Probabilités conditionnelles. (fiche résumé) 1

Probabilités conditionnelles. (fiche résumé)
1. Définition.
p est une probabilité sur un univers  . A et B sont deux événements avec p(A) différent de
0, (A n'est pas impossible).
La probabilité de B sachant que l'événement A est réalisé est le nombre :
p  A∩ B 
pA B =
p  A
On dit aussi probabilité de B conditionnée par A.
Propriétés
–
–
–
p A  B  est un nombre compris entre 0 et 1,.
Si A et B sont incompatibles (A ∩ B= ∅ ) alors p A ( B ) =0
p A ( B ) =1− p A ( B )
Souvent, en pratique, il est aisé de déterminer p A  B  , sans faire intervenir de formule,
connaissant p A  B  on peut déduire p  A∩B  par le calcul p ( A∩B ) = p A ( B ) × p ( A )
2. formule des probabilités totales.
Cas de deux événements
A est un événement de probabilité non nulle,
Pour tout événement B p  B  = p  B∩ A   p  B∩ A  = p A  B  × p  A   p A  B  × p  A 
Plus généralement...
Lorsque les n événements A1 , A2 ,, An forment une partition de 
p  B  = p  B∩ A1   p  B∩A2   p  B∩ An
Pour tout événement B
et si les événements Ai sont de probabilités non nulles:
p  B  = p A  B  × p  A1   p A  B  × p  An 
1
n
i=n
autrement écrit:
p  B  = ∑ p A  B  × p  Ai 
i =1
i
3. Indépendance
Événements indépendants
On dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Cela revient à dire que si P(A) ≠ 0, PA(B) = P(B).
(il est naturel de dire que A et B sont indépendants si la probabilité de B est la même que la
probabilité de B sachant A)
Propriété
Si deux événements A et B sont indépendants, alors les événements A et
 et B, ainsi que A
 et B .
indépendants aussi, de même que A
B sont