8 Vecteurs

8
Vecteurs
Pour caractériser certaines grandeurs, il suffit d’un nombre et d’une unité : un
arbre de 8 m de haut, deux villes distantes de 60 km, un sac de 36 kg, de l’eau
à 28˚. Les grandeurs caractérisées par un nombre sont dites scalaires.
D’autres grandeurs ne sont pas complètement caractérisées par un nombre.
Par exemple, un déplacement de 30 m n’est pas complètement décrit tant
qu’on n’indique pas sa direction et son sens : il faut préciser, par exemple,
30 m vers l’ouest. Une grandeur vectorielle est caractérisée par un nombre,
une direction et un sens. Les translations, les forces, la vitesse et l’accélération
sont des grandeurs vectorielles.
Un vecteur non nul est la donnée :
– d’une direction ;
– d’un sens ;
– d’une longueur que l’on appelle la norme .
Un vecteur est l’ensemble de toutes les flèches équivalentes qui définissent la
même translation. Chaque flèche est un représentant du vecteur.
Sans référence à un représentant, un vecteur se note par une lettre minuscule surmontée d’une flèche : ~v , w,
~ ~a, . . . L’origine et l’extrémité d’une flèche
−
−
−
−→ −
−
−
−→ −
−
−
−→
représentant un vecteur sont aussi utilisées pour le désigner : AB, AC, PQ, . . .
On note k~v k la norme d’un vecteur ~v .
Exemple
Soit ABCDEF un hexagone régulier de centre O :
F
A
E
O
B
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
D
C
AF = BO = OE = CD sont des représentants du même vecteur.
BA = OF = CO = DE sont des représentants d’un autre vecteur.
BC et EF ne représentent pas le même vecteur, car ils sont de sens contraires.
BC et AD ne représentent pas le même vecteur, vu qu’ils n’ont pas la même
norme.
Dans le cas particulier où l’origine et l’extrémité de la flèche représentant un
vecteur sont confondues, il n’y a pas de déplacement et la translation correspondante est l’identité. Par extension, on définit le vecteur nul comme le
vecteur de norme nulle dont la direction et le sens ne sont pas définis. On le
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−→
note ~0 ou AA = BB = PP = . . .
Géométrie : vecteurs
8.1
8.1
Énumérer tous les vecteurs qui admettent plusieurs représentants extraits des
figures ci-dessous.
1)
F
B
2)
A
F
B
G
C
C
D
E
E
A
H
D
Addition des vecteurs
La somme des vecteurs ~a et ~b est le vecteur correspondant à la composition
des deux translations ~a et ~b. On le note ~a + ~b.
~b
~a
~a
~b
~a + ~b
On choisit des représentants des vecteurs ~a et ~b tels que l’origine du représentant de ~b coïncide avec l’extrémité du représentant de ~a. Le vecteur allant de
l’origine de ~a à l’extrémité de ~b est la somme ~a + ~b.
On définit la soustraction vectorielle comme l’addition du vecteur opposé :
~a − ~b = ~a + −~b = −~b + ~a
~a − ~b
~b
~a
8.2
Dessiner le vecteur ~x = ~a + ~b − ~c + d~ .
d~
~b
~c
~a
Géométrie : vecteurs
8.2
8.3
Représenter le vecteur
1) ~x = ~a − ~b
2) ~y = ~a + ~b + ~c
3) ~z = ~a − ~b + ~c
4) ~t = 2 ~a + ~b + ~c
~c
~a
~b
8.4
Soit ABCDEF un hexagone régulier de centre O. Exprimer les vecteurs qui
suivent comme un vecteur unique dont chacune des extrémités est l’un des
points O, A, B, C, D, E et F.
C
B
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−→
~
1) ~a = AB + CD
2) b = AB + FE
3) ~c = AC − FE
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
4) d~ = EB + DE
5) ~e = FE + FE
6) f~ = FA + BC + AB + EE
−
−
−→
−
−
−→
−
−
−→
−
−
−→
−
−
−
−
→
O
D
−
−
−
−→
E
8.5
A
−
−
−→
F
Soit ABCDEFGH un parallélépipède. Simplifier les vecteurs :
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
F
1) ~a = AB + FG
−
−
−
−→
−
−
−
−→
2) ~b = AG + BA
−
−
−
−
→
B
G
−
−
−
−→
3) ~c = EB + CA
C
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
4) d~ = EH + DC + GA
−
−
−
−→
E
−
−
−
−
→
5) ~e = AH + EB
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
6) f~ = AB + CC + BH + GF
A
H
D
Propriétés de l’addition des vecteurs
quels que soient les vecteurs ~a, ~b et ~c.
2) Le vecteur nul est un élément neutre
pour l’addition :
~a
~b
~a +
~b + ~c
1) L’addition des vecteurs est associative :
~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c
~b
~c
(~a +
~a + b~) +
(b~ + ~c
~c)
~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a
pour n’importe quel vecteur ~a
Géométrie : vecteurs
8.3
3) À tout vecteur ~a est associé son vecteur opposé, noté −~a, de même direction, de sens contraire et de même
norme que ~a :
~a + −~a = ~0
~a
−~a
pour tout vecteur ~a
~b
4) L’addition des vecteurs est commutative :
~a + ~b = ~b + ~a
~b
~a +
~b + ~a
~a
quels que soient les vecteurs a et b
~a
~b
En résumé, ces quatre propriétés signifient que l’ensemble des vecteurs, muni
de l’addition vectorielle, forme un groupe commutatif.
Relation de Chasles
B
Soient A, B, C des points quelconques.
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
C
−
−
−
−→
AB + BC = AC
A
Exemples
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
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−
−→
−
−
−
−
→
−
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→
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−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
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−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
1) AB + DE + BD = AB + BD + DE = AE
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
2) BC − DE − BD = BC + ED + DB = ED + DB + BC = EC
8.6
Soient A, B, C, D et E des points quelconques. Simplifier au maximum :
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
1) ~a = BD + AB + DC
2) ~b = BC + DE + DC + AD + EB
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
3) ~c = AC − BD − AB
−
−
−
−→
5) ~e = EC − ED + CB − DB
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
4) d~ = DA − DB + CD − BC
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
6) f~ = AC + CE − AD
Multiplication d’un vecteur par un scalaire
Soient k ∈ R et ~a un vecteur. Le produit du vecteur ~a par le scalaire k,
noté k ~a, est le vecteur caractérisé par :
– la direction du vecteur ~a ;
– le sens du vecteur ~a si k > 0 et le sens contraire si k < 0 ;
– une norme égale au produit de celle du vecteur ~a par la valeur absolue de k :
kk ~ak = |k| k~ak
Les vecteurs ~a et k ~a sont colinéaires, c’est-à-dire qu’ils ont la même direction.
Inversement, deux vecteurs non nuls colinéaires sont multiples l’un de l’autre.
Géométrie : vecteurs
8.4
Exemples
2)
1)
F
A
O
3 ~a
~a
E
B
− 12 ~a
D
C
−
−
−→
−
−
−
−→
FC = 2 AB = −2 DE
−2 ~a
8.7
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
AF + BE = 3 OE
On donne (voir figure ci-dessous) les trois vecteurs ~u, ~v et w.
~ Représenter les
vecteurs :
1) ~a = 2 ~u + 3 ~v
2) ~b = 2 ~v − 3 ~u
3) ~c = ~u − w
~ − 21 ~v
~
4) d~ = ~u − 4 ~v + w
~
5) ~e = 2 ~v − ~u − 21 w
w
~
~u
~v
8.8
Soit ABCD un carré de 3 cm de côté. Dessiner les points E, F, G et H tels
que :
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−→
1) BE = BD + CD
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
3) DG = 2 DC + 21 CA
8.9
−
−
−
−→
−
−
−
−→
2) BF = 12 BA − AD
√ −−−−→
−
−
−
−→
4) AH = − 2 AC
On donne deux points A et B distants de 3 cm (placer le point A à 8 cm du
bord droite de votre feuille). Représenter sur un même dessin les points R, S,
T et U définis par :
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
AT = 54 AB
Géométrie : vecteurs
−
−
−
−→
−
−
−
−→
AU = − 54 AB
−
−
−
−→
−
−
−
−→
RA = 3 AB
−
−
−→
−
−
−
−→
SA = −2 AB
8.5
8.10
On donne deux points A et B distants de 3 cm (placer le point A au bord
gauche de votre feuille). Représenter sur un même dessin les points V, W, X
et Y définis par :
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
VA = 3 VB
−
−
−
−
−→
−
−
−
−
−
−
→
WA = −2 WB
−
−
−
−→
−
−
−
−→
AX = 45 XB
−
−
−
−→
−
−
−
−→
AY = − 54 YB
Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire
Soient ~a, ~b des vecteurs et k, m des scalaires.
1) k (~a + ~b) = k ~a + k ~b
2) (k + m) ~a = k ~a + m ~a
3) k (m ~a) = (k m) ~a
4) 1 ~a = ~a
5) (−1) ~a = −~a
6) k (−~a) = (−k) ~a = −(k ~a)
7) 0 ~a = ~0
8) k ~0 = ~0
En résumé, l’ensemble des vecteurs, muni de l’addition vectorielle et de la
multiplication d’un vecteur par un scalaire, forme un espace vectoriel.
8.11
Réduire l’expression : ~z = 3 (~u − ~v + 2 w)
~ − 21 (w
~ − ~u) + 3 (2 ~v + 25 w)
~ .
Combinaison linéaire
Un vecteur ~v est une combinaison linéaire des vecteurs e~1 , e~2 , . . . , e~n s’il
existe des scalaires v1 , v2 , . . . , vn tels que :
~v = v1 e~1 + v2 e~2 + . . . + vn e~n
Des vecteurs sont linéairement dépendants si l’un d’eux est une combinaison linéaire des autres.
Dans le cas contraire, ils sont linéairement indépendants.
Remarque : deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s’ils
sont colinéaires.
8.12
On considère les vecteurs ~a, ~b, ~c combinaisons linéaires des vecteurs e~1 , e~2 , e~3 :
~b = e~1 − e~3
~a = 2 e~1 − e~2 + 5 e~3
~c = e~1 + e~2 − 3 e~3
Exprimer comme combinaisons linéaires des vecteurs e~1 , e~2 et e~3 :
1) ~a + ~b − ~c
2) 3 ~a + 3 ~b
3) ~a − ~b − ~c
4) 3 ~a + 2 ~c
Géométrie : vecteurs
8.6
8.13
Exprimer les vecteurs ~c et d~ comme combinaisons linéaires des vecteurs ~a et ~b.
Construire le vecteur ~x = − 12 ~c − 5 d~ et l’exprimer comme combinaison linéaire
des vecteurs ~a et ~b.
d~
~b
~c
~a
F
8.14
Dans le parallélépipède ABCDEFGH, on pose :
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
e~1 = AB, e~2 = AD, e~3 = AE .
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
B
G
C
−
−
−
−→
Exprimer les vecteurs AF, AG, AC, BD, BG,
−
−
−
−
→ −
−
−
−→ −
−
−
−→ −
−
−
−→ −
−
−
−→
−
−
−
−
→
BE, BH, CA, CH, CG et CE comme combinaisons linéaires des vecteurs e~1 , e~2 et e~3 .
E
A
H
D
8.15
On considère une pyramide de sommet S dont la base ABCD est un parallélo−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−→
gramme. On pose : e~1 = AB, e~2 = AD, e~3 = AS .
−
−
−
→ −
−
−→ −
−
−
−→ −
−
−
−→ −
−
−→ −
−
−→ −
−
−
−→ −
−
−
−→
Exprimer les vecteurs BS, DS, DB, CA, CS, AS, DC, AC comme combinaisons
linéaires des vecteurs e~1 , e~2 et e~3 .
−
−
−
−→
−
−
−
−
−
−
−→
−
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−
−→
8.16
Démontrer : AB = A′ B′ ⇐⇒ AA′ = BB′
8.17
Les points A, B et C sont tels que AB = 2 CA + 3 CB . Déterminer le scalaire k
−
−
−
−→
−
−
−
−→
qui vérifie l’égalité AC = k AB .
8.18
Soient A, B et O trois points quelconques. Démontrer : AB = OB − OA .
8.19
Soient A et B deux points distincts,M le milieu du segment AB et O un point
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
−→
quelconque. Démontrer : OM = 12 OA + OB .
8.20
On donne un quadrilatère convexe ABCD. Soient P, Q, R et S les milieux
respectifs des côtés AB, BC, CD et AD. Démontrer que le quadrilatère PQRS
est un parallélogramme.
−
−
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−→
−
−
−
−→
−
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−
−
→
−
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−→
−
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−→
−
−
−
−→
Indication : utiliser les résultats des deux exercices précédents.
Géométrie : vecteurs
8.7
Réponses
8.1
−
−
−
−
→
−
−
−→
−
−
−
−→
−
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→
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−
−
−
−→
1) BC = FE = AD
CB = EF = DA
−
−
−→
CE = ED = BF = FA
−
−
−
−
→
EC = DE = FB = AF
BA = CD
AB = DC
CF = EA
FC = AE
BE = FD
EB = DF
2) AB = DC = HG = EF
−
−
−
−→
−
−
−→
AE = DH = CG = BF
AD = BC = EH = FG
AC = EG
AF = DG
BD = FH
BE = CH
BG = AH
FC = ED
On peut récrire ces égalités avec les vecteurs opposés.
8.4
−
−
−
−→
−
−
−
−
−
→
−
−
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−
−
−
−
→
−
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−
−
→
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
2) ~b = AC = FD
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
4) d~ = EA = DB
1) ~a = AO = OD = BC = FE
−
−
−
−→
3) ~c = AB = FO = OC = ED
−
−
−
−→
−
−
−→
6) f~ = FC
5) ~e = AD
8.5
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
2) ~b = BG = AH
3) ~c = HA = GB
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
4) d~ = EA = FB = GC = HD
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
6) f~ = AE = BF = CG = DH
1) ~a = AC = EG
5) ~e = AC = EG
−
−
−
−→
8.6
−
−
−
−→
−
−
−
−→
2) ~b = AC + DC
1) ~a = AC
−
−
−
−→
−
−
−
−→
4) d~ = CD + CA
5) ~e = ~0
−
−
−
−→
3) ~c = DC
−
−
−
−→
6) f~ = DE
8.7
d~
~e
~c
~b
~a
Géométrie : vecteurs
8.8
E
8.8
D
C
G
A
B
F
H
8.9
R
8.10
A
8.11
8.12
U
X
W
B
A
T B
S
V
Y
~z = 27 ~u + 3 ~v + 13 w
~
1) 2 e~1 − 2 e~2 + 7 e~3
2) 9 e~1 − 3 e~2 + 12 e~3
3) −2 e~2 + 9 e~3
4) 8 e~1 − e~2 + 9 e~3
8.13
d~
~x
~b
~c
~a
~c = 5 ~a − 2 ~b
d~ = −~a − ~b
−
−
−
−
→
8.14
BS = −e~1 + e~3
−
−
−
−→
CA = −e~1 − e~2
−
−
−
−→
DC = e~1
−
−
−
−→
8.17
−
−
−
−→
AF = e~1 + e~3
−
−
−
−→
BD = −e~1 + e~2
−
−
−
−→
BH = −e~1 + e~2 + e~3
−
−
−
−→
CG = e~3
−
−
−
→
8.15
~x = 25 ~a + 6 ~b
AG = e~1 + e~2 + e~3
−
−
−
−→
BG = e~2 + e~3
−
−
−
−→
CA = −e~1 − e~2
−
−
−
−
→
CE = −e~1 − e~2 + e~3
−
−
−→
DS = −e~2 + e~3
−
−
−→
CS = −e~1 − e~2 + e~3
−
−
−
−→
AC = e~1 + e~2
−
−
−
−→
AC = e~1 + e~2
BE = −e~1 + e~3
−
−
−
−→
CH = −e~1 + e~3
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
DB = e~1 − e~2
AS = e~3
−
−
−→
−
−
−
−→
AC = 25 AB
Géométrie : vecteurs
8.9
8.21
On donne trois points non alignés O, A et B.
1) Construire les points C, D et E tels que :
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
OE = − 32 OA
OD = 12 OA ;
OC = 2 OA ;
−
−
−
−
−→
−
−
−
−→
Quel est l’ensemble des points M tels que OM = λ OA (λ ∈ R) ?
2) Construire les points F, G et H tels que :
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
OG = 12 OA + OB ;
OF = 2 OA + OB ;
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
OH = − 32 OA + OB
−
−
−
−→
−
−
−
−→
Quel est l’ensemble des points N tels que ON = λ OA + OB (λ ∈ R) ?
3) Construire les points I, J, K et L tels que :
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
OI = 2 OA − OB
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
OJ = −OA + 2 OB
−
−
−
−→
OK = 32 OA − 12 OB
OL = 12 OA + 12 OB
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
Quel est l’ensemble des points P tels que OP = λ OA + (1 − λ) OB
(λ ∈ R) ?
8.22
Soit un triangle quelconque ABC. Les points I, J et K sont les milieux respectifs
des côtés AB, BC et CA. Soit O un point quelconque du plan. Établir l’égalité
vectorielle :
−
−→
−
−
−→
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
OI + OJ + OK = OA + OB + OC
8.23
Soient A et B deux points distincts, C un point situé au tiers du segment BA
à partir de B et O un point quelconque du plan.
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
Montrer : OC = 31 OA + 32 OB .
8.24
On considère un triangle ABC et O un point quelconque du plan. Soit G le
centre de gravité du triangle ABC.
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
1) Montrer : 3 OG = OA + OB + OC .
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
2) Montrer : GA + GB + GC = ~0 .
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
3) Déterminer les points P du plan qui vérifient PA + PB + PC = ~0 .
Indication : on admet dans cet exercice que le centre de gravité est le point d’intersection
des médianes et qu’il se situe aux 32 de chaque médiane à partir du sommet correspondant.
Réponses
8.21
1) la droite OA
2) la droite parallèle à la droite OA passant par le point B
3) la droite AB
Géométrie : vecteurs
8.10
9
Bases
Bases de l’ensemble des vecteurs du plan
Une base de l’ensemble V2 des vecteurs du plan est un couple de vecteurs non
colinéaires B = (e~1 ; e~2 ).
a2
e~2
Toute combinaison linéaire a1 e~1 +a2 e~2 détermine un unique vecteur ~a du plan.
Réciproquement, tout vecteur ~a du plan se décompose de manière unique
comme combinaison linéaire des vecteurs de la base e~1 et e~2 .
~a = a1 e~1 + a2 e~2 ⇐⇒ ~a =
~a
e~2
e~1
a1
a2
a1 e~1
Les nombres réels a1 et a2 s’appellent les composantes du vecteur ~a dans la
base B = (e~1 ; e~2 ).
9.1
Représenter dans la base B = (e~1 ; e~2 ) les vecteurs :
−1
−3
−1
2
1
~
~
e) ~e =
d) d =
c) ~c =
b) b =
a) ~a =
1
1
−2
2
3
2
e~2
e~1
9.2
Soit un hexagone régulier de centre O. Donner les composantes des vecteurs
qui suivent
−
−
−
−
→
a) EA
−
−
−
−→
b) DC
−
−
−
−
→
c) BC
−
−
−
−→
d) ED
−
−
−
−
→
e) CF
−
−
−
−→
f) AD
C
−−−−→ −−−−→
1) dans la base B = OA ; OB ;
−−−−→ −−−−→
2) dans la base B = OC ; OA .
O
D
E
Géométrie : bases
B
A
F
9.1
Bases de l’ensemble des vecteurs de l’espace
Des vecteurs de l’espace sont dits coplanaires s’ils sont représentables par des
flèches contenues dans un même plan.
Exemples Soit un parallélipipède ABCDEFGH.
F
F
B
E
G
B
E
G
A
C
H
C
A
H
D
−
−
−
−→ −
−
−
−→
D
−
−
−
−
−
→
AB, DH et DG sont coplanaires.
−
−
−
−
→ −
−
−
−
→
−
−
−
−→
DF, EC et HG sont coplanaires.
Remarques
1) Deux vecteurs de l’espace sont toujours coplanaires, qu’ils soient colinéaires ou non.
2) Trois vecteurs non nuls de l’espace sont coplanaires si et seulement si
l’on peut exprimer l’un des vecteurs comme combinaison linéaire des
deux autres.
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
Dans les exemples précédents, DG = AB + DH et HG = 12 DF + 21 EC.
Une base de l’ensemble V3 des vecteurs de l’espace est un triplet de vecteurs
non coplanaires B = (e~1 ; e~2 ; e~3 ).
a3 e~
3
Toute combinaison linéaire a1 e~1 + a2 e~2 + a3 e~3 détermine un unique vecteur ~a
de l’espace.
Réciproquement, tout vecteur ~a de l’espace se décompose de manière unique
comme combinaison linéaire des vecteurs de la base e~1 , e~2 et e~3 .
e~3
e~1
a1
e~1
~a
e~2
a2 e~2
~a = a1 e~1 + a2 e~2 + a3 e~3
 
