TS Conditionnement et indépendance Cours L’univers désigne un ensemble fini et P une loi de probabilité sur . I Probabilités conditionnelles 1) Définition et exemple Définition A et B désignent deux évènements de l’univers tels que PA 0 La probabilité que l’évènement B se réalise sachant que l’évènement A est réalisé est PA B notée P A B et définie par : P A B PA Remarques P A est une nouvelle probabilité définie sur l’univers , ainsi pour tout événement B de : 0 P A B 1 PA B Si PB 0, on peut de même définir la probabilité de A sachant B par P B A PB Propriété : Si A et B sont deux évènements de l’univers de probabilité non nulle alors : PA B PA P A B PB P B A Exemple 1 Une société comprend 40 % de cadres dont la moitié parle anglais. De plus 70 % de la totalité de ses employés ne parlent pas anglais. On interroge au hasard un employé de cette entreprise. On considère les évènements suivants : C : " L’employé interrogé est un cadre " A : " L’empoyé interrogé parle anglais " 1) Compléter le tableau des fréquences suivant : A A Total C C Total 2) Quelle est la probabilité que l’empoyé interrogé ne soit pas cadre et parle anglais ? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 3) Sachant que l’employé n’est pas un cadre, quelle est la probabilité qu’il parle anglais ? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 1 2) Arbre pondéré On peut représenter certaines expériences aléatoires à l’aide d’un arbre pondéré. Vocabulaire un arbre est formé de branches qui sont représentées par des segments (ou des flèches) un noeud est la jonction de deux ou plusieurs branches un chemin est l’événement réalisé en suivant des branches successives, il correspond à l’intersection de tous les évènements rencontrés sur ce chemin. Règles de construction Règle n°1 : Sur les branches du 1 er niveau, on inscrit les probabilités des évènement correspondants. Règle n°2 : Sur les branches des niveaux suivants, on inscrit des probabilités conditionnelles. Règle n°3 : La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1. Exemple 2 : Dans une entreprise, une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces défectueuses fabriquées est égale à 3 %. Pour éliminer les pièces défectueuses, un test de qualité est mis en place dont les résultats sont les suivants : le test élimine 98 % des pièces défectueuses. le test élimine 0, 5 % des pièces non défectueuses. On tire une pièce au hasard après le processus de test. On considère les évènements : D : " la pièce est défectueuse " E : " la pièce est éliminée par le test " Construire un arbre pondéré illustrant cette situation. Règles de calculs Règle n°1 : La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche du chemin. Règle n°2 : La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à cet évènements. 2 3) Formule des probabilités totales On peut généraliser le résultat observé avec des arbres pondérés. Définition On dit que les évènements C 1 , C 2 , . . . , C n forment une partition de l’univers lorsque Pour tout entier naturel i de 1 ; n : PC i 0 Pour tous entiers naturels i et j distincts de 1 ; n : C i et C j sont incompatibles C 1 C 2 . . . C n Théorème : formule des probabilités totales Si les évènements C 1 , C 2 , . . . , C n forment une partition de l’univers alors, pour tout évènement A : PA PA C 1 PA C 2 . . . PA C n PA PC 1 P C 1 A PC 2 P C 2 A . . . PC n P C n A Exemple 2 : 1) Déterminer la probabilité que la pièce soit défectueuse et éliminée par le test. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 2) Déterminer la probabilité que la pièce soit éliminée. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. Propriété : Si A et B sont deux évènements de l’univers de probabilité non nulle alors PB A 1 P B A Preuve A et A forment une partition de l’univers donc, d’après la formule des probabilités totales : PB PB A P B A PB P B A PB P B A PB 1 P B A P B A PB A Donc P B A 1 P B A 1 P B A 3 or PB 0 on peut donc simplifier par PB III Indépendance de deux évènements Définition Deux évènements A et B de l’univers sont indépendants lorsque PA B PA PB Propriété : Soient A et B deux évènements de l’univers de probabilité non nulle A et B indépendants équivaut à P A B PB A et B indépendants équivaut à P B A PA Interprétation : Cela signifie que la réalisation d’un événement A ne modifie pas la probabilité de la réalisation de l’événement B et vice et versa. Exemple 3 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes On considère les événements : R : "tirer un roi" C : "tirer un coeur" F : "tirer une figure" 1) R et C sont-ils indépendants ? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 2) R et F sont-ils indépendants ? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. Remarque : Deux événements peuvent être indépendants sans être incompatibles et vice-versa, ces deux notions ne sont liées en aucune façon. Théorème Si les événements A et B sont indépendants alors les événements A et B , A et B , A et B le sont aussi. Preuve : voir ROC n°1 4