Organisation des Systèmes Planétaires dans le Cadre de la Relativité d’Échelle P. H. M. Galopeau * * CETP, CNRS, IPSL, Vélizy, France RÉSUMÉ. Les mouvements des planétésimaux au sein de la nébuleuse protoplanétaire qui donnera naissance à un système planétaire sont décrits, dans le cadre de la relativité d’échelle développée par L. Nottale, en termes de trajectoires fractales et de processus irréversibles. Dans ce contexte, l’équation fondamentale de la dynamique prend la forme d’une équation de Schrödinger dont les solutions conduisent à une distribution statistique des planétésimaux faisant apparaître des pics de probabilité pour certaines grandeurs conservatives telles que l’énergie ou le vecteur de Runge-Lenz. En conséquence, une fois l’accrétion terminée, les éléments orbitaux des corps du système planétaire (semi-grands axes, excentricités) se distribuent autour de valeurs de probabilité maximum : an = (GM/w2)n2 et e = k/n respectivement, où k et n sont des nombres entiers. M désigne la masse de l’étoile centrale et w une constante ayant la dimension d’une vitesse. Les observations correspondant à notre propre système solaire ainsi que les celles récentes des systèmes planétaires extra-solaires confirment d’une manière très significative les prédictions de « quantification » de an et e. Ces systèmes gravitationnels s’organisent en hiérarchie faisant apparaître des constantes w multiples ou sous-multiples de w0 = 144.70.5 km/s. Premières Rencontres d’Avignon (2007-2009) autour de la Relativité d’Échelle Sous la direction de L. Nottale et Ph. Martin – ISBN : 2-910545-07-5, pages 26 à 30 sur 300 Organisation des Systèmes Planétaires 27 1. Description fractale de la nébuleuse protoplanétaire Le modèle standard de formation des systèmes planétaires est reconsidéré dans le cadre de la relativité d’échelle (cf. références citées en fin d’article). Au-delà de l’horizon de prédictibilité, nous supposons que le mouvement des planétésimaux est hautement chaotique et vérifie les trois conditions suivantes : Les trajectoires possibles sont en nombre infini (le mouvement n’est plus déterministe) ; Les trajectoires sont des lignes fractales de dimension DF = 2 (mouvement de type brownien) ; On abandonne l’hypothèse de différentiabilité, ce qui implique une irréversibilité « microscopique » dans les transformations dt dt. Il résulte que le déplacement élémentaire dX le long d’une fractale durant dt se décompose en la somme de deux termes : dX = dx + d avec x la coordonnée de position (différentiable) vérifiant dx = v dt et d une fluctuation remplissant les conditions <d> = 0 et <d2> = 2 D dt. Le paramètre D représente une échelle de longueur caractéristique du système. Comme le mouvement est supposé localement irréversible, il est nécessaire de distinguer deux dérivées temporelles d+/dt et d/dt que l’on peut rassembler en un opérateur complexe : d (d d ) i(d d ) , dt 2 dt ce qui conduit à définir une vitesse complexe de la façon suivante : V v v dx v v i V iU dt 2 2 et on démontre que la dérivée complexe le long d’une trajectoire fractale devient : Dans ces conditions, l’équation fondamentale de la dynamique prend la forme d’une équation de Schrödinger : 28 Premières Rencontres d’Avignon (2007-2009) autour de la Relativité d’Échelle Sous la direction de L. Nottale et Ph. Martin – ISBN : 2-910545-07-5 où = exp(iS/2m D), liée à l’action complexe S, est telle que * est une densité de probabilité proportionnelle à la densité de matière des planétésimaux. = GM/r est le potentiel gravitationnel de l’étoile de masse M. 2. Distribution des semi-grands axes La recherche de solutions stationnaires conduit à une distribution des semigrands axes des planètes présentant des pics de probabilité : an = (GM/w2)n2 où n est un entier et w une vitesse multiple ou sous-multiple de w0 = 144.70.5 km/s qui a été déterminé de manière indépendante à partir de différents systèmes gravitationnels (systèmes planétaires, étoiles binaires, couples de galaxies…). Cette loi est très bien vérifiée observationnellement par les planètes du système solaire et les exoplanètes. Figure 1. (Gauche) Histogramme de la distribution de n = w0(P/2GM)1/3 où P est la période sidérale de la planète, M la masse de l’étoile et w0 = 144 km/s. Dans ce graphique on a choisi 127 planètes et exoplanètes vérifiant n < 0.25. (Droite) Histogramme de la déviation n à partir de l’entier le plus proche. La probabilité d’obtenir une telle distribution par hasard est P < 1.5104. Figure 2. Système solaire externe (planètes géantes, KBO, SKBO) : histogramme de la distribution du semi-grand axe a. On a représenté la valeur du rang n correspondant à n = w(P/2GM)1/3 = w(a/ GM)1/2 où P est la période sidérale M la masse solaire et Organisation des Systèmes Planétaires 29 w = 144/5 = 28.8 km/s. Les pics n = 8 et n = 9 sont légèrement décalés par rapport aux prédictions théoriques probablement à cause des résonances avec Neptune. 3. Distribution des excentricités L’équation de Schrödinger du mouvement d’un corps dans un potentiel gravitationnel Newtonien peut être résolue en coordonnées paraboliques. Dans ce cas, les solutions sont des états correspondant à des valeurs bien définies de l’énergie E et des projections sur un axe z du moment angulaire L et du vecteur de Runge-Lenz A (dont le module est égal à l’excentricité). En choisissant l’axe z selon le demi-grand axe de l’orbite, on obtient la « loi de quantification » des excentricités : Az e k n où k est un entier variant de 0 à n1, et n le « nombre quantique principal » précédemment défini. Les observations des planètes du système solaire et les exoplanètes confirment l’existence de pics de probabilité aux valeurs entières prédites. Figure 3. (Gauche) Histogramme de la distribution de k = e n où k est l’excentricité et n le « nombre quantique principal » défini comme la partie entière de [w0(P/2GM)1/3+1/2], P étant la période sidérale de la planète, M la masse de l’étoile et w0 = 144 km/s. Dans ce graphique, on a choisi 124 planètes et exoplanètes vérifiant k < 0.5. (Droite) Histogramme de la déviation k à partir de l’entier le plus proche. La probabilité d’obtenir une telle distribution par hasard est P < 2.4107. 4. Références bibliographiques Nottale L. 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