a1

⇐⇒ ~a = a2 
a3
Les nombres réels a1 , a2 et a3 s’appellent les composantes du vecteur ~a dans
la base B = (e~1 ; e~2 ; e~3 ).
Géométrie : bases
9.2
9.3
Soit le parallélipipède ABCDEFGH. On appelle M le milieu
du côté CG, R le milieu du côté BC et T le centre du parallélogramme ABEF. Déterminer les composantes des vecteurs
qui suivent :
−
−
−
−→
a) AB
−
−
−
−
→
b) AE
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
−→
c) AR
d) DT
−−−−→ −−−−→ −−−−→
1) dans la base B = AB ; AD ; AE ;
−−−−−→ −−−−→ −−−−→
2) dans la base B = CM ; CD ; BR .
e) MD
G
M
C
H
R
D
F
T
B
E
A
Opérations avec les composantes
a1
b1
Proposition Soient deux vecteurs ~a =
et ~b =
du plan donnés
a2
b2
par leurs composantes dans une base B = (e~1 ; e~2 ) et un nombre réel λ. Alors :
a
+
b
b
a
1
1
1
1
;
=
+
1) ~a + ~b =
a2 + b 2
b2
a2
λ a1
a1
.
=
2) λ ~a = λ
λ a2
a2
Preuve
1) ~a +~b = a1 e~1 + a2 e~2 + b1 e~1 + b2 e~2 = (a1 + b1 ) e~1 + (a2 + b2 ) e~2 =
λ a1
2) λ ~a = λ (a1 e~1 + a2 e~2 ) = (λ a1 ) e~1 + (λ a2 ) e~2 =
λ a2
a1 + b 1
a2 + b 2
9.4
Énoncer et démontrer un résultat similaire pour les vecteurs de l’espace.
9.5
Dans une base B = (e~1 ; e~2 ), on donne les vecteurs
5
−4
3
~b =
~c =
~a =
2
6
7
Déterminer les composantes des vecteurs qui suivent dans la base B :
1) ~a + 4 ~b − 5 ~c
9.6
2) −3 ~a + 21 ~b − ~c
3) 5 ~b − 2 ~c
Dans une base B = (e~1 ; e~2 ; e~3 ), on donne les vecteurs




 
 
35
2
0
1
~b =  8 
d~ =  14 
~c =  18 
~a =  −3 
−10
−11
−5
2

−2
f~ =  −1 
0

Déterminer les composantes des vecteurs qui suivent dans la base B :
Géométrie : bases
9.3
1) 2 ~a − ~b + 2 d~
9.7
2) −~c + 3 f~
3)
Dans une base B = (e~1 ; e~2 ), on donne les vecteurs
3
−1
−2
v~3 =
v~2 =
v~1 =
4
4
3
1
2
~a − 31 ~c + 2 d~
4
v~4 =
0
Trouver le vecteur ~v en résolvant les équations, puis calculer ses composantes.
1) ~v + 2 v~2 − 5 v~1 = ~0
2) −3 ~v − v~3 = 12 v~3 − v~1 3) 53 ~v + 32 v~4 = v~3 − 2 v~2
9.8
Déterminer les composantes des vecteurs ~a, ~b, ~c et d~ dans la base B = (~u ; ~v ).
~b
~c
~a
d~
~v
~u
Dépendance linéaire et déterminants
b1
a1
du plan donnés
et ~b =
Proposition Soient deux vecteurs ~a =
b2
a2
par leurs composantes dans une base B = (e~1 ; e~2 ). Alors
~
det(~a ; ~b) = |a1 b2 − a2 b1 | = aire du parallélogramme construit sur ~a et b
aire du parallélogramme construit sur e~1 et e~2
Preuve
b1
a2
~b
b2
e~2
~a
e~1
Géométrie : bases
a1
9.4
Corollaire Soient ~a et ~b deux vecteurs du plan. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
1) ~a et ~b sont colinéaires ;
2) ~a et ~b sont linéairement dépendants ;
3) det(~a ; ~b) = 0.
9.9
Déterminer les vecteurs colinéaires. Justifier en exprimant l’un des vecteurs
comme multiple de l’autre.
1
−1
−9
−2
3
v~4 =
v~3 =
v~2 =
v~1 =
14
3
7
−1
9.10
Déterminer les vecteurs colinéaires. Justifier en exprimant l’un des vecteurs
comme multiple de l’autre.
 3 
 
 


4
9
−15
4
v~1 =  − 23 
v~3 =  −3 
v~2 =  6 
v~4 =  −10 
5
15
−25
3
2
 
 

c1
b1
a1
~





Proposition Soient trois vecteurs ~a = a2 , b = b2 et ~c = c2  de
c3
b3
a3
l’espace donnés par leurs composantes dans une base B = (e~1 ; e~2 ; e~3 ). Alors

~
det(~a ; ~b ; ~c) = volume du parallélépipède construit sur ~a, b et ~c
volume du parallélépipède construit sur e~1 , e~2 et e~3
Preuve La démonstration se fera à l’exercice 14.2.
Corollaire Soient ~a, ~b et ~c trois vecteurs de l’espace. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
1) ~a, ~b et ~c sont coplanaires ;
2) ~a, ~b et ~c sont linéairement dépendants ;
3) det(~a ; ~b ; ~c) = 0.
9.11
Relativement à une base de l’espace, on donne les vecteurs :


 
 
2
0
1
~b =  8 
~c =  18 
~a =  −3 
−11
−5
2
Montrer que les vecteurs ~a, ~b et ~c sont coplanaires.
Exprimer le vecteur ~a comme combinaison linéaire des vecteurs ~b et ~c.
Géométrie : bases
9.5
9.12
Dans la base B = (e~1 ; e~2 ; e~3 ) on donne les vecteurs :
~a = 2 e~1 − 5 e~2 + e~3
~b = e~1 + 2 e~2 + 3 e~3
~c = 3 e~1 + e~2 + 4 e~3
Les vecteurs ~a, ~b et ~c sont-ils coplanaires ?
9.13
Dans la base B = (e~1 ; e~2 ; e~3 ) on donne les vecteurs :
 
 
 
−3
1
5
~b =  −1 
~c =  −8 
~a =  6 
7
3
−1
1) Montrer que les vecteurs ~a, ~b et ~c sont coplanaires.

