M7. Exercices.

PCSI.
M7. Exercices.
Oscillateur harmonique.
Oscillateur amorti.
M7.1. Composition des raideurs de ressorts.
On considère deux ressorts de même longueur l et de raideurs différentes K 1 et K2.
1. Les ressorts sont placés verticalement en parallèle. L’extrémité supérieure est fixe et l'autre
porte une masselotte de masse m. Trouver l'expression de la pulsation de l'oscillateur ainsi
formé. Conclure.
2. Même question lorsque les ressorts sont placés en série. Conclure.
M7.2. Détermination d'un coefficient de viscosité.
Une sphère de rayon r et de masse m est suspendue à un ressort de raideur k et de longueur à
vide lo. Déplacée dans un liquide de coefficient de viscosité , la sphère est soumise à une force de
frottement donnée par la formule de STOKES :
F =- 6rv
où F est la vitesse de la sphère.
1. Ecrire l'équation du mouvement de la sphère plongée dans le liquide et en déduire
l'expression de la pseudopériode T.
2. Dans l'air, où les frottements fluides sont négligeables, la période des oscillations est To.
Déterminer le coefficient de viscosité  du liquide en fonction de m, r, T et To.
M7.3. Gravimètre à ressort.
Un gravimètre à ressort est constitué d'une tige OB de masse négligeable pouvant tourner autour
d'un axe horizontal (O; ex) et supportant en B une masse ponctuelle m. Sous l'action du ressort AB,
de raideur k et de longueur à vide lo , la tige est horizontale à l'équilibre. On pose OA = a, OB = b ,
AB = l et  = (ey, OB) l'élongation angulaire de la tige OB.
1. Calculer la longueur leq du ressort à l'équilibre. A quelle condition cet équilibre existe-t-il?
2. Déterminer la période To des petites oscillations de ce pendule. Que se passe-t-il lorsque
ka est voisin de mg ?
M7.4. Petites oscillations au voisinage d'une position d'équilibre.
On considère un élastique E de raideur k et de longueur au repos l o ainsi qu'une particule M de
masse m.
1. M étant accroché à E, déterminer l'allongement a de E ainsi que la pulsation o des
oscillations verticales de M autour de sa position d'équilibre.
2. On réalise un quart de circonférence de centre 0 et de rayon a. E, accroché en A, passe en
B dans un petit anneau. AB = lo. M coulisse sans frottement sur le cercle. Etablir l'équation
différentielle du mouvement de M. Calculer  valeur de  pour laquelle M est en équilibre.
Etudier les petites oscillations de M au voisinage de cette position d'équilibre, calculer leur
pulsation .
M7.5. Oscillateur harmonique plan.
Un point matériel M de masse m est lié aux quatre points fixes A 1, A'1, A2 et A’2 d'un plan
horizontal, par l'intermédiaire de quatre ressorts de même longueur propre a . On note k1 la raideur
des ressorts MA1 , MA’1 et k2 celle des ressorts MA2, MA’2.
1. Le point M(x, y) étant au voisinage de l'origine 0, calculer son énergie potentielle Ep.
2. En déduire la force f appliquée au point M. La force est-elle centrale ?
3. En admettant que le point M glisse sans frottement sur le plan horizontal, étudier son
mouvement sachant qu'il a été lancé en Mo(xo, 0) avec une vitesse vo = voey.
4. Décrire la trajectoire de M dans le cas où k2 = 9 k1.