Chapitre A Généralités sur les fonctions Sommaire I) II) III) IV) A.LAMIDIAUX Vocabulaire . . . . . . . Courbe représentative . Variation d’une fonction Signe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5 6 IUT GEA Amiens Vocabulaire I) Généralités sur les fonctions Vocabulaire Fonction, Image, Antécédents: Une fonction est un procédé qui à un nombre x appartenant à un ensemble D associe un nombre y. f On note : x 7→ y ou encore f : x 7→ y ou encore y = f (x). On dit que y est l’image de x par la fonction f et que x est un antécédent de y par la fonction f . Exemple: Soit g la fonction définie par g(x) = x2 + 3. • L’image de 5 est g(5) = 52 + 3 = 28, • Les antécédents de 7 vérifient g(x) = 7 c’est à dire x2 + 3 = 7 soit x = −2 ou x = 2, • Il n’y a pas d’antécédent de 1 car l’équation g(x) = 1 n’a pas de solution : x2 + 3 = 1 ⇐⇒ x2 = −2. Ensemble de définition: Pour une fonction f donnée, l’ensemble de tous les nombres réels qui ont une image calculable par cette fonction est appelé ensemble de définition de la fonction f , que l’on notera Df . Exemple: 1 a pour ensemble de définition ] − ∞; 2 [ ∪] 2; +∞[. 2x − 4 1 n’a de sens que pour les valeurs de x telles que 2x − 4 6= 0 (car le • En effet, l’expression 2x − 4 dénominateur d’une fraction ne peut être égal à 0), c’est-à-dire pour x 6= 2, La fonction f : x 7→ • On dira aussi que 2 est une valeur interdite pour la fonction f . Graphiquement, l’ensemble de définition est l’intervalle ou la réunion d’intervalles sur lequel la courbe existe. II) Courbe représentative Dans tout le reste du chapitre, on munit le plan d’un repère (O;~i,~j). Tableau de valeurs: Pour une fonction f , donnée on peut établir un tableau de valeurs. Dans ce tableau, la première ligne contient des nombres réels x, et la seconde ligne contient leurs images respectives y. Exemple: Soit la fonction f définie sur R∗ par f (x) = x + calculatrice) : x f (x) A.LAMIDIAUX −4 −4,5 −3 −3,7 2 , on obtient le tableau suivant (grâce par exemple à une x −2 −3 2 −1 −3 0 ✟ ✟ 1 3 2 3 3 3,7 IUT GEA Amiens Courbe représentative Généralités sur les fonctions Courbe représentative d’une fonction: Dans un tel repère l’ensemble des points M courbe représentative de la fonction f , souvent notée Cf . de coordonnées (x; f (x)) forme la Méthode pratique : Méthode pour tracer une courbe à partir d’une expression : On souhaite tracer la courbe représentative de 5x la fonction f définie sur R par : f (x) = 2 . x +1 On trace la portion de courbe représentative de f dont les abscisses sont comprises entre −3 et 2. ➔ On commence par compléter un tableau de valeurs : −3 −1,5 x f (x) −2,5 −1,7 −2 −2 −1,5 −2,3 −1 −2,5 −0,5 −2 0 0 0,5 2 1 2,5 1,5 2,3 2 2 ➔ Puis on place les points M (x; f (x)) dans le repère ci-dessous : 3 2 Cf 1 −3 −2 −1 −1 1 Le point de coordonnées (10; 0,5) n’est pas sur la courbe représentative de la fonction f car f (10) = 0,495 6= 0,5. 2 −2 −3 Exercice A1 On considère la fonction f définie sur l’intervalle [−4; 4] par f : x 7→ x2 − 5x + 2. 1. Calculer f (3) et f (−2). 1 2. Calculer f . 3 3. Recopier et complétez ce tableau de valeurs. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f (x) 4. Tracer dans un repère, la courbe représentant Cf . Unité : en abscisse : 2 cm pour 1 unité, en ordonnée : 1 cm pour 4 unités. √ 2+1 ? 5. Quelle est la valeur exacte de f A.LAMIDIAUX 3 IUT GEA Amiens Courbe représentative Généralités sur les fonctions Méthode pratique : Méthode pour lire une image Lire l’image d’un nombre : ou un antécédent à partir d’une courbe Trouver l’(les)antécédent(s) d’un nombre 2 2 1 1 −1 −1 1 2 3 4 1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 on place x sur l’axe des abscisses on se déplace verticalement pour rencontrer Cf on lit f (x) sur l’axe des ordonnées 2 3 : 4 on trace une horizontale passant par cette valeur à partir des points d’intersection, on se déplace verticalement vers l’axe des abscisses pour lire les antécédents L’image de 1 par f est −2. Les antécédents de 1 par f sont 0 et 4. Exercice A2 Le graphique suivant représente une fonction f . Répondre graphiquement aux questions suivantes : 1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ? 