6
d~ =  5 
−2

2) Exprimer le vecteur ~c comme combinaison linéaire des vecteurs ~a et ~b.
3) Montrer que les vecteurs ~a, ~b et d~ ne sont pas coplanaires.
4) Peut-on exprimer le vecteur d~ comme combinaison linéaire des vecteurs ~a
et ~b ?
9.14
Pour quelle valeur du paramètre m les vecteurs ~u et ~v sont-ils colinéaires ?
m
3
1) ~u =
~v =
2m − 1
m+2
m−1
−2 m
2) ~u =
~v =
2−m
2m − 3
m
m+1
3) ~u =
~v =
3
m+1
9.15
Pour quelle valeur du paramètre m les vecteurs ~u, ~v et w
~ sont-ils coplanaires ?






m+1
−3
3
~u =  3 
~v =  m − 5 
1)
w
~ = 3 
6
−6
m+4
 
 


1
1
m+1
~u =  m 
~v =  1 
2)
w
~ = m 
1
m
1
 




2
3
2m
~u =  −4 
~v =  m 
3)
w
~ = m − 2
0
1−m
1

 



1
m+1
2m + 1
4)
w
~ = 5 
~u =  3 
~v =  4 
0
4
8
Géométrie : bases
9.6
9.16
Dans une base B1 = (e~1 ; e~2 ) on donne les vecteurs
12
3
2
~b =
~c =
~a =
−6
−9
4
d~ =
7
−1
1) Montrer que les vecteurs ~a et ~b forment une base.
2) Déterminer les composantes des vecteurs ~c et d~ dans la base B2 = (~a ; ~b).
9.17
Dans une base B = (e~1 ; e~2 ) on donne les vecteurs
0
−3
7
~b =
~c =
~a =
5
5
−2
Déterminer un nombre réel k et un vecteur ~u, colinéaire avec le vecteur ~a, tels
que ~u + k ~b = ~c.
9.18
Dans l’espace muni d’une base, on donne les vecteurs :
 
 
 
 
2
3
4
0
~
~







~a = 1
b= 6
d = 0
~c = −1
6
3
7
0
1) Les vecteurs ~a, ~b et ~c sont-ils coplanaires ?
2) Les vecteurs ~a, ~c et d~ forment-ils une base ?
3) Exprimer le vecteur d~ comme combinaison linéaire des vecteurs ~a, ~b et ~c.
4) Quelles sont les composantes du vecteur ~b dans la base (~a ; ~c ; d~ ) ?
9.19
Barycentre d’un triangle
Soit un triangle ABC. On désigne respectivement par I, J et K les milieux des
côtés BC, AC et AB.
C
J
b
G
A
b
I
B
b
K
−
−
−
−→
−
−→
1) Montrer qu’il existe un nombre λ ∈ R tel que AG soit égal à λ AI et un
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
→
nombre µ ∈ R tel que AG soit égal à AB + µ BJ.
−
−→
−
−
−
→
−
−
−
−→ −
−
−
−→
2) Calculer les composantes de AI et de BJ dans la base (AB ; AC).
−
−→
3) Calculer, en fonction de λ et de µ, les composantes de ~v = λ AI et de
−
−
−
−→
−
−
−
→
−
−
−
−→ −
−
−
−→
w
~ = AB + µ BJ dans la base (AB ; AC).
−
−
−
−→
4) Déduire de l’égalité AG = ~v = w
~ que λ = µ = 32 et conclure que les
médianes d’un triangle se coupent aux deux tiers de leur longueur.
Géométrie : bases
9.7
Réponses
9.1
~c
~a
9.2
1) a)
d)
2) a)
d)
9.3
1
EA =
1
−
−
−
−→
−1
ED =
1
−
−
−
−
→
1
EA =
2
−
−
−
−→
1
ED =
0
−
−
−
−
→
 
1

1) a) AB = 0 
0
 1 
−
−
−
−→
2
−
−
−
−→
d) DT =  −1 
b)
e)
b)
e)
b)
e)
1
2

0
−
−
−
−→
2) a) AB =  −1 
0
 
1
−
−
−
−→

d) DT = − 12 
−2

9.4
9.5
d~
~b
~e
b)
e)
0
DC =
1
−
−
−
−
→
2
CF =
−2
−
−
−
−→
1
DC =
1
−
−
−
−
→
−2
CF =
0
−
−
−
−→
 
0

AE = 0 
1
 
−1
−
−
−
−
−→

0 
MD =
− 12
 
2
−
−
−
−
→

AE = 0 
0
 
−1
−
−
−
−
−→

1 
MD =
0
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
c) BC =
−
−
−
−→
f) AD =
−
−
−
−
→
c) BC =
−
−
−
−→
f) AD =
−1
0
−2
0
0
−1
0
−2
 
1

c) AR = 21 
0
−
−
−
−→

0
−
−
−
−→
c) AR =  −1 
1


   
a1 + b 1
b1
a1
1) ~a + ~b =  a2  +  b2  =  a2 + b2 
a3 + b 3
b3
a3

  
λ a1
a1
2) λ ~a = λ  a2  =  λ a2 
λ a3
a3

1)
Géométrie : bases
−38
21
2)
−16
−20
3)
−30
26
9.8
9.6
9.7
−8
2)  −21 
11
72
1)  14 
−11
1) ~v = 5 v~1 − 2 v~2 =
3) ~v = − 65 v~2 + 53 v~3 −
4
−4




~b =
−8
7
9
10
2
−1
2) ~v = v~1 − v~3 =
1
3
v~4 =
3)
419
6
 41 
 2 
− 46
3

− 53
− 12
5
9.8
~a =
9.9
v~1 et v~3 sont colinéaires : v~3 = −3 v~1 .
v~2 et v~4 sont colinéaires : v~4 = 2 v~2 .
9.10
v~2 et v~4 sont colinéaires : v~2 = − 35 v~4 .
9.11
~a = − 32 ~b + 12 ~c
9.12
Non
9.13
2) ~c = −~a + 2 ~b
~c =
1
2

− 13
6
−1
!
1
2
3
4
!
d~ =
−3
7
2
4) Non, sinon les vecteurs ~a, ~b et d~ seraient coplanaires.
9.14
1) m = 1 ou m = 3
9.15
1) m = −4 ou m = 2
2) m = −1, m = 0 ou m = 1
3) Les vecteurs ne sont jamais
coplanaires.
4) Les vecteurs sont toujours
coplanaires.
9.16
9.17
9.18
35
29
et ~u =
105
29
30
− 29
!
1) Non
3) d~ =
Géométrie : bases
3) m = −1 ou m = 3
2
d~ =
1
3
2) ~c =
2
k=
2) m = 3
2) Oui
100
23
~a −
36 ~
b
23
−
116
23
~c
4) ~b =
25
9
 29 
− 9 
− 23
36


9.9
9.20
Barycentre d’un triangle (1)
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
Soient ~a = GA, ~b = GB et ~c = GC trois vecteurs, deux à deux linéairement indépendants. Supposons que les parallélogrammes construits sur ~a et ~b,
respectivement sur ~a et ~c, sont tels que la diagonale ~a + ~b est parallèle à ~c,
respectivement que la diagonale ~a + ~c est parallèle à ~b.
B
~b
G
C
~c
~a
A
1) Constater qu’il existe des nombres λ, µ ∈ R tels que ~a + ~b = λ ~c et que
~a + ~c = µ ~b.
2) Montrer que λ = µ = −1. En déduire que ~c = −~a − ~b.
3) Si G désigne l’intersection des médianes issues des sommets B et C du
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
triangle ABC, montrer que GA + GB + GC = ~0.
4) Montrer que toute paire de médianes d’un triangle se coupent aux
leur longueur.
Géométrie : bases
2
3
de
9.10
9.21
Théorème de Pierre Varignon, 1731
Soit un quadrilatère ABCD quelconque. On appelle P, Q, R et S les milieux
des segments AB, BC, CD et DA.
A
d~
S
D
P
~c
~a
B
R
Q
~b
C
1) Montrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.
2) Montrer que l’aire du quadrilatère ABCD est donnée par l’une des formules :
aire (ABCD) =
~
det(~c ; −~b) + det(~a ; −d)
det(~b ; −~a) + det(d~ ; −~c)
=
2
2
3) Montrer que l’aire du quadrilatère PQRS est donnée par l’une des formules :
!
!
~b + ~c −~b − ~a
~c + d~ −~c − ~b
= det
;
;
aire (PQRS) = det
2
2
2
2
!
!
~a + ~b −~a − d~
d~ + ~a −d~ − ~c
= det
= det
;
;
2
2
2
2
4) Utiliser 2) et 3) pour établir que
4 · aire(PQRS) = 2 · aire (ABCD)
5) Montrer que la somme des aires des quatre triangles APS, BPQ, CRQ et
DSR (en gris) est égale à l’aire du parallélogramme PQRS (en blanc).
6) En utilisant que l’aire d’un triangle diminué est le quart de l’aire du
triangle initial, démontrer, sans utiliser
la formule pré les déterminants,
1
cèdente, c’-à-d : aire(PQRS) = 2 · aire (ABCD) .
Géométrie : bases
9.11
10
Repères et coordonnées
Repères dans le plan
Un repère du plan est formé d’un point O du plan et d’une base B = {e~1 ; e~2 }
du plan vectoriel. On appelle O l’origine et B = {e~1 ; e~2 } la base associée
du repère.
Les coordonnées d’un point A du plan relativement à un repère (O ; e~1 ; e~2 )
−
−
−
−→
sont les composantes du vecteur OA relativement à la base associée (e~1 ; e~2 ).
−
−
−
−→
a1
A(a1 ; a2 ) ⇐⇒ OA =
a2
a1 est la première coordonnée ou abscisse du point A ;
a2 est la seconde coordonnée ou ordonnée du point A.
Exemple
F
A
E
−
−
−
→
A(−1 ; 0) ⇐⇒ OA =
e~2
−
−
−
→
B(0 ; −1) ⇐⇒ OB =
O
e~1
B
−
−
−
→
D
C(1 ; −1) ⇐⇒ OC =
−1
0
0
−1
1
−1
1
0
−
−→
0
E(0 ; 1) ⇐⇒ OE =
1
−
−→
−1
F(−1 ; 1) ⇐⇒ OF =
1
−
−
−→
D(1 ; 0) ⇐⇒ OD =
C
Repères dans l’espace
Un repère de l’espace est formé d’un point O de l’espace et d’une base B =
{e~1 ; e~2 ; e~3 } de l’espace vectoriel. On appelle O l’origine et B = {e~1 ; e~2 ; e~3 } la
base associée du repère.
Les coordonnées d’un point A de l’espace relativement à un repère (O ; e~1 ; e~2 ; e~3 )
−
−
−
−→
sont les composantes du vecteur OA relativement à la base associée (e~1 ; e~2 ; e~3 ).
 
a1
−
−
−
−→

A(a1 ; a2 ; a3 ) ⇐⇒ OA = a2 
a3
a1 est la première coordonnée ou abscisse du point A ;
a2 est la deuxième coordonnée ou ordonnée du point A ;
a3 est la troisième coordonnée ou cote du point A.
Géométrie : repères et coordonnées
10.1
10.1
−
−
−
−
−
−→ −
−
−
−
−
−→
Déterminer les coordonnées des points A1 à A10 dans le repère R = (O ; OE1 ; OE2 ).
A10
A9
E2
A3
A4
O
E1
A8
A7
A2
A6
A5
A1
10.2
−
−
−
−
−
→ −
−
−
−
→
1) Dans le repère R = (O ; OK ; OL), déterminer les coordonnées des points
B, P et I.
−
−
−
→ −
−
→
2) Dans le repère R = (B ; BJ ; BI), déterminer les coordonnées des points
B, P et I.
Q
A
M
L
O
I
B
J
D
P
K
C
N
10.3
Soient A(a1 ; a2 ) et B(b1 ; b2 ) deux points du plan. Démontrer, à l’aide de l’exer−
−
−
−→
cice 8.18, que les composantes du vecteur AB sont données par :
−
−
−
−→
b 1 − a1
AB =
b 2 − a2
Peut-on généraliser cette formule pour des points de l’espace ?
10.4
Dans un repère, on donne les points A(0 ; 4), B(8 ; −1), C(−5 ; −4), D(−6 ; 0)
et E( 21 ; − 32 ) . Déterminer les composantes des vecteurs suivants :
−
−
−
−→ −
−
−
−→ −
−
−
−→ −
−
−
−→ −
−
−
−
→ −
−
−
−→
−
−
−
−→
AB, BA, AC, DB, EC, DA et ED.
Géométrie : repères et coordonnées
10.2
10.5
10.6
On donne les points A(3 ; −2 ; 1), B(1 ; 5 ; −2) et C(0 ; −4 ; 5).
−
−
−
−→ −
−
−
−
→
−
−
−
−→
Calculer les composantes des vecteurs AB, BC et CA.
Soient les points A(−2 ; 1), B(3 ; 2) et C(0 ; 3). Soit encore D le point défini par
−
−
−
−→
−
−
−
−→
AD = AB + AC.
−
−
−
−→
−
−
−
−→ −
−
−
−→
−
−
−
−→
1) Calculer les composantes des vecteurs AB, AC et AD.
2) Calculer les coordonnées du point D.
10.7
On donne les points A(−1 ; −1), B(1 ; 2) et C(3 ; −2).
1) Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit
un parallélogramme.
2) Calculer les coordonnées du point E tel que le quadrilatère ABEC soit un
parallélogramme.
10.8
Relativement à un repère, on donne les points A(5 ; 2), B(6 ; −3), C(7 ; 8),
D(3 ; 8), E(5 ; −6) et F(−1 ; 36).
1) Les points A, B et C sont-ils alignés ?
2) Les points D, E et F sont-ils alignés ?
10.9
Les
1)
2)
3)
points A, B et C sont-ils alignés ?
A(3 ; 1 ; −1)
B(2 ; 0 ; 4)
A(2 ; −1 ; 5)
B(1 ; 1 ; −2)
1
A(3 ; 1 ; 2 )
B(2 ; 21 ; 12 )
C(−3 ; 2 ; 5)
C(4 ; −5 ; −11)
C(9 ; 4 ; 21 )
10.10
Pour
1)
2)
3)
quelle(s) valeur(s) du paramètre les points A, B et C sont-ils alignés ?
A(2 ; t)
B(t − 1 ; 2 t + 1)
C(2 + t ; 3)
A(−1 ; 2)
B( 41 ; − 12 )
C(t ; −3 t + 1)
1
1
C(t2 ; 3 t − 4)
A(−1 ; 2)
B( 4 ; − 2 )
10.11
Montrer que les points A(0 ; 2 ; 4), B(1 ; −1 ; 3), C(−8 ; 2 ; 1) et D(−6 ; −4 ; −1)
sont coplanaires.
10.12
Déterminer si le point
1) A(0 ; 0 ; 0)
2) A(1 ; 3 ; −2)
3) A(3 ; 4 ; 8)
4) A(2 ; −3 ; 2)
Géométrie : repères et coordonnées
D appartient au plan ABC :
B(1 ; 0 ; 0)
C(0 ; 1 ; 0)
B(4 ; −2 ; 3)
C(2 ; 0 ; −1)
B(1 ; −5 ; 0)
C(3 ; 2 ; 1)
B(1 ; −2 ; 2)
C(1 ; −3 ; 3)
D(0 ; 0 ; 1)
D(12 ; −14 ; 17)
D(3 ; 4 ; 8)
D(1 ; −3 ; 2)
10.3
10.13
Déterminer les valeurs des paramètres pour lesquelles les points A, B, C et D
sont coplanaires.
1) A(1 ; 1 ; 9)
B(5 ; 32 ; 14)
C(0 ; −3 ; 0)
D(− 38 ; − 83 ; t)
2) A(1 ; 4 ; −3)
B(4 ; −1 ; −2)
C(3 ; 4 ; 1)
3) A(−1 ; 5 ; −4)
B(m ; 8 ; 2)
C(−4 ; m ; −10) D(2 ; 8 ; m)
D(t + 1 ; 3 ; 2 t)
4) A(t − m ; m − t ; 2) B(t − m + 1 ; m − t + 1 ; 3) C(−m ; −t ; 0)
10.14
D(m ; t ; m t)
Soient A(a1 ; a2 ) et B(b1 ; b2 ) deux points du plan. Démontrer que les coordonnées du point M, milieu de A et B, sont données par :
a1 + b 1 a2 + b 2
;
.
M
2
2
Indication : utiliser le résultat de l’exercice 8.19.
Peut-on généraliser cette formule pour des points de l’espace ?
10.15
Soient A(a1 ; a2 ), B(b1 ; b2 ) et C(c1 ; c2 ) trois points du plan. Démontrer que les
coordonnées du point G, centre de gravité des points A, B et C, sont données
par :
a1 + b 1 + c 1 a2 + b 2 + c 2
G
;
.
3
3
−
−
−→
−
−
−
→
−
−
−
→
−
−
−
→
Indication : reprendre l’exercice 9.19 et calculer OG = OA + AG = OA +
2 −→
3 AI.
Peut-on généraliser cette formule pour des points de l’espace ?
10.16
On donne les points A(3 ; −2 ; 1), B(1 ; 5 ; −2) et C(0 ; −4 ; 5).
Calculer les coordonnées des milieux des segments AB, BC et CA ainsi que
celles du centre de gravité du triangle ABC.
10.17
Soit le triangle ABC de sommets A(−2 ; −3), B(4 ; −1) et C(2 ; 3).
1) Déterminer les coordonnées des sommets du triangle diminué A∗ B∗ C∗ (A∗
est le milieu de BC, B∗ est le milieu de AC et C∗ est le milieu de AB).
2) Déterminer le centre de gravité G du triangle ABC et le centre de gravité
G∗ du triangle A∗ B∗ C∗ .
10.18
1) Déterminer les coordonnées du troisième sommet C d’un triangle ABC
dont on connaît les sommets A(6 ; −1) et B(−2 ; 6) ainsi que le centre de
gravité G(3 ; 4).
2) Déterminer les coordonnées des sommets B et C du triangle ABC, connaissant le sommet A(6 ; −2), le milieu MAC (2 ; 2) du côté AC et le milieu
MBC (3 ; 1) du côté BC.
Géométrie : repères et coordonnées
10.4
10.19
Soient les points A(−2 ; 3), B(2 ; 1), C(3 ; −5) et D(−5 ; −1) .
1) Dessiner le quadrilatère ABCD. Quelle est sa nature ?
2) On note I, J, K et L les milieux respectifs des segments AD, BC, AC et
BD. Calculer les coordonnées des points I, J, K et L.
3) Les points I, J, K et L sont-ils alignés ?
Réponses
10.1
10.2
10.4
A1 (0 ; −2)
A6 ( 73 ; − 34 )
A2 (−1 ; −1)
A7 ( 38 ; − 32 )
1) B(−1 ; −1), P(2 ; 0) et I(−1 ; 0)
8
AB =
−5
−
−
−
−
→
33
1
EC = − 6
20
−
−
−
−→
−8
BA =
5
−
−
−
−→
6
DA =
4
−
−
−
−→
A4 (− 12 ; 0)
A9 (1 ; 23 )
A3 (−3 ; 1)
A8 (3 ; 0)
A5 (2 ; −2)
A10 (1 ; 2)
2) B(0 ; 0), P(3 ; 1) et I(0 ; 1)
−5
AC =
−8
−
−
−
−→
−39
1
ED = 6
4
−
−
−
−→
−
−
−
−→
DB =
14
−1

