Ch 8 : Fonctions affines 8h 2 sem Sens de variation d’une fonction affine, Signe de ax + b Signe d’un produit, signe d’un quotient, résolutions d’inéquations simples 1) Caractérisation d’une fonction affine Définition : Une fonction f définie sur est une fonction affine si et seulement si il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x, f(x) = ax + b Cas particuliers : Si b=0, la fonction f définie par f(x) = ax est une fonction linéaire. Si a=0, la fonction f définie par f(x)=b est une fonction constante. Propriété : F est une fonction affine si, et seulement si, l’accroissement de la fonction est proportionnel à l’accroissement de la variable. f(x 2)-f(x 1) Autrement dit, x1 et x2 étant deux réels distincts, f(x1) et f(x2) leurs images, on a : =a x 2 x1 (nombre constant). Propriété : La représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b est la droite (D) d’équation réduite y=ax+b Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite (D) Le nombre b, tel que f(0) = b, est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite (D). 2) Sens de variation d’une fonction affine Propriété : Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b Si a est strictement positif, la fonction f est croissante sur Si a est strictement négatif, la fonction f est décroissante sur Si a est nul, la fonction f est constante sur Démonstration : Soit f la fonction définie par f(x) = ax + b. Soient m et p deux réels tels que m < p, déterminons f(p) - f(m) f(p) – f(m) = (ap + b) - (am + b) = a(p - m) Le signe de f(p)-f(m) est le même que celui de a : Si a > 0 alors f(p) - f(m) > 0 soit f(m) < f(p) donc f est strictement croissante sur . Si a = 0 alors f(p) - f(m) = 0 soit f(m) = f(p) donc f est constante sur . Si a < 0 alors f(p) - f(m) < 0 soit f(m) > f(p) donc f est strictement décroissante sur . 3) Signe d’une fonction affine Propriété : Démonstration : Déterminons le ou les antécédents de 0 par le fonction f. Pour les trouver, il nous faut résoudre l'équation f(x) = 0. f(x) = 0 équivaut à a.x + b =0 équivaut à a.x = -b équivaut à x = -b/a Donc l'unique antécédent de 0 par la fonction f est -b/a. Quand a est négatif, la fonction f est décroissante. Positionnons -b/a dans le tableau de variation de f. Donc lorsque x est situé avant -b/a, alors f(x) est plus grand que f(-b/a) = 0 donc avant -b/a, f(x) est positif. De même lorsque x est situé après -b/a, alors f(x) est plus petit que f(-b/a) = 0 donc après -b/a, f(x) est négatif. Quand a est positif, la fonction f est croissante. Positionnons là encore -b/a dans le tableau de variation de f. Lorsque x est plus petit que -b/a, alors f(x) est également plus petit que f(-b/a) = 0 donc avant -b/a, f(x) est négatif. Lorsque x est plus grand que -b/a, alors f(x) est également plus grand que f(-b/a) = 0 donc après -b/a, f(x) est positif. 4) Résoudre algébriquement une inéquation Signe d’un produit, signe d’un quotient : Signe de a Signe de b Signe de a * b Ou a (b 0) b - + + - + + + - - + Application à la résolutions d’inéquations : Résoudre une inéquation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de x vérifiant l’inégalité. Les valeurs trouvées sont appelées « solutions de l’inéquation ». Remarque : L’ensemble des solutions se note souvent S. Méthode : Pour résoudre une inéquation : 1. On transpose tous les termes dans un même membre de l’inéquation 2. On factorise éventuellement ce membre (identités remarquables, recherche de facteur commun). 3. On étudie le signe du membre factorisé à l’aide d’un tableau de signe 4. On conclut Exemple : Résoudre (x-2)² 9