2. Quelle est l’image de 2 ? 3. Quels sont les éventuels antécédents de 2 ? 4. Pour quelles valeurs de x a-t-on f (x) > 4,5 ? 5. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle peut correspondre à la courbe donnée ? (a) f (x) = −x + 4.5 18 (b) f (x) = x+4 x2 − x + 4.5 (c) f (x) = 10 J O I Exercice A3 Soit f la fonction définie pour tous les nombres réels x par f (x) = x2 − 2 √ 1. Calculer f (−4) et f ( 2). 2. Calculer, s’ils existent, les antécédents de 2. 3. On note Cf la représentation graphique de f .Le point B(−4; −18) est-il un point de Cf ? Justifier. 1 4. Quelle est l’ordonnée du point C de Cf d’abscisse − ? Justifier. 2 A.LAMIDIAUX 4 IUT GEA Amiens Variation d’une fonction III) Généralités sur les fonctions Variation d’une fonction Fonction croissante et décroissante: • On dit que la fonction f est croissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x1 et x2 dans I tels que x1 ≤ x2 , on a f (x1 ) ≤ f (x2 ). Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans le même ordre que x1 et x2 . • On dit que la fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x1 et x2 dans I tels que x1 ≤ x2 , on a f (x1 ) ≥ f (x2 ). Autrement dit, les images de x1 et de x2 sont rangées dans l’ordre inverse de x1 et x2 . fonction croissante sur son ensemble de définition fonction décroissante sur son ensemble de définition Exercice A4 Par lecture graphique, donner les variations de cette fonction. 4 3 2 1 Cf −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 1 2 3 4 5 6 Tableau de variation: Généralement, on résume les résultats sur les variations d’une fonction dans un tableau de variations. Pour le fonction de l’exercice précédent, le tableau de variation serait : x -5 -3 2 4 5 4 7 0 f -1 A.LAMIDIAUX -2 5 IUT GEA Amiens Signe d’une fonction Généralités sur les fonctions Maximum, minimum: On dit que la fonction f admet un maximum M [resp. minimum m] sur un intervalle I, atteint en x0 si, quel que soit le réel x dans I, on a f (x) ≤ f (x0 ) = M [resp. f (x) ≥ f (x0 ) = m]. Exemple: Sur l’exemple précédent, ➔ Le maximum de f sur [−5; 7] est M = 4, atteint pour x = −5 et x = 2. ➔ Le minimum de f sur [−5; 7] est m = −2, atteint pour x = 5. Remarque: Attention, la valeur d’un extremum dépend de l’intervalle ! Par exemple, le minimum de f sur [−5; 2] est m = −1, atteint pour x = −3. Exercice A5 On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction f définie sur [−5; 7]. x variations de f −5 −1 3 4 −2 7 2 −1 1. Décrire les variations de la fonction f . 2. Comparer en justifiant f (0) et f (2). 3. Quel est le minimum de la fonction f sur [−1; 7] ? Où est-il atteint ? 4. Dessiner une courbe possible pour cette fonction. Exercice A6 Soit f la fonction définie sur [ - 2 ; 5 ] par : f (x) = −x2 + 2x + 3 1 1. Calculer l’image de 0 , l’image de 3 et l’image de par la fonction f . 3 2. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 3 par f . 3. Au vu de la calculatrice : (a) Conjecturer le (ou les) antécédent(s) de 1 3 par f , en donner des valeurs approchées. (b) Conjecturer le tableau de variations de f . 4. (a) Développer 4 − (x − 1)2 (b) En déduire le (ou les) antécédent (s) de 0 par f . (c) Prouver que la fonction f admet un maximum en 1 valant 4 . IV) Signe d’une fonction tableau de signes: On réuni au sein d’un tableau appelé tableau de signes les informations concernant le signe de la fonction f , c’est à dire sa position par rapport à l’axe des abscisses A.LAMIDIAUX 6 IUT GEA Amiens Signe d’une fonction Généralités sur les fonctions Le tableau de signes de la fonction f est : x f (x) A.LAMIDIAUX -5 -4 + 0 -1 − 0 7 4 + 0 7 − 0 IUT GEA Amiens