3
−
−
−
−→
CA =  2 
−4


−1
−
−
−
−
→
BC =  −9 
7

10.5

−2
−
−
−
−→
AB =  7 
−3
10.6
−
−
−
−→
7
2
5 −−−−→
et AD =
, AC =
1) AB =
3
2
1
10.7
1) D(1 ; −5)
10.8
1) non
2) oui
10.9
1) non
2) non
10.10
1) A, B et C ne sont jamais alignés 2) t = 1 3) t =
10.12
1) non
10.13
1) t = −2 2) impossible 3) m = −4 ou m = 2 4) m = 2 ou t = 2 ou m = t
10.16
MAB (2 ; 32 ; − 12 )
10.17
1) A∗ (3 ; 1), B∗ (0 ; 0) et C∗ (1 ; −2)
10.18
1) C(5 ; 7)
10.19
1) Le quadrilatère ABCD est un trapèze.
2) I(− 72 ; 1), J( 25 ; −2), K( 12 ; −1) et L(− 32 ; 0)
3) Les points I, J, K et L sont alignés.

−
−
−
−→
2) D(5 ; 4)
2) E(5 ; 1).
2) oui
3) oui
3) oui
MBC ( 21 ; 21 ; 32 )
√
−3− 41
4
ou t =
√
−3+ 41
4
4) non
MCA ( 32 ; −3 ; 3)
G( 34 ; − 31 ; 43 )
2) G = G∗ = ( 34 ; −1
)
3
2) B(8 ; −4) et C(−2 ; 6)
Géométrie : repères et coordonnées
10.5
10.20
D
ABCD est un carré de côté 1, ABE et BCF
sont deux triangles équilatéraux.
C
E
−
−
−
−→ −
−
−
−→
1) Donner dans le repère (A ; AB ; AD) les
coordonnées des points A, B, C et D.
J
2) Déterminer les coordonnées des points I
et E.
A
I
F
B
3) Déterminer les coordonnées des points J et F.
4) Les points D, E et F sont-ils alignés ?
10.21
Soient A et B deux points distincts du plan ; on appelle I le milieu de AB.
1) Placer un point P dans le plan et dessiner un représentant du vecteur
−
−
−→
−
−
−
−
→
PA + PB. Que peut-on conjecturer ?
2) Recommencer avec un autre point P′ .
3) Tester cette conjecture sur d’autres points.
4) La démontrer.
10.22
Soit ABC un triangle (non aplati). I est le milieu de BC ; les points H et J sont
−
−
−
−→
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
définis par AH = 23 AB et AJ = 23 AC.
−
−
−
−→ −
−
−
−→
1) Justifier que (A ; AB ; AC) est un repère du plan.
2) Déterminer dans ce repère les équations des droites AI et CH.
3) Calculer les coordonnées du point d’intersection G de AI et CH.
4) Démontrer que B, G et J sont alignés.
Réponses
10.20
1) A(0 ; 0) B(1 ; 0) C(1 ; 1) D(0 ; 1)
3) J(1 ; 21 ) F(1 +
10.21
10.22
−
−
−→
−
−
−
−
→
√
3
2
; 21 )
2) I( 12 ; 0) E( 21 ;
√
3
)
2
4) oui
−→
PA + PB = 2 PI
−
−
−
−→
−
−
−
−→
1) AB et AC sont non colinéaires, puisque le triangle ABC est non aplati.
x=λ
2) AI :
avec λ ∈ R
ou
x−y =0
y=λ
x = 2µ
CH :
avec µ ∈ R
ou
3x + 2y − 2 = 0
y = 1 − 3µ
3) G( 25 ; 25 )
Géométrie : repères et coordonnées
10.6
10.23
On donne les points A(1 ; −2 ; 4) et B(−1 ; 3 ; 2). Déterminer l’intersection de
la droite AB et du plan d’équation z = 1.
10.24
Les droites AB et CD de l’espace sont-elles confondues, strictement parallèles,
sécantes ou gauches si, :
1) A(6 ; 4 ; −4)
B(4 ; 0 ; −2)
C(7 ; 0 ; −2)
D(11 ; −4 ; 0)
2) A(−4 ; 2 ; 1)
B(−1 ; 1 ; 3)
C(0 ; 5 ; −2)
D(9 ; 2 ; 4)
3) A(8 ; 0 ; 3)
B(−2 ; 4 ; 1)
C(8 ; 3 ; −2)
D(0 ; 0 ; 5)
4) A(2 ; −3 ; 1)
B(3 ; −2 ; 3)
C(0 ; −5 ; −3)
D(5 ; 0 ; 7)
10.25
Soit f l’homothétie de centre C(1 ; 0) et de rapport −2, et soit g l’homothétie
de centre D(8 ; 7) et de rapport 3.
1) Calculer le point M′′ = g f (M) , si M(1 ; 1).
2) Déterminer le point F tel que F = F′′ = g f (F) .
Soient trois points alignés A, B, P distincts deux à deux. Puisque les vec−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
teurs AP et BP sont colinéaires, il existe un unique nombre réel λ tel que
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
AP = λ BP. On appelle λ le rapport de section des points A, B et P pris dans
cet ordre et on le note (AB ; P). En résumé :
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
(AB ; P) = λ ⇐⇒ AP = λ BP
10.26
On donne les points A(3 ; 4) et B(−3 ; −3).
1) Calculer les coordonnées du point P tel que (AB ; P) = 53 .
2) Calculer les coordonnées du point Q tel que (AB ; Q) = − 43 .
10.27
On donne les points A(a1 ; a2 ) et B(b1 ; b2 ), ainsi qu’un nombre réel λ 6= 1.
Calculer les coordonnées du point P tel que (AB ; P) = λ.
Réponses
10.23
(−2 ; 11
; 1)
2
10.24
1) sécantes
10.25
1) M′′ (−13 ; −20)
2) F(−1 ; −2)
10.26
)
1) P(−12 ; − 27
2
2) Q( 73 ; 1)
10.27
P
2) strictement
parallèles
a1 − λ b 1 a2 − λ b 2
;
1−λ
1−λ
Géométrie : repères et coordonnées
3) gauches
4) confondues
10.7
11
Norme
Rappelons que la norme d’un vecteur ~a, que l’on note k~ak, désigne la longueur
d’un représentant du vecteur ~a.
La norme vérifie ces propriétés :
1) k~ak = 0 si et seulement si ~a = ~0
2) kλ ~ak = |λ| k~ak λ ∈ R
3) k~a + ~bk 6 k~ak + k~bk inégalité du triangle
Un vecteur ~a est dit unitaire s’il est de longueur 1, c’est-à-dire si k~ak = 1.
Une base (e~1 ; e~2 ) du plan est dite orthonormée si ses vecteurs sont unitaires
et orthogonaux, c’est-à-dire si ke~1 k = ke~2 k = 1 et si e~1 ⊥ e~2 .
Une base (e~1 ; e~2 ; e~3 ) de l’espace est dite orthonormée si ses vecteurs sont
unitaires et deux à deux orthogonaux, c’est-à-dire si ke~1 k = ke~2 k = ke~3 k = 1
et si e~1 ⊥ e~2 , e~1 ⊥ e~3 , e~2 ⊥ e~3 .
Un repère est dit orthonormé si la base associée est orthonormée.
Dorénavant, les bases et les repères seront orthonormés.
11.1
a1
a2
un vecteur du plan.
√
Montrer : k~ak = a1 2 + a2 2
Soit ~a =
~a
e~2
e~1
11.2
11.3
11.4

a1
Soit ~a =  a2  un vecteur de l’espace.
a3
√
Montrer : k~ak = a1 2 + a2 2 + a3 2

Vérifier que les vecteurs suivants sont unitaires :
!
3 − √15
5
2)
1)
√6
− 54
45
e~3
~a
e~2
e~1

2
3

3)  − 31 
− 23
Calculer le périmètre du triangle ABC :
1) A(2 ; 1)
Géométrie : norme
B(5 ; 5)
C(0 ; −7)
11.1
2) A(2 ; 1 ; 3)
B(4 ; 3 ; 4)
C(2 ; 6 ; −9)
11.5
Montrer que les points A(5 ; 13 ; 21), B(25 ; 12 ; 14), C(10 ; 21 ; 2) et D(10 ; 0 ; 5)
sont les sommets d’un tetraèdre régulier.
11.6
Soient les points A(6 ; 4), B(12 ; −2) et C(17 ; 9).
1) Montrer que le triangle ABC est isocèle.
2) Calculer son aire de deux manières différentes.
11.7
Former les vecteurs colinéaires au vecteur
1) 15
2) 1
4
−3
et dont la norme vaut :
3) 7
11.8
On donne les points A(4 ; −1) et B(−5 ; 11). Déterminer les coordonnées du
point P situé sur la droite AB à une distance 3 du point A.
11.9
On considère les points A(4 ; 5 ; 8) et B(3 ; 11 ; 5).
−
−
−
−
→
−
−
−
−
→
1) Déterminer le point P de l’axe Ox tel que kAPk = kBPk.
−
−
−
−→
−
−
−
−→
2) Déterminer le point Q de l’axe Oy tel que kAQk = 2 kBQk.
11.10
Soient les points A(5 ; 3) et B(−2 ; k). Déterminer k pour que le point P(2 ; −1)
soit situé sur la médiatrice du segment AB.
11.11
Déterminer le centre du cercle passant par les points P(−3 ; 6), Q(9 ; −10)
et R(−5 ; 4). Calculer son rayon.
11.12
Par le point A(4 ; 2), on mène un cercle tangent aux axes de coordonnées.
Déterminer son centre et son rayon.
Géométrie : norme
11.2
Réponses
√
11.4
1) 18 + 2
11.6
1) kACk = kBCk =
11.7
11.8
−
−
−
−→
1)
12
−9
2) 16 +
17
−
−
−
−
→
et
−12
9
√
√
182
2) 48
146
2)
4
5
− 53
et
−
3
5
4
5
3)
28
5
− 21
5
et
28
5
21
5
−
P1 ( 11
; 7 ) ou P2 ( 29
; − 17
)
5 5
5
5
11.9
1) P(−25 ; 0 ; 0)
11.10
k = −4 ou k = 2
11.11
C(3 ; −2) r = 10
11.12
C1 (2 ; 2) r1 = 2
Géométrie : norme
2) pas de solution
C2 (10 ; 10) r2 = 10
11.3
12
Produit scalaire
a1
b1
Soient ~a =
et ~b =
deux vecteurs du plan. On appelle produit
a2
b2
scalaire des vecteurs ~a et ~b, et on le note ~a · ~b, le nombre
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2
 

b1
a1
~



Soient ~a = a2 et b = b2  deux vecteurs de l’espace. On appelle produit
b3
a3
scalaire des vecteurs ~a et ~b, et on le note ~a · ~b, le nombre
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

