Chapitre 4 : Multiplication et division des nombres relatifs. I. Multiplier des nombres relatifs. 1. Produit de deux nombres relatifs. Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro, et pour trouver le signe du produit on applique la règle des signes suivante : le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif. le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif. Les deux nombres sont ……………………………………………… Exemples : donc le résultat est ……………………………… . On multiplie les distances à zéro. (- 6) (- 7) = ……… (6 7) = ……………………… Les deux nombres sont ……………………………………………… donc le résultat est ……………………………… . On multiplie les distances à zéro. (+ 15) (- 10) = ……………………… = ……………………… Les deux nombres sont ……………………………………………… donc le résultat est ……………………………… . On multiplie les distances à zéro. (- 13) (+ 3) = ……………………… = ……………………… L. GUADALUPI Chapitre 4 – Synthèse MTH4004 – Page S.1 Cas particuliers : Pour tout nombre relatif x, on a : x 1 = ……… Pour tout nombre relatif x, on a : x 0 = ……… Pour tout nombre relatif x, on a : x (- 1) = ……… Autrement dit, le produit d’un nombre relatif par (- 1) est l’opposé de ce nombre. 2. Produit de plusieurs nombres relatifs. Pour multiplier plusieurs nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro, et pour trouver le signe du produit on applique la règle des signes suivante : si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit de ces nombres est positif. si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit de ces nombres est négatif. Il y a ……… facteurs négatifs, c’est-à-dire un Exemples : nombre ………………… de facteurs négatifs ; donc le résultat est ……………………………… . On multiplie les distances à zéro. (-1) (+5) (+2) (-3) = …(1523) = ……………………… Il y a ……… facteurs négatifs, c’est-à-dire un nombre ………………… de facteurs négatifs ; donc le résultat est ……………………………… . On multiplie les distances à zéro. (-2) (+5) (-3) (-1) (+7) = … ( 2 5 3 1 7 ) = ……………………… L. GUADALUPI Chapitre 4 – Synthèse MTH4004 – Page S.2 II. Propriétés de la multiplications. 1. La multiplication est commutative. Un produit de plusieurs nombres relatifs ne change pas lorsque l’on modifie l’ordre de ses facteurs. Autrement dit, si a et b sont deux nombres relatifs quelconques, on a : a b= b a Application : Cette propriété permet de faciliter certains calculs : 4 9 (-25) = ………………… ………………… …………………… = ………………… ………………… = ………………… L. GUADALUPI Chapitre 4 – Synthèse MTH4004 – Page S.3 2. La multiplication est distributive par rapport à l’addition. Si k, a et b désignent trois nombres relatifs, alors on a : k (a + b) = k a + k b Application n° 1 : Développer, c’est passer d’un produit à une somme ou une différence. 5(3+4) = ………………… + ………………… = ………………… + ………………… On distribue le facteur « 5 » à chacun des termes de la somme. = ………………… 6(2+x) = ………………… + ………………… = ………………… + ………………… On distribue le facteur « 6 » à chacun des termes de la somme. ( 1 + x ) (-3) = (-3) …………………………… = ………………… + ………………… = ………………… On distribue le facteur « - 3 » à chacun des termes de la somme. Application n° 2 : Factoriser, c’est passer d’une somme ou une différence à un produit. 78+72 = 7 ( ………… + ………… ) = ………………… ………………… On identifie « 7 » comme facteur commun à chacun des termes de la somme. = ………………… On identifie « ………… » comme 3x+32 = ………… ( ………… + ………… ) facteur commun à chacun des termes de la somme. L. GUADALUPI Chapitre 4 – Synthèse MTH4004 – Page S.4 3. La multiplication est distributive par rapport à la soustraction. Si k, a et b désignent trois nombres relatifs, alors on a : k (a – b) = k a – k b Application n° 1 : Développer (c’est-à-dire « distribuer » le facteur k à chacun des termes de la différence). (2–x)6 = ………………… – ………………… = ………………… – ………………… (-5) ( 2 – y ) = ………………… – ………………… = ………………… – ………………… (-9) 19 = (-9) ( ………… – ………… ) = …………………………………………………… On distribue le facteur « 6 » à chacun des termes de la différence. On distribue le facteur « - 5 » à chacun des termes de la différence. On décompose « 19 » astucieusement… = …………………………………………………… = …………………………………………………… = …………………………………………………… Application n° 2 : Factoriser (c’est-à-dire identifier un facteur commun aux deux termes de la différence). 8 23 – 8 3 = 8 ( ………………………………… ) = ………… ………… = ………………… 25–5y = …………………………………………………… = …………………………………………………… L. GUADALUPI Chapitre 4 – Synthèse MTH4004 – Page S.5 III. Diviser par un nombre relatif non nul. 1. Quotient de deux nombres relatifs. Le quotient d’un nombre relatif a par un nombre relatif non nul b, noté a:b ou a , est le b nombre par lequel on doit multiplier b pour trouver a. Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous : b a a ……… b b = a 2. Diviser des nombres relatifs. Pour diviser un nombre relatif par un nombre relatif non nul, on divise les distances à zéro, et pour trouver le signe du quotient on applique la même règle des signes que pour la multiplication : le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de même signe est positif. le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de signe contraire est négatif. Exemples : (- 4) : 5 = -4 5 =– 4 5 = - 0,8 L. GUADALUPI (- 120) : (- 15) = - 120 - 15 = + 4 5 = Chapitre 4 – Synthèse 120 15 8 4 5 7 = - 14 = – 7 14 - 0,5 4 5 44 55 MTH4004 – Page S.6 IV. Valeur exacte, valeurs approchées, valeur arrondie et encadrement. On veut, par exemple, calculer le quotient de 15 par (- 7). ce quotient est négatif car 15 et (- 7) sont de signes contraires ; pour trouver la distance à zéro de ce quotient, il faut calculer le quotient de 15 par 7 : 1 5, 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 2 0 6 0 4 0 5 0 1 0 3 0 … 7 2, 1 4 2 8 5 7 1 4 … La division ne s’arrête pas ! Plaçons ce quotient sur une droite graduée : On ne peut pas donner la valeur exacte de 15 : 7 (et donc de 15 : (- 7) ) sous la forme d’un nombre décimal. – 15 est la valeur exacte de 15 : (- 7) donnée sous forme fractionnaire. 7 A une précision donnée, il existe deux valeurs approchées distinctes : celle par défaut et celle par excès. Par contre, à une précision donnée, il n’existe qu’une seule valeur arrondie, et qu’un seul encadrement. L. GUADALUPI Chapitre 4 – Synthèse MTH4004 – Page S.7 Exemples : …………………… est une valeur approchée au dixième par défaut de 15 : (- 7) ; …………………… est une valeur approchée au dixième par excès de 15 : (- 7) ; …………………… est la valeur arrondie au dixième de 15 : (- 7) ; (c’est la valeur approchée au dixième la plus proche) ……………… < – L. GUADALUPI 15 7 < ……………… est l’encadrement au dixième de 15 : (- 7). Chapitre 4 – Synthèse MTH4004 – Page S.8