1 Quantificateurs et logique 2 Bornes supérieures

Département de Mathématiques.
Licence de Mathématiques.
Année L2- Mathématiques Mass.
Feuille de TD n0 4 : Quantificateurs, bornes sup, limites de suites.
1
Quantificateurs et logique
√
Exercice 1. Montrer que 2 ∈
/ Q. Indication : raisonner par l’absurde avec une fraction irréductible, et
utiliser le Lemme de Gauss : si pgcd(a, b) = 1 alors a | bc ⇒ a | c.
Exercice 2. Dire si les propositions suivantes sont vraies. Lorsqu’elles ne le sont pas, on démontrera leur
négation.
1. ∀x ∈ R, x ≥ 2.
2. ∃x ∈ Q, x ≥ 2.
3. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x ≥ y.
4. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x ≥ y.
5. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x ≥ y.
6. ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x ≥ y.
7. ∀x ∈]1, 3[, ∃y ∈]2, 4[, y > x.
8. ∃x ∈]1, 3[, ∀y ∈]2, 4[, y > x.
9. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, y ≥ ex .
10. ∀x ∈ R, x ≤ −2 ⇒ x4 ≥ 5.
11. ∀x ∈ Q, x2 ≤ 2 ⇒ x2 < 2.
12. ∀x ∈ R, x2 ≤ 2 ⇒ x2 < 2.
13. ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, a < b ⇒ ]a, b[∩Q ̸= ∅.
Exercice 3.
1. Montrer que
∀x ∈ [1, +∞[, ∀n ∈ N, xn ≥ 1 + n(x − 1) .
On pourra faire une récurrence ou encore faire une preuve directe, en utilisant la formule du binôme.
2. En déduire
2
∀a ∈]0, 1[, ∃n ∈ N, an < 10−10 .
Bornes supérieures
Exercice 4.
1. Les ensembles suivants possèdent-ils un maximum ?
√
√
√
A =]1, 3[, B = {x ∈ Z | x2 ≤ x 5}, C = {x ∈ Q | x2 ≤ x 5}, D = {x ∈ R | x2 ≤ x 5} .
2. Soit A ⊂ R un ensemble possédant un maximum M . Montrer que sup(A) = M .
Exercice 5. Les ensembles suivants possèdent-ils un maximum ?
}
{
{
}
1
1
n
∗
B := (−1) −
A := 1 − | n ∈ N ,
|n∈N .
n
n+1
Montrer que les deux ensembles précédents possèdent une borne supérieure puis la calculer.
Exercice 6. Soient A, B ⊂ R deux sous-ensembles non vides bornées tels que A ⊂ B.
1. Comparer les bornes inférieures et supérieures de A avec celles de B.
2. On définit
A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B} .
Montrer que sup(A + B) = sup(A) + sup(B).
1
Exercice 7. Pour chacun des ensembles suivants, lorsque cela est possible, donner un majorant, puis
déterminer l’ensemble de tous les majorants et donner la borne supérieure.
– A =]1, 2].
– B =]0, 7[.
– C = {x ∈ R | x3 ≤ x}.
– D = {x ∈ [0, 2π[| 4 sin2 x ≤ 3}.
– E = {x ∈] − 3, +∞[| ln(x + 3) ≥ x − 3}.
– F = {x ∈ R | x ≥ sin x}.
– G = {x < 0 | 4 + x1 < 0}.
– H = {2 − x2 | x ∈ R}.
– I = {4 + x1 | x < 0}.
– J = {5x − x2 + 54 | x ∈ R}.
– K = {xe−x | x ∈ [0, ∞[}.
– L = {x ln x1 | x ∈]0, 1[}.
– M = {1 − e−x | x ∈]0, +∞[}.
Exercice 8. Après avoir justifier leurs existences, déterminer les bornes supérieures des ensembles suivants.
√
√
A := {x2 | x ∈]0, 2[∩Z}, B := {x2 | x ∈]0, 2[∩Q} .
3
Limites de suites
Exercice 9. Considérons une suite (un ) de nombres réels.
1. Supposons lim un = +∞. L’ensemble {un | n ∈ N} est-il majoré ?
2. On suppose que l’ensemble {un | n ≥ 0} n’est pas majoré. A-t-on alors nécessairement lim un = +∞ ?
Exercice 10. On dit qu’une suite (un ) de nombres réels converge vers le réel l lorsque
∀ε > 0,
∃N ∈ N,
∀n ≥ N,
|un − l| ≤ ε.
Montrer, en utilisant la définition, que les suites (un ) suivantes convergent vers l avec
1. un =
1
n,
l = 0.
2. un = (3 + n1 )2 , l = 9.
√
n
3. un = 4 + (−1)
3n , l = 2.
Exercice 11. Rappelons que l’ensemble Q est dense dans R : ∀a, b ∈ R, avec a < b, il existe c ∈ Q, avec
a < c < b.
1. Soit x ∈ R. Montrer qu’il existe une suite (un ) ∈ Q qui converge vers x.
2. Soit f := R → R une fonction continue telle que f (x + y) = f (x) + f (y), pour tout x, y ∈ R. Montrer
qu’il existe λ ∈ R tel que f (x) = λ × x, pour tout x ∈ R. Indication : on démontrera que l’égalité
précédente est vérifiée sur N, Z puis Q avant de la prouver sur tout R.
Exercice 12. Déterminer, après avoir justifier l’existence, les bornes supérieures des ensembles suivants.
{(
}
}
)n+m
{
n+m+1
1
∗
∗
B :=
A := n sin | n ∈ N
| n, m ∈ N
.
n
m+n
Exercice 13. Soit A ⊂ R une partie non-vide et majorée. Montrer qu’il existe une suite (un ) d’éléments de
A qui converge vers sup(A). Enoncer une propriété analogue pour la borne inférieure d’un ensemble.
Exercice 14. Soit (un ) une suite de nombres réels convergeant vers l ∈ R. Les phrases suivantes sont-elles
vraies ? Justifier.
1. Si pour tout n ∈ N, un ≥ 0, alors l ≥ 0.
2. Si pour tout n ∈ N, un > 0, alors l > 0.
3. Si pour tout n ∈ N, un ∈ Q, alors l ∈ Q.
4. Si pour tout n ∈ N, un ∈ Z, alors l ∈ Z.
2
Problème. On considère la fonction f définie par :
f : R → R : x 7→ x3 − 3x2 − 1 .
1. Montrer que la restriction de f à ]2, +∞[ est strictement croissante.
2. On note E := {x ∈ R | f (x) ≤ 0}. Justifier l’existence de M := sup(E) et montrer que 3 ≤ M ≤ 4.
3. L’ensemble E admet-il une borne inférieure ?
4. – Trouver une fonction polynôme Q (dont les coefficients dépendent de M ) telle que
∀h ∈ R, f (M + h) − f (M ) = h × Q(h) .
– En utilisant l’inégalité précédente, trouver une constante λ > 0 telle que
∀h ∈ R, 0 ≤ h ≤ 1 ⇒ f (M + h) ≤ f (M ) + λ × h .
– En déduire que f (M ) ≥ 0.
5. Question plus difficile. En adaptant le raisonnement précédent, montrer que l’on peut trouver une
constante µ > 0 telle que
∀h ∈ R, 0 ≤ h ≤ 1 ⇒ f (M − h) ≥ f (M )µ × h .
En déduire que f (M ) = 0.
3