L2-M31 Analyse Université d’Évry TD 1 - Bornes sup et inf Exercice 1. Pour chaque question, repondre par ”vrai” ou ”faux” et justifier la reponse. Dans la suite A est une partie de R. 1) Toute partie non vide majoré de Q admet un maximum, Faux. On peut prendre comme contre-exemple A = {x ∈ Q|x < 0}. A admet alors pour borne supérieure 0 qui n’appartient pas à A. 2) Toute partie non vide majoré de R admet un maximum, Faux. On peut encore prendre comme contre-exemple A = {x ∈ Q|x < 0}. A admet alors pour borne supérieure 0 qui n’appartient pas à A. 3) L’ensemble Q vérifie l’axiome de la borne supérieure, √ Faux. On peut prendre comme contre-exemple A = {x ∈ Q|x < 2}. On raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe x ∈ Q, borne supérieure de A. √ Comme Q est dense dans R, on sait qu’il existe x̃ ∈ Q tel que 2 < x̃ < x. Alors, x̃ majore A et est strictement inférieur à x, ce qui contredit le fait que x soit une borne supérieure de A. √ Remarque : A admet pour borne supérieure dans R le réel 2 qui n’appartient pas à Q. 4) Toute partie non vide majoré de R admet une borne supérieure, Vrai. C’est l’axiome de la borne supérieure. 5) Si une partie de R admet un maximum, sa borne supérieure est égale à ce maximum, Vrai. Notons A cette partie. Le maximum de A est un majorant de A qui appartient à A. La borne supérieure est le plus petit des majorants de A. Nous avons donc par définition de la borne supérieure sup A ≤ max A. D’autre part, nous avons max A ∈ A et sup A est un majorant de A. Donc, en particulier, max A ≤ sup A. Nous avons donc sup A = max A. 6) A est minorée si et seulement si ∀x ∈ A, ∃m ∈ R, m ≤ x, Faux. On peut prendre comme contre-exemple A =] − ∞, 0]. Pour tout x ∈ A, on a bien l’existence de m ∈ R tel que m ≤ x. Mais A n’est pas minorée. A est minorée ssi ∃m ∈ R, ∀x ∈ A, m ≤ x. 7) Si ∃M ∈ R, ∀x ∈ A, x ≤ M alors A est bornée, Faux. On peut prendre comme contre-exemple A =] − ∞, 0]. Par contre, si ∃M ∈ R, ∀x ∈ A, |x| ≤ M alors A est bornée. 2 8) La somme de deux nombres rationnels est un rationnel, Vrai. Soit (x1 , x2 ) ∈ Q. Il existe (p1 , q1 ) et (p2 , q2 ) des éléments de Z × N∗ tels que x1 = 2 q1 ∈ Q. et x2 = pq22 . Alors x1 + x2 = p1 qq21+p q2 Autre justification : Q est un corps. C’est donc un groupe pour l’addition. 9) La somme de deux nombres irrationnels est un irrationnel, p1 q1 √ √ Faux. On peut prendre comme contre exemple x1 = 2 et x2 = 1 − 2. x1 + x2 = 1 ∈ Q. 10) Le produit de deux nombres rationnels est un rationnel, Vrai. x1 x2 = pq11 pq22 ∈ Q. Autre justification : Q est un corps. Q (privé de 0) est donc un groupe pour la multiplication. 