1 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 Résumé de cours sur les structures algébriques Questions de cours 1. unicité du symétrique 2. L’ensemble Un des racines n-ièmes de l’unité est un sous-groupe de (C∗ , ×). 3. Si H est un sous-groupe de Z, il est de la forme aZ. 4. Si f est un morphisme, alors f (eG ) = eH 1 et ∀x ∈ G, f (x−1 ) = (f (x))−1 Notion de groupe 1. Notion de loi de composition interne (en abrégé LCI) 2. Définition de groupe Soit G un ensemble muni d’une LCI notée ∗. On dit que (G, ∗) est un groupe si : • la loi ∗ est asociative : ∀(x, y, z) ∈ G3 , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). • la loi ∗ admet un élément neutre : ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x. • tout élément x de G admet un symétrique pour la loi ∗ : ∃a ∈ G, x ∗ a = a ∗ x = e. Si la loi ∗ est commutative, on dit que le groupe G est commutatif. Groupes de références : • pour la loi + : (C, +), (R, +), (Z, +). L’élément neutre est 0. • pour la loi × : (C∗ , ×), (R∗ , ×), (U, ×). L’élément neutre est 1. • pour la loi ◦ : l’ensemble (SE , ◦) des bijections de E dans E est un groupe. L’élément neutre est l’application identité idE . • Le groupe (Z/4Z, +) des classes de congruence modulo 4 (programme SPE). CEX : L’ensemble (Z∗ , ×) n’est pas un groupe car 2 n’admet pas de symétrique puisque 1 2 ∈ / Z. Dans un groupe (G, ∗), l’élément neutre e et les symétriques sont uniques, si x ∈ G, on notera x−1 son symétrique. On a ∀(a, b) ∈ G2 , (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 . On prendra garde aux notations : loi ∗ × + a∗b a×b a+b neutre e 1 0 symétrique x−1 x−1 −x n-ième itéré a ∗ a ∗ · · · ∗ a = an a × a × · · · × a = an a + a + · · · + a = na 3. Sous-groupes Définition : Une partie H d’un groupe (G, ∗) est appelée sous-groupe de G si : • H contient le neutre e de G • H est stable par produit (loi ∗) et par passage au symétrique, ∀(x, y) ∈ H 2 , x ∗ y ∈ H et x−1 ∈ H. Remarquons que si la loi du groupe est noté +, la condition de stabilité s’écrit x − y ∈ G. Proposition : si H est un sous-groupe de (G, ∗), alors (H, ∗) est un groupe. Pour montrer qu’un ensemble est un groupe, on peut ainsi montrer que c’est un sous-groupe d’un groupe de référence. Exemples : 2 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 • L’ensemble Un des racines n-ièmes de l’unité est un sous-groupe de (C∗ , ×) (en particulier U4 = {±1, ±i} est un groupe à 4 éléments dont on dresse la table de groupes). • L’ensemble 5Z des multiples de 5 est un sous-groupe de (Z, +). • Réciproquement tout sous-groupe H de Z est de la forme aZ (on pose a = min H ∩ N∗ et si x ∈ H, on écrit x = aq + r, avec 0 6 r < a. On a alors r = x − aq ∈ H, donc r = 0). 4. Notion de morphisme (programme de SPE) Définition : une application f du groupe (G, ∗) vers le groupe (H, •) est un morphisme de groupe si ∀(x, y) ∈ G2 , f (x ∗ y) = f (x) • f (y). On a alors f (eG ) = eH et ∀x ∈ G, f (x−1 ) = (f (x))−1 . Si de plus le morphisme f est bijectif, on dit que f est un isomorphisme de G sur H. Les groupes G et H sont dits isomorphes. • L’application exp est un isomorphisme de (R, +) vers (R∗ , ×). • Les groupes (3Z, +) et ({5n | n ∈ Z}, ×) sont isomorphes. • Le groupe U4 et le groupe de Klein ne sont pas isomorphes. 2 Notion d’anneau 1. Définition : Soit A un ensemble muni de deux LCI + et ×. On dit que (A, +, ×) est un anneau si : • (A, +) est un groupe commutatif. • La loi × est associative. • La loi × est distributive par rapport à +. • la loi × admet un élément neutre noté 1A ou 1. Anneaux de référence : • (Z, +, ×), (R, +, ×), (Q, +, ×), (C, +, ×) • (K[X], +, ×) • F(R, R) l’ensemble des fonctions de R dans R • les anneaux de congruence modulo n (Z/nZ, +, ×) (hors-programme) Attention : les éléments de A ne sont pas forcément inversibles pour la loi ×. Exemples : • dans Z, les seuls inversibles sont ±1. • dans K[X] les inversibles sont les polynômes constants non nuls • dans Z/4Z, 3 est inversible car 3 × 3 = 9 ≡ 1 mod 4 donc 3 × 3 = 1, mais 2 n’est pas inversible. 2. Groupe des inversibles d’un anneau : L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau est un groupe pour la loi ×. 3. Règles de calcul dans l’anneau (A, +, ×) Pour a et b dans A, on a : a × 0A = 0A × a = 0A , a × (−b) = (−b) × b = −(a × b). De plus si a et b commutent (a × b = b × a), on a la formule du binôme de Newton. 4. Sous-anneau Définition : une partie B de A est appelée sous-anneau de (A, +, ×) si : • (B, +) sous groupe de (A, +). • B contient l’élément unité 1A ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 3 • B est stable par produit (pour la loi ×) L’ensemble (B, +, ×) est alors un anneau. Exemple : l’anneau des entiers de Gauss est un sous-anneau de C. 5. Notion d’intégrité : Définition : un anneau A est intègre s’il vérifie la propriété suivante : ∀(x, y) ∈ A2 , (x × y = 0 ⇒ (x = 0 ou y = 0)) . Remarquons qu’il s’agit de la fameuse propriété apprise au collège : si un produit est nul alors l’un des facteurs est nul. Exemples : • L’anneau K[X] est intègre • F(R, R) pas intègre • Z/4Z non intègre car 2 × 2 = 0 3 Notion de corps Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible. Corps de référence : (C, +, ×), (R, +, ×), (Q, +, ×). L’année prochaine, vous verrez que l’anneau Z/nZ est un corps ssi n est un nombre premier. Tout corps est intègre.