1 lois de composition internes 2 structure de groupe

STRUCTURES DE GROUPE ET D’ANNEAU
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
LOIS
DE COMPOSITION INTERNES
————————————–
9
Pour tout (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1], on pose :
1
x ⋆ y = x + y − x y.
1) Montrer que [0, 1], ⋆ est un magma commutatif et associatif.
2) Montrer que [0, 1], ⋆ possède un élément neutre.
3) Quels sont les éléments inversibles de [0, 1], ⋆ ?
σ(n − k + 1) = n − σ(k) + 1.
Montrer que G est un sous-groupe de S¹1,nº .
————————————–
¦
©
On introduit six fonctions de R \ 0, 1 dans R
10
¦
©
définies pour tout x ∈ R \ 0, 1 par :
————————————–
2
Soient E un ensemble et ´ une relation d’ordre
totale sur E.
¦
©
1) Pour tous x, y ∈ E, justifier l’existence de max x, y .
2) Montrer que le magma (E, max) est associatif et
commutatif.
3) A quelle condition nécessaire et suffisante (E, max)
possède-t-il un élément neutre ?
4) Si (E, max) possède un élément neutre, quels sont
ses éléments inversibles ?
a(x) = x,
4
11
Soit G un groupe.
1) Soit (H i )i∈I une famille de sous-groupes\
de G inH i est
dexée par un ensemble I . Montrer que
i∈I
un sous-groupe de G.
2) Soit x ∈ G. On appelle centralisateur de x dans
G, noté CG (x), l’ensemble des éléments de G qui
commutent à x. Montrer que CG (x) est un sousgroupe de G.
3) On appelle centre de G et on note Z(G) l’ensemble
des éléments de G qui commutent à TOUT élément de G. Montrer que Z(G) est un sous-groupe
de G.
DE GROUPE
Pour tous x, y ∈ ] − 1, 1[, on pose :
x⊕y=
x+y
.
1+ xy
1) Montrer que ⊕ est une loi
interne sur ] − 1, 1[.
2) Montrer que ]−1, 1[, ⊕ est un groupe commutatif.
————————————–
12
————————————–
5
Pous tous (x, y), (x ′ , y ′ ) ∈ R∗ × R, on pose :
(x, y) ⋆ (x ′ , y ′ ) = (x x ′ , x y ′ + y).
1) Montrer que R∗ ×R, ⋆ est un groupe. Ce groupe
est-il commutatif ?
2) Simplifier (x, y)n pour tous (x, y) ∈ R∗ × R et
n ∈ N.
Soit p ∈ N∗ fixé. Montrer que l’ensemble des e
(k, n) décrivant Z × N, est un sous-groupe de C∗ .
n∈N
————————————–
13
Soient G un groupe et H un sous-groupe
de
© G.
¦
1) Soit x ∈ G. On pose : x H x −1 = xhx −1
.
h∈H
Montrer que x H x −1
\est un sous-groupe de G.
2) On pose : H G =
x H x −1 . Montrer que H G
2ikπ
pn ,
x∈G
est un sous-groupe de G.
3) Montrer que pour tout x ∈ G :
————————————–
¦
©
Montrer que z ∈ C/ ∃ n ∈ N∗ / z n = 1 est un
7
sous-groupe de C∗ .
x H G x −1 = H G .
————————————–
14
————————————–
8
1) Trouver deux sous-groupes de R∗ dont la réunion
∗
N’est PAS un sous-groupe de R .
2) Soient G un groupe et (H n )n∈N une suite CROIS
[ Hn
SANTE de sous-groupes de G. Montrer que
est un sous-groupe de G.
————————————–
6
1
,
x
————————————–
————————————–
STRUCTURE
c(x) =
x
x −1
1
,
e(x) =
et
f (x) =
.
x −1
x
1− x
¦
©
Montrer que a, b, c, d, e, f est un sous-groupe de SR\{0,1}
dont on déterminera la table.