11) Le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel, √ Faux. On peut prendre x1 = x2 = 2. On a alors x1 x2 = 2 ∈ Q. 12) Soit x ∈ R∗ . Si x ∈ R \ Q alors x−1 ∈ R \ Q, Vrai. Raisonnons par contraposée. Soit x−1 ∈ Q. ∃(p, q) ∈ Z∗ × N∗ tels que x−1 = pq . Alors x = pq ∈ Q. 13) Pour n ∈ N∗ on pose In = 1 − n1 , 1 . Il existe x ∈ R vérifiant ∀n ∈ N∗ , x ∈ In . Nous raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe x ∈ R tel que x ∈ In pour tout n ∈ N. Nous savons alors que x < 1 (puisque en particulier x est dans I1 =]0, 1[). On note alors ε = 1 − x. Comme 1 − 1/n −→ 1, il existe N ∈ N (suffisamment grand) tel que pour tout n→+∞ n ≥ N , on a 1 − 1/n > 1 − ε/2 > x. En particulier, x ∈ / IN , ce qui est absurde. 14) Soit x ∈ R+ vérifiant ∀ > 0, x < . Alors x = 0. Comme x ∈ R+ , x ≥ 0. Supposons que x > 0. Alors, en notant ε = x2 , on a 0 < ε < x, ce qui est absurde. Donc x = 0. 15) Si B ⊂ A, alors sup B ≤ sup A. Vrai. Comme B ⊂ A, un majorant de A est aussi un majorant de B. Ainsi, sup A majore B. Comme sup B est le plus petit des majorants de B, on a sup B ≤ sup A. Exercice 2. Que valent le minimum, le maximum (s’ils existent), la borne supérieure et la borne inférieure dans R des ensembles suivants ? A= (−1)n ∗ :n∈N , n B = {log n : n ∈ N∗ } , C = {1 − 2x : x ∈ [3, 5[}, 3 D= 1 ∗ (−1) + : n ∈ N , n n E= n− n+ 1 n 1 n ; n∈N min max inf A B C D E F -1 0 / / 0 0 1 2 / −5 3 2 / / ∗ , F = n ; (n, m) ∈ N × N . nm + 1 sup 1 −1 2 0 +∞ −9 −5 3 −1 2 0 1 0 +∞ Exercice 3. a) Caractériser les éléments des intervalles [1, 7] et ] − 5; 4[ à l’aide d’une inégalité utilisant une valeur absolue. b−a a+b b−a x − a+b < |a−b| }. On utilise la formule générale [a, b] = [ a+b − , + ] = {x ∈ R| 2 2 2 2 2 2 [1, 7] = {x∈ R||x − 4| ≤ 3} [−5, 4] = x ∈ R||x + 12 | ≤ 92 b) En interprétant la valeur absolue comme une distance résoudre, sans passer par un tableau de signe, les inéquations |x − 5| ≤ 9, |x + 5| > 3, |6 − x| < 1, |2x + 3| > 2, |x2 − 6x + 8| ≤ 2. |x − 5| ≤ 9 ssi x ∈ [−4, 14], |x + 5| > 3 ssi x ∈ R \ [−8, −2], |6 − x| < 1 ssi x ∈]5, 7[. |2x + 3| > 2 ssi x ∈ R \ [− 25 , − 12 ]. |x2 − 6x + 8| ≤ 2 ssi −10 ≤ x2√− 6x ≤√6. Or x2 − 6x ≥ −9 > −10 pour tout √ x ∈ R.√De 6−2 3 6+2 3 6−2 3 6+2 3 2 2 plus, x − 6x + 6 ≤ 0 ssi x ∈ [ 2 , [ 2 ]. Ainsi |x − 6x + 8| ≤ 2 ssi x ∈ [ 2 , 2 ]. c) En utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer les inégalités x + 2 + 3 ≤ 7, ∀x ∈ [1, 2], x On a x + x2 +3 ≤ |x| + | x2 | + |3|. Or, pour tout x ∈ [1, 2], on a |x| ≤ 2 et | x2 | ≤ 2. Ainsi, x + x2 + 3 ≤ 7. |x + sin x − x2 | ≤ 3, ∀x ∈ [−1, 1], On a |x + sin x − x2 | ≤ |x| + | sin x| + |x2 |. Or, pour tout x ∈ [−1, 1], on a |x| ≤ 1, | sin x| ≤ 1 et |x2 | ≤ 1. Ainsi, |x + sin x − x2 | ≤ 3. n X k (−1) k(sin k + cos k) ≤ n(n + 1), ∀n ∈ N. k=1 On a 4 n n X X k (−1)k k(sin k + cos k) (−1) k(sin k + cos k) ≤ k=1 k=1 n n X X k ≤ (−1) |k| |(sin k + cos k)| ≤ 2 k = n(n + 1). k=1 k=1