Fiche 21 : Nombres irrationnels.

Sup MPSI, Lycée Jean Perrin, 3 Novembre 2015.
Fiche 21 : Nombres irrationnels.
Exercice 1
Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le
plus petit élément des ensembles suivants :
1
∗
n
[0, 1] ∩ Q , ]0, 1[∩Q , N ,
(−1) + 2 | n ∈ N .
n
Exercice 2
On fixe n ∈ N∗ ,
1. Montrer que si 1 ≤ k ≤ n :
n ≤ k(n + 1 − k) ≤
2. En déduire :
nn ≤ (n!)2 ≤
n+1
2
2n
et
n+1
2
√
√
n
n ≤ n! ≤
Exercice 3
Soit n ∈ N.
1. Montrer qu’il existe an et bn entiers, uniques, tel que :
√
√
(1 + 2)n = an + bn 2
√
√
(1 − 2)n = an − bn 2
2. Montrer que pour tout n ∈ N :
a2n − 2b2n = (−1)n
√ 3. En déduire la valeur de (1 + 2)n en fonction de an .
Exercice 4
Montrer que
ln 3
ln 2
est irrationnel.
Exercice 5
Montrer que les nombres
√
2+
√
√
√
√
3 et 2 + 3 + 5 sont irrationnels.
1
2
n+1
2