Soit E un ensemble à au moins trois éléments.
Montrer qu’alors S E est non commutatif.
2
b(x) = 1 − x,
d(x) =
————————————–
3
Soit n ∈ N∗ . On note G l’ensemble des permutations σ ∈ S¹1,nº telles que pour tout k ∈ ¹1, nº :
Montrer que l’ensemble des fonctions z 7−→ az+ b,
(a, b) décrivant C∗ × C, est un groupe pour la composition.
1
1)
Soient G un groupe commutatif fini de
cardinal n et g ∈ G.
a) Montrer que l’application x 7−→ g x est bijective de G sur G.
STRUCTURES DE GROUPE ET D’ANNEAU
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
b) Montrer, enY
calculant de deux manières le
(g x), que : g n = 1G . Ce
produit :
————————————–
x∈G
21
résultat est un cas particulier d’un théorème
essentiel — le théorème de Lagrange.
2)
Déterminer tous les sous-groupes finis
de C∗ .
On note C l’ensemble des matrices
Soit G un groupe.
On suppose que : x 2 = 1G pour tout
1)
x ∈ G. Montrer que G est commutatif.
2)
On suppose que : (x y)3 = x 3 y 3 pour
tous x, y ∈ G et tout élément de G peut être écrit
comme un cube.
a) Montrer que : x 3 y 2 = y 2 x 3 pour tous
x, y ∈ G.
b) En déduire que pour tout x ∈ G, x 2 commute
à tout élément de G.
c) En déduire que G est commutatif.
22
⇐⇒
∃ g ∈ G/
et ( f × g)(x) = f (x)g(x).
1) Montrer que RR , +, × est un anneau commutatif. Est-il intègre ?
2) Montrer que C (R,R) est un sous-anneau de RR .
3) Déterminer U RR .
————————————–
23
y = g −1 x g.
Montrer que ∼ est une relation d’équivalence sur G.
————————————–
3
STRUCTURE D’ANNEAU
24
1) On note A l’ensemble des rationnels
p
, (p, n)
2n
————————————–
25
————————————–
2)
anneau de C. Montrer que pour tout
z ∈ Z[i] :
|z|2 ∈ N, puis en déduire U Z[i] .
p ¦
p ©
2) a)
Montrer que Z i 2 = a +ib 2
3)
4)
5)
a,b∈Z
est un sous-anneau
€ pdeŠC.
b) Déterminer U Z i 2 .
20
Soit E un ensemble. Pour tous A, B ∈ P (E),
on appelle différence
de A et B, notée A Í B,
symétrique
l’ensemble A \ B ∪ B \ A .
1) Montrer que pour tous A, B ∈ P (E) :
est un sous-
a,b∈Z
corps.
————————————–
¦
p ©
p Montrer que Q 3 = a + b 3
(a, b) × (a′ , b′ ) = (aa′ , bb′ ).
1) Montrer que (A × B, +, ×) est un anneau.
2) Montrer que si A et B sont non nuls, alors A × B
n’est pas intègre.
décrivant Z × N.
a)
Montrer que A est un sous-anneau de Q.
Déterminer U(A).
b)
2) Mêmes questions avec l’ensemble D des décimaux.
¦
©
1) On rappelle que Z[i] = a+ib
Soient A et B deux anneaux. On pose pour tous
(a, b), (a′ , b′ ) ∈ A×B : (a, b)+(a′ , b′ ) = (a+a′ , b+ b′ )
et
————————————–
19
1) Montrer que Z est le seul sous-anneau de Z.
2) On s’intéresse à présent aux sous-groupes de Z.
Montrer que nZ est un sous-groupe de
a)
Z pour tout n ∈ N.
b) Montrer que tout sous-groupe de Z est de la
forme nZ pour un certain n ∈ N.
