I/ Linéariser cos(2n)

APMEP REUNION/ COMMISSION LYCEE
INTRODUCTION DES QCM AU BACCALAUREAT
Annexe 4
Term S
Q.C.M.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de 20 questions : chacune comporte
quatre réponses, une et une seule étant exacte.
Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe en annexe, en cochant pour chaque
question la case correspondante à la réponse proposée.
Une deuxième note portera sur les justifications.
Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Toute réponse exacte
entraîne une bonification, toute erreur est pénalisée.
1.
sin x

x0
x
lim
a
0
b
1
a
0
b
1
a
0
b
1
a
0
b
1
c
d

/2
c
d

/2
c
d
-
+
c
2
d
1 cos x

2. xlim
0
x
e 1

x0
x
x
3.
4.
lim
lim
x0
ln( 1  2 x)

x
+
5. Pour toute fonction f définie sur l’ensemble des réels, dérivable sur R, dont la courbe représentative
dans un repère orthonormé est symétrique par rapport à la droite d’équation x = 2 on a :
a
b
c
d
f(2+x) = f(2-x)
f(x-2) = f(x+2)
f ’ (2+x) = f ’ (2-x)
f(x) = f(-x)
6. La fonction f telle que f(x) =
a
lim f =

1
9
2 x  12
x ²  3x  9
b
c
d
lim f = 4
lim f = + 
lim f = 0

7. Soit la fonction f telle que f(x) = E(sin x)


a
b
c

2
alors f(x) = 0
 
 
f  = f  = 1
2
4
Si 0  x 
d

2
alors f(x) = 0

<x<
2
alors f(x) = 0
Si 0  x <
Si -
8. Quelle est la fonction dérivable, en 0 ?
a
f(x) =
b
f(x) =
x
9. Soit la fonction f telle que f(x) =
a
f ’(x) =
c
sin ² x
1 i
f(x) =
c
f est strictement
 
croissante sur  0 ; 
 2
10. Le conjugué de Z = 1 z
f(x) = x x
x²
1
tan x
b
1
1  tan ² x
d
f ’(x) =
d
1
sin ² x
Les droites d’équation

x=
+ k sont des
2
asymptotes à Cf
est :
a
b
c
1 z
1 i
1 z
1 i
1 z
1 i

d
-
1 z
1 i
3
 est égal à
i 
11. Un argument de z = - 3   1 i

a
b
  
(- 3 )   
3 4


6
c
d
5
6


6
12. L’ensemble des points d’affixe z telle que |z + 3 – i| = |z - 1|
a
b
c
d
La médiatrice de [AB]
où A et B ont pour
affixes – 3 + i et 1
La médiatrice de [AB]
où A et B ont pour
affixes 3 - i et - 1
Le cercle de diamètre
[AB] où A et B ont
pour affixes – 3 + i et 1
Le cercle de diamètre
[AB] où A et B ont
pour affixes 3 - i et -1
i

13. z  -z e 2
est associé à :
a
b
c
d
La rotation de centre

O et d’angle
2
La translation de
vecteur T d’affixe - i
La rotation de centre O

et d’angle 2
La symétrie centrale
de centre O.
14. On sait que p(A) = 0,35 , p(B) = 0,75 et p(A  B) = 0,80 ; alors PB(A) =
a
b
c
d
0,375
6
7
p(A)  p(B)
0,40
15. On considère 26 jetons. Chaque jeton est bicolore : il a une face d’une couleur et l’autre face
d’une autre couleur. Les couleurs utilisées sont : noir, bleu et rouge.
Le nombre de jetons possédant une face de couleur noire est 19 ; celui possédant une face de couleur
bleue est 17 et celui possédant une face de couleur rouge est 16.
a
b
c
d
Parmi les jetons
ayant une face bleue,
il y en a au moins 8
qui ont une face
noire.
Parmi les jetons
ayant une face rouge,
il y a autant de jetons
ayant une face noire
que de jetons ayant
une face bleue.
Parmi les jetons
ayant une face bleue,
il y en a au moins 8
qui ont une face
rouge
Parmi les jetons
ayant une face noire,
il y en a exactement
11 qui ont une face
bleue.
16. Dans un étang vivent 50 brochets et 75 carpes, 20 % des brochets et 60 % des carpes mesurent
plus de 30 cm. Maurice va à la pêche dans cet étang en jetant son filet.
On suppose que Maurice a pris un seul poisson dans son filet.
a
b
c
d
La probabilité pour
que ce soit une carpe
de plus de 30 cm est
12
de
25
La probabilité pour
que ce soit une carpe
de plus de 30 cm est
1
de .
2
La probabilité pour
que ce soit un
poisson de plus de
11
30 cm est de
25
La probabilité pour
que ce soit un
poisson de plus de
12
30 cm est de
.
25
17. Toujours dans le même étang, on suppose maintenant que Maurice a pris 10 poissons dans son
filet, on note F le nombre de brochets de plus de 30 cm parmi ces 10 poissons ?
a
b
c
d
10 115 
 

