1L1 Option Mathématiques Devoir Maison n°2 pour le mardi 7 novembre Exercice 1 Une nouvelle notation L'entier 1*2*3*4*... * n s'écrit n! et se lit « factorielle n ». a) À quelle puissance figure le nombre 2 dans la décomposition en produits de facteurs premiers de (10 !) ? de (100 !) ? b) Par combien de zéros se termine (10 !) ? et (100 !) ? Exercice 2 Nombres premiers jumeaux Deux nombres premiers sont dits «jumeaux » s'ils diffèrent seulement de deux unités : 11 et 13 sont des nombres premiers jumeaux. a) Donner au moins trois autres exemples de nombres premiers jumeaux. b) Si le couple (n, n +2) est constitué de nombres premiers jumeaux, montrer que nécessairement n a pour reste 2 dans la division par 3. c) Montrer que, toujours dans ce cas, n + 4 est nécessairement divisible par 3. d) Quels sont alors tous les diviseurs de n2 + 2n ? Exercice 3 Impossible problème Alice a trois enfants et rencontre Bob, qu'elle n'a plus revu depuis longtemps. Il lui demande l'âge de ses enfants, et elle, facétieuse, lui répond par une petite énigme : - Le produit de leurs âges est 72 ; - Cela ne me suffit pas, dit-il... − La somme de leurs âges est exactement le numéro de la maison qui est là devant toi; − Cela ne me suffit toujours pas, répond-il ; − Mon aînée a peur des chiens ; - Alors je connais leurs trois âges, dit Bob. Saurez-vous, vous aussi, les trouver? Exercice 4 Des diviseurs en nombre… On rappelle la propriété suivante: N étant un entier dont l’écriture en produit de facteurs premiers est N=p1a *p2b *p3c *… alors le nombre des diviseurs de N est (a+1)*(b+1)*(c+1)… Par exemple, N=1400=23*52*7 possède (3+1)*(2+1)*(1+1)=24 diviseurs. En utilisant ce résultat, trouver un entier N sachant que: − N=2p *3q − le nombre 12N possède deux fois plus de diviseurs que N. O. WALTER http://www.chantematique.fr