TD Oscillateur harmonique

TD Oscillateur harmonique
Exercice 1 : Ressort vertical (1, 2)
Exercice 4 : Oscillations d’une molécule (1, 2) [∗]
Retrouver l’équation différentielle qui décrit le mouvement d’une masse
suspendue à un ressort vertical de longueur à vide 𝑙0 et de constante de raideur
𝑘. Tracer le graphe de la position en fonction du temps.
Exercice 2 : Bus et dos d’âne (2)
Un bus vide de masse 𝑀 = 5 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑒𝑠 passe au-dessus d’un dos d’âne. Il oscille
alors verticalement à la fréquence 𝑓 = 1 𝐻𝑧. Au retour, le bus est rempli d’une
cinquantaine de passagers de masse moyenne 𝑚 = 60𝑘𝑔.
Une molécule de monoxyde de carbone CO est modélisée par deux masses 𝑚1
et 𝑚2 mobiles sur l’axe 𝑂′𝑥 et liées par un ressort de raideur 𝑘 = 1856 𝑁/𝑚 et
longueur à vide 𝑙0 . La position de l’atome d’oxygène (respectivement carbone)
est repérée par l’abscisse 𝑥1 (respectivement 𝑥2 ). Initialement, les deux atomes
sont immobiles et leur position notées 𝑥10 et 𝑥20 .
On a :
- Constante d’Avogadro 𝑁𝐴 = 6,02. 1023 𝑚𝑜𝑙 −1
- Masse molaire du carbone 𝑀 = 12 𝑔. 𝑚𝑜𝑙 −1
- Masse molaire de l’oxygène 𝑀 = 16 𝑔. 𝑚𝑜𝑙 −1
Quelle sera la fréquence des oscillations après le dos d’âne ?
Exercice 3 : Energie d’un ressort (3)
Une masse 𝑚 attachée à un ressort de raideur 𝑘 et de longueur à vide 𝑙0 oscille
de telle manière que la longueur du ressort vaut 𝑙(𝑡) = 𝑙0 + 𝑋0 sin(𝜔0 𝑡) avec
𝑘
𝑚
𝜔0 = √ .
1. Calculer l’énergie mécanique à l’instant 𝑡. Que dire du résultat ?
2. Calculer la valeur moyenne de l’énergie cinétique et potentielle.
Remarque : La valeur moyenne d’une fonction 𝑓(𝑡) de période 𝑇 est
𝑇
1 𝑇
𝑇
donnée par < 𝑓 >= ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡. On donne ∫0 cos ²(𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑇
2
3. Justifier le terme d’équipartition de l’énergie.
PCSI – Lycée Brizeux
Sébastien Gruat
1. Effectuer un bilan des forces sur l’atome d’oxygène (on négligera le
poids). Établir l’équation différentielle de son mouvement.
2. Effectuer un bilan des forces sur l’atome de carbone (on négligera le
poids). Établir l’équation différentielle de son mouvement.
3. Ces deux équations sont couplées : le mouvement d’un atome dépend
du mouvement de l’autre. On introduit deux fonctions : 𝑠 = 𝑚1 𝑥1 +
𝑚2 𝑥2 et 𝑑 = 𝑥1 − 𝑥2 . Quelles sont les équations différentielles
satisfaites par 𝑠 et 𝑑 ? Sont-elles couplées ?
4. Quelle est la forme des solutions correspondantes ?
5. Calculer les fréquences caractéristiques des molécules 𝐶𝑂 et 13𝐶𝑂 .
Sachant que la résolution spectrale en spectroscopie infrarouge est de
l’ordre de 1011 𝐻𝑧, peut on séparer les fréquences de vibration.
6. Donner les expressions de 𝑥1 et 𝑥2 .
7. Quelle est la période des oscillations ? Dans le cas où l’une des deux
molécules est beaucoup plus lourde que l’autre, quel résultat retrouvet-on ?
TD - Oscillateur harmonique