12.1
Soient ~a, ~b et ~c trois vecteurs du plan ou de l’espace et λ ∈ R. Démontrer ces
propriétés du produit scalaire :
1) ~a · ~b = ~b · ~a
2) ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c
3) (λ ~a) · ~b = λ (~a · ~b)
12.2
4) ~a · ~a = k~ak2
Soient ~a et ~b deux vecteurs du plan ou de l’espace.
1) Démontrer que (~a − ~b) · (~a − ~b) = k~ak2 − 2 (~a · ~b) + k~bk2 .
2) En déduire que ~a · ~b = 21 k~ak2 + k~bk2 − k~a − ~bk2 .
3) Conclure que toute rotation des vecteurs de la base laisse le produit scalaire invariant.
12.3
Soient ~a et ~b deux vecteurs du plan ou de l’espace et ϕ l’angle entre les vecteurs ~a et ~b.
1) Considérons une base orthonormée telle que le premier vecteur de la base e~1 possède la même direc~b
tion et le même sens que le vecteur ~a, et que le
ϕ
second vecteur de la base e~2 fasse partie du plan e~2
~
défini par les vecteurs ~a et b. Exprimer les compoe~1
~a
santes des vecteurs ~a et ~b dans cette base.
2) Calculer le produit scalaire ~a · ~b.
3) Conclure à la formule ~a · ~b = k~ak k~bk cos(ϕ) quel que soit le choix de la
base orthonormée.
12.4
Soient les points A(2 ; −3), B(3 ; 2) et C(−2 ; 5). Calculer les angles du triangle ABC.
Géométrie : produit scalaire
12.1
12.5
Calculer les angles que la droite OA forme avec chacun des axes de coordonnées
dans le cas où A(1 ; 1 ; 2).
12.6
On donne A(1 ; 0 ; 0) et B(0 ; 2 ; 0). Déterminer un point C de l’axe Oz pour
lequel l’angle en C du triangle ABC mesure 60˚.
12.7
Soient ~a et ~b deux vecteurs du plan ou de l’espace. Démontrer que les vecteurs ~a
et ~b sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul.
En résumé :
~a ⊥ ~b ⇐⇒ ~a · ~b = 0
12.8
On donne les points A(−4 ; −3), B(2 ; 0) et C(0 ; 4). Montrer que les droites AB
et BC sont perpendiculaires.
12.9
Montrer que les points A(−4 ; 5 ; 3), B(−1 ; 1 ; 5), C(5 ; 5 ; 4) et D(2 ; 9 ; 2) forment
un rectangle.
12.10
12.11
 
 

6
2
1
~





2 , b = 1 et ~c = −5 . Déterminer le nombre k pour
Soient ~a =
0
4
−3
lequel les vecteurs ~a + k ~b et ~c sont perpendiculaires.

−3
1
. Déterminer un vecteur w
~ et un nombre k,
et ~v =
On donne ~u =
11
3
de telle sorte que ~u et w
~ soient perpendiculaires et que ~v = k ~u + w.
~
12.12
Démontrer que les diagonales d’un losange ABCD se coupent à angle droit.
−
−
−
−→
−
−
−
−→
Indication : poser ~a = AB et ~b = AD ; examiner les vecteurs ~a + ~b et ~a − ~b.
12.13
Montrer, de deux façons différentes, que les points A(5 ; −8), B(3 ; 1), C(−4 ; 7)
et D(−2 ; −2) forment un losange.
12.14
On donne les points A(1 ; 4), B(5 ; 2) et l’ordonnée égale à 5 d’un point C.
Déterminer tous les points C du plan tels que le triangle de sommets A, B
et C soit un triangle rectangle. Parmi les triangles trouvés, en est-il qui sont
isocèles ?
Géométrie : produit scalaire
12.2
a1
a2
12.15
un vecteur du plan. Démontrer que le vecteur ~b est perpendi
−a2
~
.
culaire au vecteur ~a si et seulement s’il existe λ ∈ R tel que b = λ
a1
12.16
On donne les points A(2 ; 1) et B(3 ; −5).
1) Déterminer les sommets C et D d’un carré ABCD dont AB est un côté.
2) Déterminer les sommets P et Q d’un carré APBQ dont AB est une diagonale.
12.17
Soient A(1 ; 4) et C(6 ; 2). Calculer les coordonnées des points B et D tels que
le quadrilatère ABCD soit un losange dont la diagonale BD ait une longueur
double de la diagonale AC. Déterminer également l’aire du losange et la longueur de ses côtés.
12.18
On donne les points B(4 ; 8) et C(9 ; −4). Déterminer le point A pour lequel
ABC est un triangle isocèle en A d’aire égale à 169.
12.19
On donne deux sommets B(−3 ; 8) et C(−6 ; 2) d’un trapèze ABCD. Déterminer les coordonnées des deux autres sommets de ce trapèze, sachant que :
– ce trapèze est rectangle
√ en B et en C ;
– le côté AB mesure 3 5 ;
– le côté CD mesure le double du côté BC.
12.20
Déterminer l’orthocentre du triangle dont on connaît les sommets A(6 ; 0),
B(8 ; 2) et C(0 ; 2).
12.21
On donne les points A(1 ; 2 ; 3), B(4 ; 8 ; −3) et C(6 ; 3 ; 2), et on considère le
triangle ABC.
1) Calculer la longueur de la hauteur issue de C.
2) Déterminer l’aire du triangle ABC.
12.22
Déterminer le centre et le rayon du cercle passant par les points A(2 ; 3),
B(−3 ; 2) et C(1 ; −2).
12.23
On considère les points A(4 ; 4) et B(−2 ; 3). Trouver le centre et le rayon du
cercle qui passe par A et qui est tangent à la droite OB en O.
12.24
Soit le cercle γ de centre C(4 ; −2) et de rayon 5.
1) Dessiner les droites qui passent par le point A(−3 ; −1) et qui sont tangentes au cercle γ.
2) Déterminer algébriquement le point de tangence de chacune de ces droites
avec le cercle γ.
Soit ~a =
Géométrie : produit scalaire
12.3
Réponses
k~ak
0
k~bk cos(ϕ)
k~bk sin(ϕ)
~b =
!
2) ~a · ~b = k~ak k~bk cos(ϕ)
12.3
1) ~a =
12.4
α = 37,87˚
12.5
65,91˚
12.6
C1 0 ; 0 ;
12.10
k=
4
7
12.11
w=
12.14
C1 ( 23 ; 5) C2 ( 13
; 5) C3 (2 ; 5) C4 (4 ; 5)
2
β = 109,65˚
65,91˚
−6
2
q
√
5+ 73
6
35,26˚
ou C2 0 ; 0 ; −
q
√
5+ 73
6
k=3
12.16
1) C1 (9 ; −4)
C2 (−3 ; −6)
12.17
; 8)
B( 32 ; −2) D( 11
2
12.18
; 12)
A1 ( 61
2
12.19
A1 (−9 ; 11) D1 (−18 ; 8)
12.20
H(6 ; −4)
12.21
1) 3
√
γ = 32,48˚
ABC4 est isocèle
2) P(− 21 ; − 52 ) Q( 11
; − 32 )
2
D1 (8 ; 2)
D2 (−4 ; 0)
aire : 29
longueur des côtés :
145
2
A2 (− 35
; −8)
2
A2 (3 ; 5) D2 (6 ; −4)
2)
2
13
√
27
√
2
2
2
12.22
centre : (− 16 ; 65 )
12.23
centre : ( 12
; 8)
5 5
12.24
Les points de tangence sont T1 (1 ; 2) et T2 (0 ; −5).
Géométrie : produit scalaire
√
rayon :
rayon :
6
4
√
13
5
12.4
12.25
Identité d’Apollonius
Démontrer que la somme des carrés des diagonales d’un parallélogramme est
égale à la somme des carrés de ses côtés.
12.26
Théorème de la médiane
Soient A et B deux points du plan et I le milieu de A
et B. Montrer que pour tout point M du plan, on a :
M
MA2 + MB2 = 2 MI2 + 21 AB2
Indication : calculer de deux façons l’expression
−
−
−→
−
−→
−
−
−→
−
−→
−
−
−→
−
−
→
−
−
−→
−
−
→
(MI + IA) · (MI + IA) + (MI + IB) · (MI + IB).
12.27
A
B
I
Relation d’Euler
Soit ABCD un quadrilatère quelconque.
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
1) Démontrer que DC · AB + DA · BC + DB · CA = 0.
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
Indication : utiliser la relation de Chasles DC = DA + AC.
2) En déduire que les 3 hauteurs d’un triangle ABC quelconque sont concourantes.
12.28
On réalise à l’aide de trois masses et de
deux poulies le montage ci-contre.
Sachant que le système est en équilibre, on
souhaite déterminer les angles α, β et γ.
On admet que s’appliquent en O trois
−
−
→ −
−
→
−
−
→
forces F1 , F2 et F3 dont les normes sont
proportionnelles aux masses. On prendra :
−
−
→
kF1 k
= 10 N,
→
−
−
→
kF2 k
= 8 N,
−
−
→
kF3 k
−→
F2
β
−→
F1
α
O γ
−→
F3
= 12 N.
−
−
→
−
−
→
−
−
→
F1 + F2 + F3
On nomme R =
la résultante
des trois forces.
−
−
→ −
−
→
1) Exprimer en fonction des angles α, β et γ les produits scalaires F1 · F2 ,
−
−
→ −
−
→
−
−
→ −
−
→
F2 · F3 et F3 · F1 .
→ −
−
→ → −
−
→
2) En déduire en fonction de α, β et γ les produits scalaires R · F1 , R · F2 et
→ −
−
→
R · F3 .
→
3) Sachant qu’à l’équilibre R = ~0, écrire un système de trois équations que
doivent vérifier cos(α), cos(β) et cos(γ).
4) En déduire les valeurs des angles α, β et γ.
Réponses
12.28
9
) ≈ 124,23˚ γ = cos−1 (− 43 ) ≈ 138,59˚
α = cos−1 (− 81 ) ≈ 97,18˚ β = cos−1 (− 16
Géométrie : produit scalaire
12.5
13
Produit vectoriel
 

b1
a1
Soient ~a =  a2  et ~b =  b2  deux vecteurs de l’espace.
b3
a3
On appelle produit vectoriel, et on le note ~a × ~b, le vecteur défini par :


a
b
−
a
b
2
3
3
2
a b a b a b ~a × ~b = 2 2 e~1 − 1 1 e~2 + 1 1 e~3 =  a3 b1 − a1 b3 
a3 b 3
a3 b 3
a2 b 2
a1 b 2 − a2 b 1

13.1
 
 
 
2
0
−1
On donne les vecteurs ~a =  0 , ~b =  4  et ~c =  2 . Calculer :
3
5
2
1) ~a × ~b
2) ~a × ~c
3) ~b × ~c
4) ~c × ~b
13.2
Soient ~a et ~b deux vecteurs de l’espace. Montrer que le vecteur ~a × ~b est perpendiculaire aux vecteurs ~a et ~b.
13.3
 
 
−1
1
1) Trouver un vecteur perpendiculaire aux vecteurs ~a =  1  et ~b =  −1 .
5
3
2) Trouver un vecteur perpendiculaire au plan contenant les points A(2 ; 1 ; 6),
B(−1 ; 4 ; 3) et C(2 ; 0 ; −3).
13.4
 
 
 
m
4
1
On donne les vecteurs ~a =  2 , ~b =  5  et ~c =  6 .
5
7
3
1) Trouver un vecteur ~x tel que ~a × ~x = ~b.
2) Pour quelle valeur du paramètre m existe-t-il des vecteurs ~x tels que
~a × ~x = ~c ? Déterminer alors les composantes des vecteurs ~x.
13.5
Soient ~a, ~b, ~c des vecteurs de l’espace et λ ∈ R. Démontrer les propriétés
suivantes du produit vectoriel :
1) ~a × ~b = −(~b × ~a)
anti-commutativité
2) (λ ~a) × ~b = λ (~a × ~b)
Géométrie : produit vectoriel
13.1
3) ~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
distributivité
13.6
Simplifier l’expression ~a × (~b + ~c) + ~b × (~c + ~a) + ~c × (~a + ~b).
13.7
 
 
 
−1
3
1
On considère les vecteurs ~a =  0 , ~b =  5  et ~c =  2 .
−2
7
1
1) Calculer (~a × ~b) × ~c .
2) Calculer ~a × (~b × ~c) .
3) Que prouvent ces deux calculs ?
13.8
Vérifier l’identité de Lagrange : k~a × ~bk2 + (~a · ~b)2 = k~ak2 k~bk2 .
13.9
Soient ~a, ~b deux vecteurs de l’espace et ϕ l’angle entre les vecteurs ~a et ~b.
1) Démontrer : k~a × ~bk = k~ak k~bk sin(ϕ) .
2) En déduire que la norme du produit vectoriel est égale à la superficie du
parallélogramme construit sur les vecteurs ~a et ~b.
13.10
Vérifier que les points A(2 ; 1 ; −2), B(2 ; 3 ; 0), C(6 ; 6 ; 5) et D(6 ; 4 ; 3) forment
un parallélogramme et calculer son aire.
13.11
Vérifier que les points A(2 ; 2 ; 3), B(1 ; 4 ; 3), C(−1 ; 4 ; 2) et D(0 ; 1 ; 0) forment
un tétraèdre et calculer son aire totale.
13.12
On considère les points A(−1 ; 2 ; −5), B(5 ; 4 ; 0) et C(11 ; 8 ; 3). Déterminer la
longueur de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
13.13
On donne un tétraèdre de sommets A(1 ; −5 ; 2), B(3 ; −6 ; 0), C(−3 ; 6 ; 15)
et D(6 ; 5 ; −3).
1) Calculer l’angle aigu que forment les faces ABC et ABD.
2) Calculer l’angle aigu que forme l’arête AD avec la face ABC.
Géométrie : produit vectoriel
13.2
13.14
13.15
13.16
Démontrer que deux vecteurs de l’espace ~a et ~b sont colinéaires si et seulement
si ~a × ~b = ~0 .
 