3) Soient a, b ∈ Z. Montrer que aZ+bZ est un sousgroupe de Z. En particulier : aZ + bZ = dZ
pour un certain d ∈ N d’après 2). Montrer qu’en
réalité : d = a ∧ b.
————————————–
On note A l’ensemble des matrices de la forme
17 λ 0‹
, λ décrivant R. Montrer que A est stable par dif0 0
férence et produit. L’ensemble A est-il un sous-anneau
de M2 (R) ?
18
On rappelle que pour tous f , g ∈ RR , les fonctions f + g et f × g sont définies pour tout x ∈ R par :
( f + g)(x) = f (x) + g(x)
Soit G un groupe. On définit une relation binaire
∼ sur G pour tous x, y ∈ G par :
x∼y
‹
−b
,a
a
————————————–
————————————–
16
a
b
et b décrivant K.
1) Montrer que C est un sous-anneau de M2 (K).
2) C est-il un corps ?
————————————–
15

A Í B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Montrer que P (E), Í, ∩ est un anneau commutatif.
Déterminer U P (E) .
L’anneau P (E), Í, ∩ est-il intègre ?
Soit F une partie de E. Montrer que P (F ) n’est
pas loin d’être un sous-anneau de P (E). Quelle
propriété lui manque-t-il ?
————————————–
a,b∈Q
est un
26
2
Soit A un anneau. Un élément x ∈ A est dit nilpotent
si : x n = 0A pour un certain n ∈ N∗ .
STRUCTURES DE GROUPE ET D’ANNEAU
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1) Si A est intègre, montrer que 0A est le seul élément nilpotent de A.
2) Montrer que la somme et le produit de deux éléments nilpotents de A QUI COMMUTENT sont encore nilpotents.
3) Pour tout x ∈ A nilpotent, montrer que 1A − x est
inversible et déterminer (1A − x)−1 .
————————————–
27
Soit A un anneau de Boole, i.e. un anneau non
nul tel que pour tout x ∈ A : x 2 = x.
1) a) Montrer que pour tous x, y ∈ A : 2x = 0A
et y x = −x y.
b) En déduire que A est commutatif.
2) Déterminer A dans le cas où A est intègre.
3) On définit une relation binaire ´ sur A en posant
pour tous x, y ∈ A : x ´ y ⇐⇒ y x = x.
Montrer que ´ est une relation d’ordre.
————————————–
28
Soit A un anneau.
On appelle centre de A et on note Z(A) l’en1)
semble des éléments de A qui commutent à TOUT
élément de A. Montrer que Z(A) est un sous-anneau
de A.
On suppose que : x 3 = x
pour
2)
tout x ∈ A.
a) Montrer que pour tous x, y ∈ A :
x y = 0A
=⇒
y x = 0A.
b) Soit x ∈ A tel que x 2 = x. Montrer que x ∈ Z(A)
en étudiant x( y − x y) pour tout y ∈ A.
c) Montrer que x 2 ∈ Z(A) pour tout x ∈ A.
d) Montrer enfin que A est commutatif.
On peut montrer plus généralement — mais c’est très
difficile — que si : ∀x ∈ A, ∃ n ¾ 2/ x n = x,
alors A est commutatif (théorème de Jacobson).
————————————–
4
29
ARITHMÉTIQUE
MODULAIRE
Résoudre les équations suivantes d’inconnue x ∈ Z :
Z
Z
, puis dans
.
1)
5x = 2 dans
7Z
10Z
Z
Z
x 2 = 3 dans
2)
, puis dans
.
5Z
11Z
Z
2
.
x + 3 x + 1 = 0 dans
3)
7Z
Z
Z
x 2 + x = 2 dans
4)
, puis dans
.
9Z
21Z
————————————–
30
Soitp ∈ ‹P. Effectuer le produit de tous les éléZ
ments de U
et en déduire le théorème de Wilson :
pZ
(p − 1)! ≡ −1 [p].
————————————–
3