division euclidienne est égal à 3. 4 8, 9 5 Dès que l’on atteint la partie décimale du dividende, on place la virgule au quotient. 3 8 3 6 - 2 0 2 0 On finit ici par obtenir un reste égal à 0 pour la division décimale. 75,8 : 4= 18,95 0 Exemple 2 : Calculer une valeur arrondie au millième du quotient de 4,9 par 9. On effectue la division de 4,9 par 9. 4, - 9 0 0 0 9 4 5 - 9 0, 4 4 0 3 6 - 4 0 3 6 4 On commence la division, comme pour une division euclidienne. Le reste de la division euclidienne est égal à 4. 5 4 4 Dès que l’on atteint la partie décimale du dividende, on place la virgule au quotient. Comme on obtient le même reste 4 , la division ne « s'arrête » pas : le quotient de 4,9 par 9 n'a pas d'écriture décimale exacte, mais on peut en donner une valeur décimale approchée : 4,9 : 9 ≈ 0,544 (valeur arrondie au millième).