INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRAL Calcul d`aire

INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRAL
Calcul d’aire algébrique - Notion d’intégrale
Intégrale définie
L’intégrale d’une fonction f(x), ou f(t) selon la variable qui définit cette fonction,
définie entre deux bornes x1 et x2 (ou t1 et t2 ) de la variable, est égale à l’aire
algébrique (comptée positive si elle est au-dessus de l’axe de la variable, et
négative dans le cas contraire) de la surface délimitée par les 2 bornes x1 et x2
entre l’axe d’une part et la courbe de la fonction f(x) d’autre part.
On remarque sur la figure 1 qu’en première approximation l’aire hachurée en
rouge peut se calculer par l’aire du trapèze:
A
f x2
f x1
2
. x2
x1
f x1
.
moy
x
l’approximation est d’autant plus fondée que l’écart x entre les 2 bornes x1 et x2
sera faible; en zoomant encore davantage (x2 x1 ) on se rend compte alors que
f(x2 ) f(x1 ) et que l’aire A
f(x1 ) . x
on va noter dx le petit accroissement x de la variable x à partir de la borne x1 ;
dans ce cas la petite aire hachurée est quasiment celle du rectangle de base dx et de
hauteur f(x1);
on va noter dA l’aire de la petite surface ainsi obtenue;
xn
0
6
12
18
24
30
36
f(xn )
0
10
21
31
41
50
59
aire bandelette
aire cumulée
0
0
60
60
126
186
186
372
246
618
300
918
354
1272
42
67
48
74
54
81
60
87
66
91
72
95
78
98
aire bandelette 402
aire cumulée 1674
444
2118
486
2604
522
3126
546
3672
570
4242
588
4830
xn
f(xn )
xn
84
90
96
102
108
114
120
f(xn )
99
100
99
98
95
91
87
aire bandelette 594
aire cumulée 5424
600
6024
594
6618
588
7206
570
7776
546
8322
522
8844
126
132
138
144
150
156
162
81
74
67
59
50
41
31
444
402
9776 10178
354
10532
300
10832
xn
f(xn )
aire bandelette 486
aire cumulée 9332
xn
168
174
180
186
192
198
214
21
10
0
-10
-21
-31
-41
60
0
11450 11450
-60
11390
-126
11264
f(xn )
si on veut maintenant calculer l’aire d’une grande surface entre 2 bornes éloignées,
on va décomposer l’intervalle en un grand nombre de petits trapèzes dont on va
calculer les aires en les approximant par des petits rectangles de largeur x dx
et de hauteur f(xn ), soit:
x3
A
f xn .
x que l’on notera: A
x1
x3
x1
f xn . dx
A s’appelle l’intégrale définie entre x1 et x2 de la fonction f(x) et se lit:
Intégrale de x1 à x2 de f(x).dx ou encore
Somme de x1 à x2 de f(x).dx
application au calcul de l’aire de l’alternance positive de la sinusoïde (figure1):
on calcule l’aire de chaque bandelette de largeur 1 carreau (6°) et de hauteur f(xn )
soit A = f(xn ) . 6°
on remarque qu’au-delà de 180°, A devient négatif et que le cumul décroit.
Bernard PONTALIER
246
186
11078 11264
aire bandelette 126
aire cumulée 11390
-186
-246
11078 10832
l’aire totale de l’alternance positive vaut donc 11450 (valeur cumulée au point
x=180°); la valeur moyenne de l’alternance est égale à l’aire divisée par l’intervalle
choisi, soit 360°; la valeur moyenne vaut donc: 11450 / 180 = 63,6
on sait en électricité que la valeur moyenne d’une alternance se calcule par :
Vmoy = 2.Vmax /
soit 2.100 / 3,1416 = 63,66
Intégrale indéfinie
L’intégrale indéfinie d’une fonction f(x) correspond au cas où les bornes x1 et x2
ne sont pas spécifiées; dans le cas général on peut définir une fonction F(x)
appelée Intégrale indéfinie de f(x) ou encore Primitive de f(x) notée:
F x
f x . dx
INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRAL
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l’intégrale définie est alors égale à:
A
x2
x1
f x . dx
F x2
Remarque: Les fonctions intégrales sont les fonctions inverses des fonctions
dérivées.
F x1
100
80
60
40
20
0
x1 x2
x3
-20
-40
-60
-80
-100
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
figure 1
Bernard PONTALIER
INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRAL
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Ce calcul peut être automatisé au moyen d’une feuille de calcul Excel.
1
A
B
C
D
x (°)
f(x)
f(x) . dx
aire cumulée
2
0
0
0
0
3
=A2+6
=100*SIN(RADIANS(A3))
=B3*6
=D2+C3
4
=A3+6
=100*SIN(RADIANS(A4))
=B4*6
=D3+C4
Les mathématiques nous enseignent que la dérivée de la fonction y2 s’écrit:
x
2
y'2 = F'(x) = - - K sin 2
.