1
t
Déterminer les paramètres t et u tels que les vecteurs ~a =  2  et ~b =  1 
u
−1
soient colinéaires.

Montrer que si les diagonales d’un parallélogramme sont utilisées comme côtés
d’un autre parallélogramme, alors l’aire du second parallélogramme est double
de l’aire du premier.
Réponses

−6
2)  −13 
4


16
3)  −2 
4


−16
4)  2 
−4

13.1

−12
1)  −4 
8
13.3

1
1) λ  −1  avec λ ∈ R
0

10
2) λ  9  avec λ ∈ R
−1
1) Un tel vecteur ~x n’existe pas.

t
2) m = −27 ~x =  2 t + 5  où t ∈ R
3t − 6


13.4
13.6
13.11
13.12
13.13
13.15

~0

1
2)  −35 
−1


−2
1)  −15 
−14

13.7
13.10

3) Le produit vectoriel n’est pas
associatif.
12
√
21
2
22
√
+
√
70 +
7
√
3
2
61
61
1) 45°
2) 42,88°
t = 2 u = − 12
Géométrie : produit vectoriel
13.3
13.17
~ = ~0.
Montrer que si les vecteurs ~a, ~b, ~c et d~ sont coplanaires, alors (~a×~b)×(~c×d)
La réciproque est-elle vraie ?
13.18
Montrer que si ~a + ~b + ~c = ~0, alors ~a × ~b = ~c × ~a = ~b × ~c .
13.19
Montrer que si ~a × ~b = ~a × c, alors les vecteurs ~a et ~b − ~c sont colinéaires.
13.20
1) En considérant le produit scalaire de deux vecteurs convenablement choisis, montrer l’identité trigonométrique
cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)
2) En considérant le produit vectoriel de deux vecteurs convenablement choisis, montrer l’identité trigonométrique
sin(α − β) = sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β)
13.21
Montrer que, quels que soient les points A, B, C et D de l’espace, on a :
−
−
−
−
→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
−
−
−
−→
BC × BD = (AB × AC) + (AC × AD) + (AD × AB)
13.22
Démontrer l’identité de Gibbs : ~a × (~b × ~c) = (~a · ~c) ~b − (~a · ~b) ~c
Géométrie : produit vectoriel
13.4
14
Produit mixte
Soient ~a, ~b et ~c trois vecteurs de l’espace. On appelle produit mixte des
vecteurs ~a, ~b et ~c, et on le note [ ~a ; ~b ; ~c ], le nombre (~a × ~b) · ~c .
14.1
Vérifier que [ ~a ; ~b ; ~c ] = (~a × ~b) · ~c = ~a · (~b × ~c) = Det(~a ; ~b ; ~c) .
14.2
Soient ~a, ~b et ~c trois vecteurs de l’espace. On désigne par ϕ l’angle entre les
vecteurs ~a × ~b et ~c.
Montrer que le produit mixte [ ~a ; ~b ; ~c ]
est, au signe près, le volume du parallélépipède construit sur ~a, ~b et ~c.
Indication : utiliser les résultats des
exercices 12.3 et 13.9.
14.3
~a × ~b
~c
ϕ
~b
Soient ~a, ~b et ~c trois vecteurs de l’espace.
Montrer que le volume du tétraèdre construit sur
~a, ~b et ~c vaut, au signe près, 61 [ ~a ; ~b ; ~c ].
Indication : utiliser la formule 13 B h pour calculer
le volume d’une pyramide et l’exercice précédent.
~a
~c
~b
~a
14.4
On considère les points A(−1 ; −1 ; 7), B(−2 ; 1 ; 6), C(0 ; 1 ; 6), D(1 ; −1 ; 7),
E(2 ; −2 ; 3), F(1 ; 0 ; 2), G(3 ; 0 ; 2), H(4 ; −2 ; 3). Vérifier que le polyèdre
ABCDEFGH est un parallélépipède et calculer son volume.
14.5
Vérifier que les points A(0 ; 2 ; 3), B(−2 ; 2 ; −1), C(4 ; −2 ; 2) et D(3 ; 6 ; 0) forment
un tétraèdre et calculer son volume.
14.6
On considère un tétraèdre ABCD de volume égal à 5, dont on connaît les
sommets A(2 ; 1 ; −1), B(3 ; 0 ; 1) et C(2 ; −1 ; 3). Calculer les coordonnées du
point D, sachant qu’il est situé sur l’axe OE2 .
Géométrie : produit mixte
14.1
Réponses
14.4
18
14.5
24
14.6
D1 (0 ; −7 ; 0)
Géométrie : produit mixte
D2 (0 ; 8 ; 0)
14.2
14.7
Soient un point P ainsi qu’une droite d passant par un point A et de vecteur
~ Montrer que la distance du point P à la droite d est donnée par
directeur d.
−
−
−
−
→
~
kAP × dk
.
δ(P ; d) =
~
kdk
Applications numériques
Calculer la distance du point P à la droite d dans les cas suivants :
 