3  7 

p(F=3) =
125 


10 
10 115 
 

7  3 

p(F=3) =
125 


10 
b
c
d
3n  n ²
2
n² + n
 n 1


 2 
a
b
c
d
 250 

2  
 249 
 251 


 249 
1 000
 500 


 250 
p(F=3) =
10  2 
  
 3  25 
3
 9
 
 25 
p(F=3) =
7
10  2 
  
 3  25 
7
 9
 
 25 
3
18. Le nombre 
n n
    est égal à
1   2 
a
 2n 
 
 3
250
250
19. Calculer     
 1   249 
20. Le nombre de façons de choisir 4 objets parmi 20 est :
a
b
c
d
 20 
 
16 
16 
 
4
204
420
Réponses aux questions du Q.C.M.
Questions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
a
b
c
d
1.
2.
3.
4.
sin x
 sin’(0) = cos (0) = 1
x0
x
lim
1 cos x
cos x  1
 lim 
 - cos’(0) = sin(0) = 0
x0
x0
x
x
ex  1
lim
 exp’(0) = 1
x0
x
lim
ln( 1  2 x)
f ( x)
 lim
 f ’ (0) = 2 avec f(x) = ln(1 + 2x)
x0
x0
x
x
lim
5. Pour toute fonction f définie sur l’ensemble des réels,dérivable sur R, dont la courbe représentative
dans un repère orthonormé est symétrique par rapport à la droite d’équation x = 2 on a: f(2+x) = f(2-x)
6. La fonction f telle que f(x) =
2 x  12
x ²  3x  9
; lim f = 4
7. Soit la fonction f telle que f(x) = E(sin x)
; Si 0  x <
8. f(x) = x
x ; car lim
x0


2
alors f(x) = 0
f ( x)
0
x
9. Soit la fonction f telle que f(x) =
1
;
tan x
1
 (1 tan ² x)
1
1
f ’(x) =
= cos ² x =
=
; f ’(x) < 0  f décroissante
cos ² x (tan ² x) sin ² x
tan ² x
tan ² x

10. Le conjugué de Z = 1 z
1 i
est

1 z
.
1 i
5
3
 = - 3 ( 3 - i)est égal à

6
i 
11. Un argument de z = - 3   1 i

12. L’ensemble des points d’affixe z telle que |z + 3 – i| = |z - 1|
est la médiatrice de [AB] où A et B
ont pour affixes – 3 + i et 1
i

13. z  -z e 2
est associé à la rotation de centre O et d’angle -

.
2
14. On sait que p(A) = 0,35 , p(B) = 0,75 et p(A  B) = 0,80 ;
donc p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B) = 0,3 alors PB(A) = p(A  B) / p(B) = 0,4
15. Soit N l’ensemble des jetons ayant une face noire, B l’ensemble des jetons ayant une face bleue et
R celui de ceux ayant une face rouge. card N = 19 , card B = 17 et card R = 16.
D’après l’énoncé card (B  R) = 7
Les jetons ayant une face bleue mais pas de face rouge, c'est-à-dire bleue ou noire sont donc au
nombre de card B – card (B  R) = 10 ; de même 16 – 7 = 9 jetons noirs et rouges.
Donc card (B  R) = 7 ; card (N  B) = 10 ; card (N  R) = 9.
16. Dans l’étang avec les brochets et les carpes ; il y a 125 poissons. Le nombre de brochets de plus
de 30 cm est 10 (50  20%) ; le nombre de carpes de plus de 30 cm est 45 (75  60%)
45 9

la probabilité pour que ce soit une carpe de plus de 30 cm est : p1 =
125 25
55 11

la probabilité pour que ce soit un poisson de plus de 30 cm est : p2 =
125 25
17. Dans l’étang avec les brochets et les carpes ; l’univers est l’ensemble des combinaisons possibles
de 10 poissons parmi 125. F = 3 signifie qu’il prend 3 brochets de plus de 30 cm (parmi 10) et 7
poisson parmi 115. Ce n’est pas un schéma de Bernoulli.
10 115 
 

3  7 

On a donc : p(F=3) =
125 


10 
18. Le nombre 
n n
    =
1   2 
250
250
19. Calculer     
 1   249 
 n 1


2 
 250 
 = 500
= 2  
 249 
20. Le nombre de façons de choisir 4 objets parmi 20 est :
 20 
 20 
  =   = 4 845
16 
4 