Fonctions et continuité

La courbe représentative de la fonction
translation de vecteur
kT ⋅ i
,
f est alors invariante par
k ∈Z
III. Changement de repère
Dans le repère ( O , i , j ) , M un point quelconque du plan, a pour
coordonnées ( x ; y ) .
Soit Ω un point du plan de coordonnées ( λ ; µ ) dans ce repère.
VI. Fonctions continues
• Dire que f est continue au point a, c’est dire que f est définie
sur un intervalle ouvert contenant a et qu’elle admet une limite en
ce point qui est f(a) :
lim f ( x ) = f ( a )
x→ a
• On dit qu’une fonction f est continue sur R ou sur un intervalle I
ouvert de R si elle est continue en tout point de R ou de I .
•
La relation de Chasles OM = O Ω + Ω M permet d’écrire :
VII. Continuité et opérations
Dans le repère ( Ω , i , j ) , M a pour coordonnées
{xy == λµ ++ XY
La courbe
C
d’équation
y = f (x )
( X ;Y ) .
.
dans le repère ( O , i , j ) a
•
•
pour équation dans le repère ( Ω , i , j ) :
• Y = f (λ + X ) − µ
•
IV. Composition
Soient D, E et F trois sous-ensembles de R.
Les fonctions polynômes, la fonction sinus, la fonction cosinus
sont continues sur R. La fonction racine carrée est continue sur
[0 ; +∝[.
Un fonction rationnelle est continue sur chacun des intervalles où
elle est définie.
Si f et g sont continues sur I, alors f+g, f x g , fn (n entier naturel
non nul) sont continues sur I. De même, f / g est continue sur
chacun des intervalles où elle est définie.
Composée :
Si f est continue en a et si la fonction g est continue en f(a) alors
la composée g o f est continue en a.
Définition : pour tout réel x , il existe un unique entier n tel que
n ≤ x < n+1. On appelle fonction partie entière la fonction notée E,
qui à x de [n ; n+1[ associe l’entier n : E(x)=n.
f par g la fonction définie sur
D, à valeurs dans F. On note : g o f = g ( f ( x )) .
VIII.
f est une fonction définie sur D, à valeurs dans E.
g est une fonction définie sur E, à valeurs dans F.
On appelle fonction composée de
V. Maximum, minimum
Soit f une fonction définie sur un ensemble D, une partie de R.
Soit a un réel tel que : a ∈ D .
La fonction partie entière
Cette fonction est une fonction en escalier .
E (3,6)=3
E (-0,4)=-1
On dit que la fonction f présente un maximum en a ,lorsque l’on
f ( x ) ≤ f (a ) .
a : ∀x ∈ D ,
f présente un minimum en a ,lorsque l’on
∀ x ∈ D , f ( x ) ≥ f (a ) .
• On dit que la fonction
a:
∀x ∈ D f ,
et
x + T ∈ Df
f ( x + T ) = f ( x) .
Soit T un réel non nul. Une fonction f , dont l’ensemble de
définition est D f , est périodique de période T si et seulement si :
Fonction périodique
!"
MemoPage.com © / 08-2002 / ISSN : 1762 – 5920
Auteur : Nicolas Montétagaud / Expert : C. V.
L’origine du repère est alors un centre de symétrie de la courbe
représentative de f .
f , dont l’ensemble de définition est D f , est impaire
si et seulement si : ∀ x ∈ D f , − x ∈ D f
et f (−x) = − f ( x) .
Une fonction
Fonction impaire
!"
symétrie de la courbe représentative de
f.
si et seulement si : ∀ x ∈ D f , − x∈ D f et f (−x) = f ( x) .
En repère orthogonal, l’axe des ordonnées est alors axe de
Fonction paire
!"
Une fonction f , dont l’ensemble de définition est D f , est paire
II. Parité et périodicité
f est
( x ; f ( x )) . La courbe
obtenue est la représentation graphique de f .
l’ensemble des points de coordonnées
• On munit le plan d’un repère ( O , i , j ) , le graphe de
éléments de R ayant une image par f .
• Une application est une fonction dont l’ensemble de définition
coïncide avec l’ensemble de départ.
• L’ensemble de définition d’une fonction
f est l’ensemble des
• Les fonctions numériques à variable réelle sont des fonctions
dont les ensembles de départ et d’arrivée sont des parties de R.
I. Définitions
Fonctions et
continuité