Classe: 1S TP GeoGebra Travail à faire obligatoirement. Possibilité

Classe: 1S
TP GeoGebra
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie
Travail à faire obligatoirement.
Possibilité de faire par binôme (binôme = 2 individus)
Vous pouvez envoyer vos travaux par e-lyco ou par e-mail ([email protected])
En cas de " panne ", n'hésitez pas à envoyer votre essai en décrivant précisément ce qui bloque.
Objectifs : apprendre à réfléchir … notamment à partir des équations, inéquations et les relations logiques (ET,
OU).
Ouvrir GeoGebra (version récente obligatoire).
Pour chaque partie I- II- III- créez un nouveau fichier.
I- Dans la ligne de saisie,
a) tapez : 2x + y – 5 < 0.
Qu'observez-vous ? (Décrivez précisément ce qui apparaît).
Le plan est partagé en deux demi-plans de frontière la droite d'équation 2x + y – 5 = 0.
La partie inférieure est colorée.
Copie d'écran :
« C'est à force d'observations, de réflexion que l'on trouve. Ainsi, piochons, piochons continuellement»
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Claude Monet
26/01/14
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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie
Démontrez qu'un point M(x ; y) du plan appartient à la zone que vous avez observée à l'écran si et seulement si
y < –2x + 5
Soit un point de la frontière des deux demi-plans. Cette frontière est une droite .
L'ensemble des points N(x ; y) de cette droite  ont leurs coordonnées x et y qui sont solutions de l'équation :
y = –2x + 5.
Soit un point M(x ; y) de même abscisse x que N mais situé au-dessous de N :
on a donc : y M < y N , or, y N = –2x + 5.
Si M(x ; y) est en-dessous de  on a donc : y < –2x + 5 qui équivaut à 2x + y – 5 < 0.
Réciproquement :
Si y < –2x + 5, le point M de coordonnées (x ; y) est en-dessous du point N de coordonnées (x ; –2x + 5).
Or, quand x décrit ℝ, N décrit la droite  d'équation y = –2x + 5.
M et N ont la même abscisse.
le point M d'ordonnée quelconque apparaît si et seulement si son ordonnée est inférieure à celle de N qui est
égale à –2×(abscisse de N) + 5
Voir le fichier GeoGebra.
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b) Qu'auriez-vous obtenu en remplaçant " < " par " > " ?
Qu'auriez-vous obtenu en remplaçant " < " par " = " ?
c) Vérifiez à l'aide du logiciel.
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II- Dans la ligne de saisie,
a) tapez : (y>x+1) ∧ (y<–x+2)
(le symbole ∧ signifie " ET ". Pour l'obtenir avec GeoGebra, cliquez
sur  au bout de la ligne de saisie et choisissez le symbole)
qu'observez-vous à l'écran ? Expliquez.
b) a) tapez : (y>x+1) ∨ (y<–x+2)
(le symbole ∨ signifie " OU ". Pour l'obtenir avec GeoGebra, cliquez
sur  au bout de la ligne de saisie et choisissez le symbole)
qu'observez-vous à l'écran ? Expliquez.
Au a), la zone colorée est l'ensemble des points représentant les
solutions communes aux deux inéquations.
Au b), la zone colorée est l'ensemble des points représentant les solutions d'au moins une des deux inéquations.
Dans le premier cas, on obtient l'intersection (ET) de deux demi-plans,
l'un correspondant à l'inéquation : y > x + 1 ET l'autre à y < – x + 2.
Dans le second cas, on obtient la réunion (OU) des deux demi-plans. Tous les points dont les coordonnées
vérifient au moins une des deux inéquations sont colorées.
La partie non colorée correspond aux points dont les coordonnées ne vérifient aucune des deux équations.
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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d’Alexandrie
III- Dans la ligne de saisie,
a) tapez x² + y² + 2x + 4y – 4 = 0
Qu'observez-vous ? (Décrivez précisément ce qui apparaît).
On note c cet objet dans la suite du texte.
On obtient un cercle de centre A(–1 ; –2) et de rayon 3.
b) dans la fenêtre algèbre est apparu un objet " conique "
Quelle équation est écrite sur votre écran ? ….
cliquez droit sur cette équation et cliquez sur équation …. (vous avez l'un ou l'autre de ces choix)
Quelle équation est écrite sur votre écran ? ….
Une des équations est : (x + 1)² + (y + 2)² = 9
L'autre équation est : x² + y² + 2x + 4y = 4
c) D'après le logiciel, vous disposez de deux équations pour l'objet c.
Démontrez l'équivalence de ces deux équations et
justifiez alors par les propriétés géométriques qu'un point M(x ; y) du plan appartient à c si et seulement si ses
coordonnées x et y vérifient l'équation de la forme (x – m)² + (y – n)² = r².
En développant (x + 1)² + (y + 2)² = 9
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on obtient x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 9
puis en réorganisant x² + y² + 2x + 4y = 4.
Les deux équations sont équivalentes, c'est-à-dire : les points représentant les solutions de x² + y² + 2x + 4y = 4
sont aussi les points représentant les solutions de (x + 1)² + (y + 2)² = 9,
mais cela ne prouve en aucune façon que cet ensemble de points est un cercle.
Preuve :
Soit A(–1, –2) et M(x, y), on sait que AM² = (x – (–1))² + (y – (–2))².
relation)
(Indispensable de connaître cette
L'équation (x + 1)² + (y + 2)² = 9 équivaut à AM² = 9
Comme AM est une distance, on a donc :
l'ensemble des points M du plan équidistants du point A et cette distance vaut 3. (définition du cercle)
c est le cercle de centre A et de rayon 3.
Attention au vocabulaire :
Le cercle est la ligne de points distants de 3 unités du point A.
Les points à une autre distance ne sont pas des points du cercle.
d) tapez dans la ligne de saisie : x² + y² + 2x + 4y – 4 < 0.
qu'observez-vous à l'écran ? Expliquez.
les calculs précédents mènent à : AM² < 9
La distance de A à M est strictement inférieure à 3, d'où, le disque apparu sur l'écran.
e) Que devez-vous obtenir en remplaçant " < " par " > " ? Vérifiez ...
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La partie du plan extérieure au disque
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IV- Que devriez-vous obtenir en tapant dans la ligne de saisie :
(y>x²) ∧ (y<–x²+1)
On doit obtenir l'intersection (ET) d'une zone au-dessus de la parabole d'équation y = x² et en-dessous de la
parabole d'équation y = –x² + 1.
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