1
~

1) P(1 ; 2 ; 2)
A(1 ; −1 ; 2)
d = 1
1
 
1
~

2 
2) P(3 ; 1 ; 4)
A(1 ; 0 ; 0)
d=
−1
14.8
Soient un point P et un plan défini par trois points A, B et C. Montrer que la
distance du point P au plan est donnée par
−−−−→ −−−−→ −−−−→ [ AB ; AC ; AP ]
δ P, (ABC) =
.
−
−
−
−→
−
−
−
−→
kAB × ACk
Applications numériques
Calculer la distance du point P au plan (ABC) dans les cas suivants :
1) A(0 ; 0 ; 0)
B(−1 ; −2 ; −3) C(2 ; −3 ; −1) P(3 ; 2 ; −1)
2) A(2 ; −3 ; −1) B(−1 ; −1 ; 1)
C(0 ; 1 ; 4)
P(3 ; 4 ; −2)
14.9
Soient A, B, C trois points et soient α, β, γ trois
nombres réels strictement supérieurs à 1.
On considère les points A′ , B′ et C′ définis par :
−
−
−
−
−
−
→
′
−
−
−
−→
OA = α OA
−
−
−
−
−
−
→
′
−
−
−
−→
OB = β OB
−
−
−
−
−
−
→
′
B
Montrer que le volume du polyèdre ABCA B C
représenté ci-contre est donné par
−−−−−→ −−−−−→ −−−−−→ V = 61 [ BA′ ; CB′ ; AC′ ]
′
C
O
−
−
−
−→
OC = γ OC
′
C′
′
B′
A
A′
Réponses
√
14.7
1)
14.8
1) 2
2)
6
√
3
Géométrie : produit mixte
2)
√
21
29
√
21
21
14.3
15
Trigonométrie dans le triangle rectangle
15.1
On considère un triangle équilatéral ABC dont les
côtés sont égaux à 2. On appelle M le milieu de AB.
[ et ACM
[?
1) Que valent les angles MAC
C
2) Sans machine à calculer, déterminer les longueurs exactes des segments AC, AM et CM.
3) En déduire, toujours sans machine, les valeurs exactes de cos(30˚), sin(30˚), tan(30˚),
cos(60˚), sin(60˚) et tan(60˚).
A
B
M
15.2
En considérant un triangle rectangle isocèle dont les cathètes mesurent 1, déterminer sans machine à calculer les valeurs exactes de cos(45˚), sin(45˚) et
tan(45˚).
15.3
Dans la figure ci-contre, AD et BE sont des hau√
teurs du triangle ABC dans lequel AE = BE = 3
et CE = 1.
A
1) Sans machine à calculer et à l’aide de l’exercice 15.1, déterminer tous les angles de cette
figure.
E
2) Sans machine à calculer et à l’aide de l’exercice 15.1, calculer les longueurs des segments
AB, BC, CD, AD et BD.
3) En déduire, toujours sans machine, les valeurs exactes de cos(15˚), sin(15˚), tan(15˚),
cos(75˚), sin(75˚) et tan(75˚).
B
D
C
15.4
En considérant un triangle rectangle d’hypoténuse égale à 1 et dont l’un des
angles aigu vaut α, prouver les identités
sin(α)
1) cos2 (α) + sin2 (α) = 1
2) tan(α) =
cos(α)
15.5
La voûte d’un tunnel routier est un arc de cercle d’angle au centre 220˚. Calculer
le rayon r de cet arc de cercle pour que la largeur de la route soit de 12 m.
Calculer aussi la hauteur maximale de la voûte au-dessus du sol.
Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle rectangle
15.1
15.6
1) Calculer la longueur d’un côté d’un pentagone régulier inscrit dans un
cercle de 25 cm de rayon.
2) Calculer la longueur d’un côté d’un pentagone étoilé régulier inscrit dans
un cercle de 25 cm de rayon.
15.7
L’aire d’un polygone régulier convexe à 15 côtés est égale à 1500. Calculer son
côté, ainsi que le rayon de ses cercles inscrit et circonscrit.
15.8
Une tour circulaire de 20 m de diamètre est vue sous un angle horizontal de 18˚.
À quelle distance du point le plus proche de la tour se trouve-t-on ?
15.9
La taille d’un homme est 1,8 m et ses yeux sont à 1,65 m du sol. Sous quel
angle vertical se voit-il dans un miroir permettant une vue en pied s’il en est
placé à 1,4 m ?
15.10
La distance à vol d’oiseau de Rolle à Villeneuve est approximativement égale à
45 km. En supposant qu’on parvienne à relier, par un câble parfaitement rectiligne, deux bornes situées au bord du lac, l’une à Rolle, l’autre à Villeneuve,
quelle serait la profondeur maximale atteinte par le câble dans le lac ?
(Le rayon de la terre mesure 6370 km.)
15.11
La partie émergente d’un paquebot mesure 45 m de hauteur.
Au sortir d’un port, le bateau met son cap dans une direction perpendiculaire
à la rive.
1) Quelle est la hauteur de la partie du bateau encore visible depuis le port
lorsqu’il a parcouru 15 km ?
2) Quelle distance minimum a-t-il parcourue lorsqu’il n’est plus visible depuis le port ?
On admettra que la terre est une boule de rayon égal à 6370 km.
15.12
Deux observateurs, situés à la même altitude, distants de 1350 m, mesurent
au même moment les hauteurs d’un point remarquable d’un nuage situé entre
eux. Ce point est dans le plan vertical contenant les deux observateurs et les
angles d’élévation sont de 65,4˚ et 76,5˚. Quelle est la hauteur du nuage ?
Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle rectangle
15.2
15.13
Une plaine horizontale de 320 m d’altitude est bordée d’une chaîne de montagnes. D’un point de la plaine, on aperçoit le sommet de l’une d’elles sous
un angle d’élévation de 30˚. Cet angle s’accroît de 12˚ lorsqu’on s’avance de
1000 m vers le pied de la montagne. Quelle est l’altitude du sommet visé ?
15.14
D’un point de vue situé à 225 m au-dessus du niveau d’un lac, on aperçoit le
sommet d’une montagne de la rive opposée sous un angle d’élévation de 5,13˚.
Du même point de vue, l’image réfléchie du sommet de la montagne par la
surface du lac apparaît sous un angle de dépression de 6,88˚. Calculer l’altitude
de la montagne sachant que celle du lac est égale à 375 m.
Réponses
15.1
[ = 60˚ et ACM
[ = 30˚
1) MAC
2) AC = 2, AM = 1 et CM =
15.2
15.3
√
3
3
cos(45˚) = sin(45˚) =
2) AB =
√
3
√
sin(30˚) = cos(60˚) =
√
tan(60˚) = 3
3) cos(30˚) = sin(60˚) =
tan(30˚) =
√
3
2
√
1
2
tan(45˚) = 1
2
2
6 BC = 2 CD =
√
√
1+ 3
2
√
AD =
√
3+ 3
2
cos(75˚) = sin(15˚) =
3) cos(15˚) = sin(75˚) = 6+4 2
√
√
tan(15˚) = 2 − 3
tan(75˚) = 2 + 3
15.5
r = 6, 39 m
15.6
1) 29,39 cm
15.7
Côté : 9,22
Rayon du cercle inscrit : 21,69
Rayon du cercle circonscrit : 22,17
15.8
53,92 m
15.9
33,58˚
15.10
39,74 m
15.11
1) 27,34 m
15.12
1934 m
15.13
1929 m
15.14
1908 m
√
3− 3
2
√ √
6− 2
4
BD =
h = 8, 57 m
2) 47,55 cm
2) 23,94 km
Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle rectangle
15.3
16
Cercle trigonométrique
Mesure des angles en radians
r
α
On dit que la mesure d’un angle est de 1 radian si la
longueur de l’arc de cercle correspondant est égale au
rayon du cercle : α = 1 radian.
r
Mesurer les angles en radians offre dès lors un avantage
pratique : la longueur l d’un arc de cercle de rayon r
correspondant à un angle α vaut
l
α
r
l = αr
où l’angle α est mesuré en radians.
Puisque la circonférence d’un cercle de rayon r est égale à 2 π r, on a l’identité
360˚= 2 π radians
16.1
16.2
Convertir en degrés les angles donnés par leur mesure en radians.
1)
π
6
2)
2π
3
3)
π
10
4) 4 π
5)
5π
6
6)
15 π
4
7)
7π
6
8)
Convertir en radians les angles donnés par leur mesure en degrés.
1) 45˚
2) 60˚
3) 75˚
4) 30˚
5) 120˚
6) 315˚
7) 180˚
8) 270˚
11) 135˚
12) 300˚
9) 108˚
16.3
11 π
5
10) 36˚
1) Calculer la longueur d’un arc de cercle
(a) de 32˚ sur un cercle de rayon 15 cm ;
(b) de 2 radians sur un cercle de rayon 7 cm.
2) Calculer le rayon d’un cercle sur lequel
(a) un arc de 1˚ mesure 3 mm ;
(b) un arc de 0,03˚ mesure 0,05 mm.
Trigonométrie : cercle trigonométrique
16.1
16.4
Deux points A et B de la surface terrestre
sont situés sur le même méridien et distants
Soleil
de 800 km.
Lorsque le Soleil est à la verticale de A, les
rayons du Soleil forment avec la verticale
de B un angle de 7,2˚.
En déduire la circonférence et le rayon terrestres 1 .
B
7,2˚
A
Cercle trigonométrique
π
5π
6
3π
4
2π
3
π
2
2π
3π 3
5π4
6
π
2
π
3
π
4
π
6
π
3 π
4 π
6
π
0
− 23π
− π2
− π4
− π4
On appelle cercle trigonométrique le cercle
de rayon 1 centré à l’origine.
On fixe le point A(1 ; 0) et on « enroule »
la droite des réels autour du cercle trigonométrique dans le sens contraire des aiguilles
d’une montre.
Plus précisément, à tout nombre réel α, on
fait correspondre le point M du cercle trigonométrique tel que :
1) l’arc de cercle AM a une longueur égale
à |α| ;
2) il est orienté
– positivement (sens contraire des aiguilles d’une montre) si α > 0 ;
– négativement (sens des aiguilles
d’une montre) si α < 0.
− π2
− 23π
16.5
Donner les images sur le cercle trigonométrique des
réels suivants :
1)
π
2
4)
− π4
π
3
− 23π
7)
10)
2)
π
4
3)
5)
− π2
2π
3
7π
6
6)
8)
11)
9)
12)
3π
4
− 34π
− π3
− 56π
F
E
B
M
P
D
N
A′
A
Q
U
V
T
B′
S
R
1. Cette méthode a été imaginée par Ératosthène (276-194 av. J.-C.) après avoir appris que,
un certain jour de l’année à midi, le Soleil se réfléchit verticalement dans un puits profond près de
Syène (aujourd’hui Assouan) qui correspondait au point A. Le point B était Alexandrie, située à
800 km au nord de Syène. Pour déterminer l’angle à midi, on mesurait l’ombre d’un pilier vertical.
Trigonométrie : cercle trigonométrique
16.2
16.6
ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans le
cercle trigonométrique de centre O.
C
1) Donner les réels de ]−π ; π] qui ont pour images
A, B, C, D, E et F.
O
D
2) De la même façon, donner dans [0 ; 2 π[ les réels
ayant pour images A, B, C, D, E et F.
16.7
B
E
A
F
C
ABCDEFGH est un octogone régulier inscrit dans le
cercle trigonométrique de centre O.
D
1) Donner les réels de ]−π ; π] qui ont pour images
A, B, C, D, E, F, G et H.
B
O
E
2) De la même façon, donner dans [0 ; 2 π[ les réels
ayant pour images A, B, C, D, E, F, G et H.
A
F
H
G
Valeurs exactes des fonctions trigonométriques d’arcs particuliers
16.8
On considère un triangle équilatéral ABC dont les
côtés sont égaux à 2. On appelle M le milieu de AB.
[ et ACM
[?
1) Que valent les angles MAC
C
2) Sans machine à calculer, déterminer les longueurs exactes des segments AC, AM et CM.
3) En déduire, toujours sans machine, les valeurs exactes de cos(30˚), sin(30˚), tan(30˚),
cos(60˚), sin(60˚) et tan(60˚).
A
B
M
16.9
En considérant un triangle rectangle isocèle dont les cathètes mesurent 1, déterminer
sans machine à calculer les valeurs exactes de cos(45˚), sin(45˚) et tan(45˚).
16.10
Dans la figure ci-contre, AD et BE sont des hau√
teurs du triangle ABC dans lequel AE = BE = 3
et CE = 1.
A
1) Sans machine à calculer et à l’aide de l’exercice 16.8, déterminer tous les angles de cette
figure.
E
2) Sans machine à calculer et à l’aide de l’exercice 16.8, calculer les longueurs des segments
AB, BC, CD, AD et BD.
3) En déduire, toujours sans machine, les valeurs exactes de cos(15˚), sin(15˚), tan(15˚),
cos(75˚), sin(75˚) et tan(75˚).
Trigonométrie : cercle trigonométrique
B
D
C
16.3
16.11
En considérant un triangle rectangle d’hypoténuse égale à 1 et dont l’un des angles
aigu vaut α, prouver les identités
sin(α)
1) cos2 (α) + sin2 (α) = 1
2) tan(α) =
cos(α)
Cosinus et sinus d’un réel
α
Soient α un nombre réel et M son image sur
le cercle trigonométrique.
Le cosinus de α est l’abscisse de M.
Le sinus de α est l’ordonnée de M.
En résumé, les coordonnées
du point M sont
M cos(α) ; sin(α) .
Remarque : lorsque l’angle α est aigu, on retrouve les fonctions trigonométriques définies
dans le triangle rectangle.
16.12
M cos(α) ; sin(α)
α
1) À l’aide des exercices 16.8 et 16.9, déterminer
les coordonnées des points A, N, P, M, B, E,
F, D, A′ , U, V, T, B′ , S, R et Q.
F
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
M
P
N
A
Q
U
sin(α)
cos(α)
B
A′
cos(α)
α
E
D
2) Compléter le tableau suivant :
α
V
− π6
− π4
− π3
− π2
− 23π
− 34π
− 56π
T
B′
S
R
sin(α)
16.13
1) Sachant que sin(α) = 54 et que α ∈] −
tan(α) sans déterminer α.
π
2
; π2 [, calculer sans machine cos(α) et
2) Sachant que cos(α) = − 12
et que α ∈] − π ; 0[, calculer sans machine sin(α) et
13
tan(α) sans déterminer α.
et que α ∈] − 32π ; − π2 [, calculer sans machine cos(α)
3) Sachant que tan(α) = 12
5
et sin(α) sans déterminer α.
Indication : utiliser les formules de l’exercice 16.11.
Trigonométrie : cercle trigonométrique
16.4
Relations entre fonctions trigonométriques
16.14
Soit M cos(α) ; sin(α) un point du cercle trigonométrique.
J
M cos(α) ; sin(α)
α
I
O
1) (a) Construire l’image M1 du point M par la symétrie d’axe OI.
\1 ?
(b) Que vaut l’angle IOM
(c) Quelles sont les coordonnées du point M1 ?
(d) Conclure aux relations :
cos(−α) = cos(α)
sin(−α) = − sin(α)
tan(−α) = − tan(α)
2) (a) Construire l’image M2 du point M par la symétrie d’axe OJ.
\2 ?
(b) Que vaut l’angle IOM
(c) Quelles sont les coordonnées du point M2 ?
(d) Conclure aux relations :
cos(π − α) = − cos(α)
sin(π − α) = sin(α)
tan(π − α) = − tan(α)
3) (a) Construire l’image M3 du point M par la symétrie de centre O.
\3 ?
(b) Que vaut l’angle IOM
(c) Quelles sont les coordonnées du point M3 ?
(d) Conclure aux relations :
cos(π + α) = − cos(α)
sin(π + α) = − sin(α)
tan(π + α) = tan(α)
4) (a) Construire l’image M4 du point M par la symétrie dont l’axe est la bissectrice intérieure des droites OI et OJ.
\4 ?
(b) Que vaut l’angle IOM
(c) Quelles sont les coordonnées du point M4 ?
(d) Conclure aux relations :
cos( π2 − α) = sin(α)
Trigonométrie : cercle trigonométrique
sin( π2 − α) = cos(α)
tan( π2 − α) =
1
tan(α)
16.5
16.15
Sur le cercle trigonométrique, on considère
les
points
M
cos(β)
;
sin(β)
,
N cos(α) ; sin(α) et P cos(α − β) ; sin(α − β) .
P
M
α
β
α−β
I
O
N
−
−
−
−
−→
1) Calculer kMNk2 .
−→
2) Calculer kIPk2 .
−
−
−
−
−→
−→
3) Que peut-on dire des normes kMNk et kIPk ?
4) En déduire : cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) .
16.16
1) En remplaçant β par −β dans la formule de l’exercice précédent, montrer :
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) .
2) En utilisant l’exercice 16.14 4) et l’exercice 16.15 4), montrer :
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) .
3) En remplaçant β par −β dans la formule précédente, montrer :
sin(α − β) = sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β) .
16.17
Démontrer :
tan(α) + tan(β)
1 − tan(α) tan(β)
tan(α) − tan(β)
2) tan(α − β) =
1 + tan(α) tan(β)
1) tan(α + β) =
Trigonométrie : cercle trigonométrique
16.6
Réponses
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
1) 30˚
2) 120˚
3) 18˚
4) 720˚
5) 150˚
6) 675˚
7) 210˚
8) 396˚
1)
π
4
2)
π
3
3)
5)
2π
3
6)
7π
4
7) π
9)
3π
5
10)
1) (a) 8,37 cm
(b) 14 cm
Circonférence : 40 000 km
3π
2
12)
5π
3
(b) 95 mm
3) F
4) R
5) B′
6) V
7) M
8) E
9) S
10) T
11) U
12) U
1) A : 0
B:
2) A : 0
B:
1) A : 0 B :
C:
π
3
π
3
C:
C:
π
4
π
4
π
2
π
2
C:
2π
3
2π
3
D:
D:
D:π
3π
4
3π
4
2) AB =
√
E:
E:π
√
4π
3
F : − 34π
E:π
F:
F : − π3
5π
4
F:
G : − π2
G:
3
3
3
2
√
2
2
3π
2
√
A′ (−1 ; 0)
B′ (0 ; −1)
H:
7π
4
1
2
√
√
1+ 3
2
AD =
√
3+ 3
2
√
3− 3
2
√ √
6− 2
4
BD =
3) cos(15˚) = sin(75˚) = 6+4 2
cos(75˚) = sin(15˚) =
√
√
tan(15˚) = 2 − 3
tan(75˚) = 2 + 3
B(0 ; 1)
H : − π4
tan(45˚) = 1
6 BC = 2 CD =
1) A(1 ; 0)
5π
3
3
√
sin(30˚) = cos(60˚) =
√
tan(60˚) = 3
√
cos(45˚) = sin(45˚) =
E : − 23π
D:π
[ = 60˚ et ACM
[ = 30˚
1) MAC
tan(30˚) =
16.12
8)
2) P
3) cos(30˚) = sin(60˚) =
16.10
2) (a) 172 mm
π
6
Rayon : 6 366,2 km
2) AC = 2, AM = 1 et CM =
16.9
3π
4
4)
1) B
2) A : 0 B :
16.8
11)
π
5
5π
12
√
√
√
√
3 1
2
2
3
1
;
)
P(
;
)
M(
;
)
2
2
2
2
2
2
√
√
√
√
E(− 21 ; 23 )
F(− 22 ; 22 )
D(− 23 ; 12 )
√
√
√
√
V(− 22 ; − 22 )
T(− 21 ; − 23 )
U(− 23 ; − 12 )
√
√
√
√
S( 21 ; − 23 )
R( 22 ; − 22 )
Q( 23 ; − 12 )
N(
Trigonométrie : cercle trigonométrique
16.7
2)
α
0
cos(α)
1
sin(α)
α
16.13
1) cos(α) =
− π6
√
3
2
− π4
√
2
2
√
2
2
π
3
π
2
2π
3
1
2
√
3
2
0
− 12
−
3
5
tan(α) =
5
3) cos(α) = − 13
−
0
3
2
−
√
3
2
− π2
1
2
√
3π
4
√
√
1
− π3
− 21
5
2) sin(α) = − 13
16.15
π
4
√
2
2
√
2
2
1
2
0
cos(α)
sin(α)
π
6
√
3
2
−1
− 23π
− 12
−
√
3
2
2
2
2
2
5π
6
√
−
π
3
2
−1
1
2
0
− 34π
− 56π
−
−
√
2
2
√
− 22
√
3
2
− 12
4
3
tan(α) =
sin(α) =
5
12
− 12
13
−
−
−
−
−→
1) kMNk2 = 2 − 2 cos(α) cos(β) − 2 sin(α) sin(β)
−→
2) kIPk2 = 2 − 2 cos(α − β)
−
−
−
−
−→
−→
3) kMNk = kIPk
16.18
Une poulie est actionnée par une courroie dont la vitesse est de 40 cm/s. Calculer le
diamètre de cette poulie, sachant que sa vitesse angulaire est de 36 tours par minute.
16.19
Une roue d’automobile a un diamètre de 60 cm. Quelle est, en tours par minute, sa
vitesse angulaire lorsque la vitesse de la voiture est de 60 km/h ?
16.20
Les roues d’une diligence tirée par des chevaux ont un diamètre de 1 m et comportent
16 rayons. Lors du tournage d’un western, cette diligence est filmée par une caméra
opérant à la vitesse de 24 images par seconde. Lors de la projection du film, les roues
semblent avancer, reculer ou rester immobiles, suivant la vitesse de l’attelage.
Sachant que la vitesse d’un cheval au galop n’excède guère 20 km/h, quelle doit être
la vitesse en km/h de la diligence pour que :
1) les roues semblent immobiles ?
2) les roues semblent avancer ?
3) les roues semblent reculer ?
4) les roues semblent compter 32 rayons ?
Trigonométrie : cercle trigonométrique
16.8
16.21
On considère un triangle ABC isocèle
en A. On désigne par 2 α l’angle au
sommet de ce triangle et par c la longueur du côté AB.
A
α α
1) Calculer, en fonction de c et
des rapports trigonométriques de
l’angle α ou de l’angle 2 α, les longueurs des côtés AF, AG, CG, BF
et HG.
2) En déduire les égalités :
sin(2 α) = 2 sin(α) cos(α)
cos(2 α) = cos2 (α) − sin2 (α)
c
F
G
B
C
H
Réponses
16.18
200
3π
16.19
5000
3π
16.20
≈ 21,22 cm
≈ 530,52 tours par minute
1) vitesse égale à
27 π
5
2) vitesse inférieure à
≈ 16,96 km/h
27 π
10
3) vitesse comprise entre
4)
27 π
10
≈ 8,48 km/h
Trigonométrie : cercle trigonométrique
≈ 8,48 km/h ou supérieure à
27 π
10
≈ 8,48 km/h et
27 π
5
27 π
5
≈ 16,96 km/h
≈ 16,96 km/h
16.9
17
Équations trigonométriques
La construction du cercle trigonométrique implique cos(α + 2 π) = cos(α) .
L’exercice 15.14 a établi la formule cos(−α) = cos(α) .
Il résulte de ces deux propriétés que l’équation
cos(x) = cos(α)
admet deux familles de solutions :
x1 = α + 2 k π où k ∈ Z
x2 = −α + 2 k π où k ∈ Z
17.1
Résoudre les équations suivantes en donnant les solutions en radians.
1) cos(x) = − 12
2) cos( x2 ) = − 12
3) cos( x2 − π6 ) = − 12
La construction du cercle trigonométrique implique sin(α + 2 π) = sin(α) .
L’exercice 15.14 a établi la formule sin(π − α) = sin(α) .
Il résulte de ces deux propriétés que l’équation
sin(x) = sin(α)
admet deux familles de solutions :
x1 = α + 2 k π où k ∈ Z
x2 = π − α + 2 k π où k ∈ Z
17.2
Résoudre les équations suivantes en donnant les solutions en radians.
1) sin(x) =
√
2
2
2) sin( 23x ) =
√
2
2
3) sin( 23x + π4 ) =
√
2
2
La propriété tan(π + α) = tan(α) établie à l’exercice 15.14 fait que l’équation
tan(x) = tan(α)
admet une famille de solutions :
x = α + k π où k ∈ Z
Trigonométrie : équations trigonométriques
17.1
√
17.3
Résoudre l’équation tan(x + π3 ) =
17.4
Résoudre les équations suivantes en donnant les solutions en radians.
17.5
17.6
3
3
en donnant les solutions en radians.
1) 2 sin(3 x + π6 ) = −1
2) cos( x2 − π4 ) = 1
3) sin(3 x) = sin(2 x)
4) cos(2 x) = cos(4 x)
En utilisant les formules cos( π2 − α) = sin(α) et sin( π2 − α) = cos(α), résoudre
les équations suivantes :
1) cos(2 x) = sin(3 x)
2) sin(2 x) = cos(3 x + π4 )
3) cos(2 x) = sin( π2 − 4 x)
4) sin( 43x ) + cos( x2 ) = 0
On considère l’équation cos(x) − sin(x) = 1 . On pose a = cos(x) et b = sin(x).
a − b = 1
1) Justifier que (a ; b) est solution du système
.
a2 + b 2 = 1
2) Déterminer les valeurs de a et b solutions de ce système.
3) En déduire les solutions de l’équation cos(x) − sin(x) = 1 .
17.7
En appliquant la même méthode qu’à l’exercice précédent, résoudre les équations suivantes :
√
√
2) 3 cos(x) − sin(x) = 1
1) sin(x) − cos(x) = 2
17.8
Résoudre les équations suivantes :
1) 4 cos2 (x) − 4 cos(x) − 3 = 0
3) 3 sin2 (x) + cos2 (x) − 2 = 0
Trigonométrie : équations trigonométriques
2) 2 sin2 (x) − 3 sin(x) + 1 = 0
4) tan4 (x) − 4 tan2 (x) + 3 = 0
17.2
Réponses
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
1)
(
x1 = 23π + 2 k π où k ∈ Z
x2 = − 23π + 2 k π où k ∈ Z
3)
x1 = 53π + 4 k π où k ∈ Z
x2 = −π + 4 k π où k ∈ Z
1)
(
x1 =
x2 =
π
4
3π
4
3)
x1 =
x2 =
3π
4
+ 2 k π où k ∈ Z
+ 2 k π où k ∈ Z
2)
(
x1 = 43π + 4 k π où k ∈ Z
x2 = − 43π + 4 k π où k ∈ Z
2)
(
x1 =
x2 =
3π
8
9π
8
+ 3 k π où k ∈ Z
+ 3 k π où k ∈ Z
3 k π où k ∈ Z
+ 3 k π où k ∈ Z
x = − π6 + k π où k ∈ Z
1)
(
x1 = − π9 +
x2 = π3 +
3)
x1 =
x2 =
π
5
1)
(
x1 =
x2 =
π
10
π
2
3)
2kπ
3
2kπ
3
où k ∈ Z
où k ∈ Z
2 k π où k ∈ Z
+ 2 k5 π où k ∈ Z
+ 2 k5 π où k ∈ Z
+ 2 k π où k ∈ Z
x1 = k π où k ∈ Z
x2 = k3π où k ∈ Z
1) cos2 (x) + sin2 (x) = 1
(
x1 =
2 k π où k ∈ Z
3)
π
x2 = − 2 + 2 k π où k ∈ Z
17.7
1) x =
17.8
(
1)
3π
4
+ 2 k π où k ∈ Z
= π4
= − π4
= 34π
= − 34π
+
+
+
+
2kπ
2kπ
2kπ
2kπ
Trigonométrie : équations trigonométriques
où
où
où
où
k
k
k
k
∈Z
∈Z
∈Z
∈Z
π
2
+ 4 k π où k ∈ Z
4)
x1 = k π où k ∈ Z
x2 = k3π où k ∈ Z
2)
(
π
x1 = 20
+ 2 k5 π où k ∈ Z
x2 = − 34π + 2 k π où k ∈ Z
4)
(
x1 = − 35π +
x2 = − 311π +
12 k π
5
12 k π
11
où k ∈ Z
où k ∈ Z
2) S = {(1 ; 0) ; (0 ; −1)}
2)
x1 = 23π + 2 k π où k ∈ Z
x2 = − 23π + 2 k π où k ∈ Z