360
360
y'2
Les courbes ci-dessous représentent l’évolution de la fonction f(x) en bleu et de
son intégrale (en mauve) calculée par l’aire cumulée à partir de l’origine (x = 0)
jusqu’à x = 360°
120
= 5750 .
2
x
sin 2
360
360
= 100,3 sin 2
x
360
y1 = f(x)
l’erreur commise par l’approximation que nous faisons lorsqu’on assimile l’aire
du trapèze à l’aire d’un rectangle est minime (ici 0,3%)
12000
Quelques couples de fonctions Dérivées-Intégrale usuelles
100
80
10000
intégration
fonction
60
40
dérivée
20
0
6000
-20
-40
4000
-60
-80
2000
-100
-120
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
Les initiés reconnaitront aisément dans la courbe mauve la fonction (-cos x)
multipliée par un coefficient K qui ici est de l’ordre de 5750 et décalée d’une
quantité égale à la même valeur.
La variable x n’étant pas exprimée en radians comme le veut la mathématique,
mais en degrés, nous écrirons pour l’expression de la fonction y1 = f(x):
x
y1 = f(x) = 100 sin 2
360
la courbe y2 = F(x) représentant l’intégrale calculée de y1 = f(x) s’écrira:
x
y2 = F( x) = - K cos 2
K avec K = 5750 déduit de la courbe
360
Bernard PONTALIER
primitive
dérivation
8000
fonction
f(x) = 0
f(x) = A (constante)
f(x) = a.x+b
f(x) = A.sin(x)
f(x) = A.sin(b.x)
f(x) = A.cos(x)
f(x) = A.cos(b.x)
f(x) = A.ex
F(x) = C (constante indéterminée)
F(x) = A.x + C
F(x) = a.x2 / 2 + b.x + C
F(x) = -A.cos(x) + C
F(x) = -(A/b) cos(b.x) + C
F(x) = A.sin(x) + C
F(x) = (A/b).sin(b.x) + C
F(x) = A.e x + C
f(x) = A.eb.x
f(x) = A/x
f(x) = A/b.x
F(x) = (A/b).eb.x + C
F(x) = A.Ln(x) + C
F(x) = (A/b).Ln(b.x) + C
remarque: toutes les intégrales sont définies à une constante C près appelée
constante d’intégration; la valeur de cette constante dépend des conditions initiales
au calcul d’aire; dans l’exemple précédent calculé avec Excel, on a initialisé le
calcul d’aire cumulée à zéro en écrivant dans la cellule “D2” la valeur 0; le calcul
ci-contre de la fonction intégrale y2 = F(x) pour la valeur initiale (x = 0) donne
bien : y2 = -K.cos(0)+K = -K+K = 0
INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRAL
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Travaux pratiques:
• cas de la fonction exponentielle: f(x) = ea.x
Nous allons vérifier à l’aide du tableur-grapheur Excel le bien-fondé des formules
mathématiques.
• cas de la fonction afine: f(x) = a x + b
A
1
B
C
D
dx =
3
Ao =
1
0 aire initiale
C
D
E
paramètres de calcul:
2
dx =
3
Ao =
5
0,05 pas de calcul
B
0,05 pas de calcul
a=
0,5
0 aire initiale
4
E
paramètres de calcul:
2
A
a=
0,5
6
b=
1
7
x
f(x)=exp(ax)
f(x) . dx
aire cumulée
F(x)
0
=EXP(a*x)
=B6+dx
=Ao
=(1/a)*EXP(a*x)
=A6+dx
=EXP(a*x)
=B7+dx
=D6+C7
=(1/a)*EXP(a*x)
4
5
x
f(x)=ax+b
f(x) . dx
aire cumulée
F(x)
6
0
=ax+b
=B6+dx
=Ao
=b*x+(a*x^2)/2
7
=A6+dx
=ax+b
=B7+dx
=D6+C7
=b*x+(a*x^2)/2
on donne le nom “dx” à la cellule B2, le nom “Ao” à la cellule B3 et le nom “a” à
la cellule E2
F(x) = Intégrale de Exponentielle (a.x)
on donne le nom “dx” à la cellule B2, le nom “Ao” à la cellule B3, le nom “a” à
la cellule E2 et le nom “b” à la cellule E3
4,5
4
3,5
F(x) = Intégrale de (a.x + b)
3
2,5
2,5
f(x)=exp(ax)
aire cumulée
F(x)
2
2
1,5
1
1,5
f(x)=ax+b
aire cumulée
0,5
F(x)
1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0,5
on remarque que les courbes de l’aire cumulée et de la fonction F(x), intégrale de
la fonction f(x), sont identiques mais décalées d’une quantité constante C égale à 2
dans cet exemple;
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
on remarque que les courbes de l’aire cumulée et de la fonction F(x), intégrale de
la fonction f(x), sont confondues
on retrouvera ces exemples dans le fichier Excel “TP calcul intégral.xls” ainsi que
ceux le la sinusoïde ou encore de l’hyperbole;
on constate à travers ces exemples que toutes les intégrales sont définies à une
constante C près appelée constante d’intégration.
Bernard PONTALIER
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