série 1 - TuniSchool

Série 3ème
Cinématique
A- Essentiel à retenir
1- L’étude d’un mouvement nécessite la désignation : d’un référentiel c à d :
* D’un repère d’espace.
* et d’un repère de temps.
2- Le vecteur position : OM  x(t).i  y(t). j ; x(t) et y(t) sont les coordonnées du mobile dans le repère
orthonormé (O,i,j) x=f(t) et y=(t) sont les équations ( ou lois ) horaires du mouvement.
3- Equation de la trajectoire : L’équation qui donne y en fonction de x , s’appelle
équation de la trajectoire.
Sens du mvt
d(OM) dx
dy
 .i 
j  v x .i  v y . j
4- Le vecteur vitesse d’un mobile : v 
dt
dt
dt
v
M
Direction : La tangente à la trajectoire au point considéré.
Sens : celui du mouvement.
Valeur : v 
v x 2  v 2y
4- Le vecteur accélération : a 
dv y
d(v) dv x

.i 
. j  a x .i  a y . j
dt
dt
dt
Coordonnées du vecteur accélération dans le repère de Freinet
dv
v2
et a N 
RC rayon de courbure de la
a  a T .T  a N .N avec a T 
dt
RC
Sens positif choisi
T
aT
trajectoire au point M.
M
aN
a
B- Exercices :
N
Exercice 1 :
Une bille supposée ponctuelle se déplace dans un plan muni d’un repère
orthonormé ( O ; i ; j ) A l’origine du temps, son vecteur position est
OM 0 =3 i +3 j et son vecteur vitesse est V0 =3 i + 3 j . A tout instant , le
vecteur accélération du mobile est a =4 j
1 / Déterminer en fonction du temps, l’expression du :
a- Vecteur vitesse V .
b- Vecteur position OM
2/ Montrer que l’équation de la trajectoire est donnée par
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Série 3ème
Cinématique
y=0,5x2 –x-1.5
3/ on donne l’allure de la trajectoire du mouvement du mobile relativement au repère ( O ; i ; j ) (figure cicontre). Indiquer sur la trajectoire à t=0s , le point M0 ainsi que les vecteurs qui représentent :
-la vitesse
-l’accélération
-l’accélération normale
-l’accélération tangentielle
4/ Déterminer à t=0s
a- L’angle β que fait le vecteur V0 avec l’axe des abscisses.
b- Les valeurs de l’accélération tangentielle aT et de l’accélération normale aN
c- Le rayon de courbure
5/ Sachant que l’expression de l’accélération tangentielle est donné par : aT =
4(t-1)
Retrouver celle de
t – 2t + 1,25
2
l’accélération normale aN
Exercice 2
Un mobile M est en mouvement dans un repère orthonormé R( O ; i ; j ). Le vecteur position de M est donné
par OM =(b.t + c). i + (d.t2 + e.t + f). j ; avec b,c,d,e et f sont des constantes.
1- a- Sachant qu’à la date t=0 s OM0 = 0 et v0 = i + 4 j et que l’équation de la trajectoire du mouvement est
y(x)= -x2 + 4x, déterminer les valeurs de ces constantes.
b- Déduire l’expression des vecteurs position et vitesse de M.
2- A quelle date t1 le mobile M passe par le point A(4,0) ?
3- Tracer la trajectoire de M pour t [0 ;t1]. Échelle : 2 cm pour 1 m.
4- Déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse à t = 2 s.
5- Déterminer l’expression du vecteur vitesse au point A. Préciser si le mouvement est accéléré ou retardé lors
du passage par ce point.
Exercice n :3
Dans un repère ( O ; i ; j ), le vecteur position d’un mobile est OM = 2t. i +(-5t2+4t). j
L’unité de mesure et le mètre et le mouvement débute à t=0.
1/ Donner les lois horaires du mouvement et établire l’équation cartésienne du mouvement.
2/ Représenter graphiquement cette trajectoire.
3/ a- donner les caractéristiques du vecteur vitesse du mobile au point sommet S de la
trajectoire.
b-A quel instant le mobile passe t-il de se point S.
4/ Donner le vecteur accélération du mobile .
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5/ Représenter cette accélération au point S. Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire au point S.
6/ Déterminer l’accélération normale et tangentielle à l’instant t = 1s.
Exercice 4
Dans un repère orthonormé ( O ; i ; j ), un mobile M est lancé , à l’origine du temps , de l’origine O du repère
avec une vitesse initiale V0 = 2 i - 8 j . Le vecteur accélération du mouvement est a = 8 j .L’unité de mesure
dans le repère ( O ; i ; j )est le mètre.
1/ a- Déterminer l’expression du vecteur vitesse du mobile au cours du temps.
b- Déterminer les lois horaires du mouvement . En déduire l’équation cartésienne de la trajectoire.
Représenter cette trajectoire selon l’échelle suivant : 1m  1cm.
2/ a- Déterminer les caractéristique du vecteur vitesse à l’instant t = 1s .Représenter ce vecteur vitesse
ainsi que le vecteur accélération sur la trajectoire. Préciser l’échelle choisie.
b- Calculer le rayon de courbure de la trajectoire à cet instant.
3/ a- Déterminer la position du mobile pour laquelle le vecteur vitesse fait un angle de 45° avec le vecteur
accélération.
b- Calculer en cette position le rayon de courbure de la trajectoire.
4/ Si la vitesse avec laquelle est lancé le mobile à l’origine du temps est a = 2 i + V0y . j .
Quelle valeur doit avoir V0y pour que le mobile passe par le point A ( 5 ; 0 ). Justifier la réponse
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