x1



x
2
3)

x3



x4
2) x =
(
x1 = − π2 + 2 k π où k ∈ Z
x2 = π6 + 2 k π où k ∈ Z


 x1
x2
2)

x
3

x1



x
2
4)

x3



x4
=
=
=
π
2
π
6
5π
6
= π4
= − π4
= π3
= − π3
+ 2 k π où k ∈ Z
+ 2 k π où k ∈ Z
+ 2 k π où k ∈ Z
+
+
+
+
kπ
kπ
kπ
kπ
où
où
où
où
k
k
k
k
∈Z
∈Z
∈Z
∈Z
17.3
18
Trigonométrie dans le triangle quelconque
18.1
Théorème du cosinus
Dans tout triangle, le carré d’un côté est égal à
la somme des carrés des deux autres, diminuée du
double produit de ces côtés par le cosinus de l’angle
qu’ils comprennent :
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2 a c cos(β)
A
2
2
2
c = a + b − 2 a b cos(γ)
C
γ
b
a
β
α
c
B
Démontrer le théorème du cosinus à l’aide des exercices 12.2 2) et 12.3 3).
18.2
Théorème de l’aire
L’aire d’un triangle est égale au demi-produit de deux de ses côtés par le sinus
de l’angle qu’ils comprennent :
A = 12 a b sin(γ) = 21 a c sin(β) = 12 b c sin(α)
Démontrer le théorème de l’aire grâce à l’exercice 13.9.
18.3
Théorème du sinus
Dans tout triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés :
a
b
c
=
=
sin(α)
sin(β)
sin(γ)
Déduire le théorème du sinus du théorème de l’aire.
Remarques concernant l’utilisation des théorèmes du cosinus et du
sinus
– Si α est un angle d’un triangle, la connaissance de cos(α) permet de déterminer sans ambiguïté l’angle α : il n’y a qu’un angle de mesure comprise
entre 0˚ et 180˚ (0 rad et π rad) tel que cos(α) = x, si −1 6 x 6 1.
En revanche, la connaissance de sin(α) ne permet pas de déterminer α
de manière unique, puisque deux angles supplémentaires ont même sinus :
sin(α) = sin(π − α).
Il faudra donc être prudent lors de l’utilisation du théorème du sinus, en
envisageant toutes les solutions. On pourra ensuite éliminer les valeurs indésirables en vérifiant que la condition α + β + γ = 180˚est satisfaite ou en
utilisant le fait que dans un triangle, au plus grand angle est opposé le plus
grand côté.
– Le théorème du cosinus convient bien à la résolution des triangles définis par
leurs trois côtés, ou par deux côtés et l’angle qu’ils comprennent.
Dans les autres cas, on aura recours au théorème du sinus.
Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle quelconque
18.1
18.4
Sachant que ABC est un triangle quelconque, compléter le tableau ci-dessous
(les angles sont mesurés en degrés) :
a
b
c
5
6
7
5
7
4
9
β
A
γ
35˚
54˚
8
6
α
40˚
80˚
5
12
70˚
4
42˚
10
63˚
15
60˚
4
6
C
18.5
Dans la figure ci-contre, calculer la longueur des segments BC, BD, AD et AC.
D
A
18˚
25˚
42,5
70˚
B
D
18.6
Sur la diagonale AC d’un rectangle ABCD, on
[ = ω = 57˚.
considère un point O tel que BOC
Sachant que AB = 36 et que AO = 24, calculer
la longueur du côté BC.
C
O
ω
A
18.7
18.8
B
D’un quadrilatère convexe ABCD, on donne l’angle en A : 110˚, ainsi que les
longueurs des quatre côtés : AB = 3, BC = CD = 6, AD = 5. Calculer l’aire
et les angles du quadrilatère.
√
Un triangle ABC est donné par a = 10, b = 4 et c = 52.
Calculer sans machine la longueur de la médiane du triangle issue de A, et
montrer qu’elle est perpendiculaire à AC.
Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle quelconque
18.2
18.9
Un triangle est donné par a = 28,4, b = 36,9 et γ = 54,9˚.
Calculer les longueurs des bissectrices de ce triangle.
18.10
Pour déterminer l’altitude du sommet C d’une montagne, on fait le choix, dans
un plan vertical contenant C, de deux points A et B distants de 200 m. On
[ = 110˚, ABC
[ = 50˚, ainsi que l’angle δ = 40˚entre AB
mesure les angles BAC
et l’horizontale. Quelle est l’altitude de C si celle de A, extrémité inférieure de
la base, est de 800 m ?
18.11
Une tour de 50 m de hauteur est située sur le flanc d’une colline. Si, depuis
le pied de la tour, on descend de 220 m le long de la colline, on voit la tour
sous un angle vertical de 12,5˚. Calculer l’angle d’inclinaison de la colline par
rapport à un plan horizontal.
18.12
D’un point A, un pilote parcourt 125 km dans la direction
NO 38˚ jusqu’au point B. Là, il tourne dans l’intention de
revenir vers A. En fait, en raison d’une erreur, il parcourt
125 km dans la direction SE 51˚.
Combien de kilomètres lui reste-t-il à parcourir et dans quelle
direction pour rejoindre A ?
O
N
38˚
B
E
A
S
Réponses
18.4
a
b
c
α
β
γ
5
6
44,4˚
5
7
4
5,9
9
9,1
6
5
5,5
4,8
3,1
4
6,4
4,5
7
8,7
2,8
7,4
8
5,0
9,8
5,3
7,0
4
57,1˚
53,4˚
126,6˚
100,0˚
80˚
53,1˚
24,0˚
43,6˚
63˚
78,5˚
78,5˚
91,6˚
18,4˚
54˚
60˚
53,1˚
126,9˚
66,4˚
75˚
60˚
18.5
BC = 63,8
18.6
BC = 15,3
18.7
A = 23,66
35˚
26,0˚
40˚
73,7˚
29,2˚
70˚
42˚
41,5˚
BD = 25,4
AD = 56,5
β = 101,3˚
γ = 67,3˚
Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle quelconque
A
14,70
17,49
5,53
14,56
23,39
12
10
15
6
AC = 88,0
δ = 81,4˚
18.3
18.8
Longueur de la médiane issue de A : 3
18.9
ba = 30,7
18.10
1024 m
18.11
5,3˚
18.12
28,3 km dans la direction SO 45,5˚.
bb = 23,3
bc = 28,5
Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle quelconque
18.4
18.13
18.14
Démontrer le théorème du cosinus en appliquant le
théorème de Pythagore au triangle ABH. Plus précisément, exprimer les longueurs des côtés AH et BH en
fonction de a, b et de l’angle γ et montrer la formule
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(γ) .
B
β
c
A
a
γ
α
H
b
C
Exprimer, dans la figure de l’exercice précédent, la longueur de BH en fonction
de a et de l’angle γ. En déduire le théorème de l’aire.
A
18.15
Soit un triangle ABC. On désigne respectivement par O et r
le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
a
= 2r.
1) Montrer que
sin(α)
B
2) En déduire le théorème du sinus.
α
O
r
C
H
18.16
Calculer le côté et les angles inconnus d’un triangle ABC, connaissant a = 5,
c = 7, et sachant de plus que la longueur de la bissectrice issue de B est égale
à 4,5.
18.17
On donne les longueurs des côtés d’un quadrilatère convexe ABCD inscriptible
dans un cercle : AB = 8, BC = 7, CD = 4, DA = 5. Calculer les longueurs de
ses diagonales, ses angles, ainsi que le diamètre de son cercle circonscrit.
18.18
D’un trapèze ABCD, on connaît les bases AB = 5 cm et CD = 11 cm, la
hauteur 6 cm ainsi que l’angle entre les côtés AD et BC : 48˚. Calculer les
côtés et les angles inconnus du trapèze.
Réponses
α = 39,06˚
β = 79,04˚
γ = 61,91˚
18.16
b = 7,79
18.17
AC = 7,74 BD = 8,65 α = 79,8˚ β = 61,7˚ γ = 100,12˚ δ = 118,3˚
diamètre du cercle circonscrit : 8,79
18.18
BC = 6,04
∠D = 83,6˚
DA = 8,02
∠A = 96,4˚
Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle quelconque
∠B = 131,6˚
∠C = 48,4˚
18.5
Valeurs remarquables des cosinus et sinus
π
2
2π
3
π
3
√
3
2
√
2
2
3π
4
5π
6
π
4
π
6
1
2
0
π
√
− 23
√
− 22
− 21
1
2
√
2
2
− 21
− 56π
− 34π
− π6
√
2
2
√
− 23
− π4
−
− 23π
√
3
2
− π3
− π2