PHY 12a_Session 1_2013-2014

Université Joseph Fourier Grenoble 1 Année 2013/2014
Licence 1ère année
1ère session
Epreuve de Physique / Mécanique du Point II
(PHY 12a)
13 mai 2014. Durée 2h
Documents et calculatrices ne sont pas autorisés.
Bien lire l’énoncé avant de commencer, cela peut-être très utile. Le sujet est composé de 4
exercices indépendants.
N’utiliser les valeurs numériques que lorsqu’un calcul numérique est demandé, et penser à
mettre les unités, un résultat sans unité est inexploitable !
Ne pas confondre brouillon et copie, la présentation interviendra dans la note. Bien préciser
le numéro de la question dans votre copie.
(énoncé contenant 6 pages numérotées de 1 à 6)
1
Exercice I : Le pendule de Newton (5 points)
Ce pendule est constitué de trois boules rigides de masses m identiques, susceptibles de
s'entrechoquer et d'échanger quantité de mouvement et énergie. On considère que le
mouvement de chacune des boules est uniquement horizontal et que toutes les collisions sont
élastiques.
1 2 3
Avant la collision, la boule 1 a une vitesse 𝑉 1, et les boules 2 et 3 sont immobiles et en
contact, comme illustré sur le schéma suivant :
2 1 3 V1 Au moment de la collision, la boule 1 entre en contact avec la boule 2, et après la collision, les
boules 1, 2 et 3 ont respectivement des vecteurs vitesse 𝑉’1, 𝑉’2, 𝑉’3 .
Après la collision, deux situations distinctes sont proposées ci-dessous :
Cas A : La boule 1 s’immobilise après la collision et les boules 2 et 3 se déplacent de façon
solidaire : 𝑉’1 = 0 et 𝑉’2 = 𝑉’3
1 2 3 V’1= 0 V’2 = V’3 2
Cas B : La boule 1 s’immobilise après la collision, alors que la boule 2 reste immobile et que
la boule 3 acquiert une vitesse 𝑉’3 non nulle.
1 V’1= 0 2 V’2= 0 3 V’3 Le but de cet exercice est de démontrer qu’une seule de ces deux situations est susceptible de
se produire dans la réalité.
I.1 : Rappeler les grandeurs physiques qui se conservent au cours de cette collision. Justifier
rigoureusement chacune de ces lois de conservation.
I.2 : Ecrire les expressions mathématiques générales de chacune de ces lois de conservation en
fonction des données du problème.
I.3 : En considérant successivement les deux cas A et B, montrer qu’une des deux situations
aboutit à une solution mathématiquement impossible.
I.4 : Exprimer les vitesses 𝑉’2 et 𝑉’3 après collision des boules 2 et 3
correspondant à la réalité. Ce résultat était-il prévisible, pourquoi ?
dans le cas
Exercice II : Le caillou du géologue (4 points)
Pour déterminer la masse MC du caillou qu’il vient de ramasser, un géologue utilise sa
balance romaine : elle est constituée d’une tige métallique MN de longueur totale 60 cm
suspendue par un crochet fixé en un point O situé à une distance dN = 10 cm de N, d’une
masse MN = 5kg fixée en N et d’un crochet C coulissant entre M et O et à une distance dC du
point O, auquel le géologue accroche son caillou.
On définit un repère orthonormé direct (O, 𝚤, 𝚥, 𝑘), tel que 𝚤 est dirigé de O vers N, et 𝚥 est
vertical vers le bas. On considère que l’accélération de la pesanteur à la surface de la terre est
g = 10 ms-2.
II.1 : Donner la définition du moment par rapport au point fixe O du poids de la masse MN qui
s’applique en N et préciser son unité. Déterminer ses composantes dans le repère (O, 𝚤, 𝚥, 𝑘).
II.2 : Déterminer, dans le repère (O, 𝚤, 𝚥, 𝑘), les composantes du moment par rapport au point
fixe O, du poids du caillou (masse MC) qui s’applique en C situé à une distance dC de O.
3
II.3 : Pour équilibrer sa balance romaine, le géologue positionne le crochet coulissant C à une
distance dC = 30 cm du point O. Donner l’expression mathématique de la condition
d’équilibre de la balance, et en déduire la masse MC du caillou.
Exercice III : Gravitation et Exoplanète (6 points)
En 2510, l'Agence Spatiale Mondiale (ASM) souhaite mettre en orbite un satellite artificiel de
masse 𝑚 autour d'une exoplanète sphérique et homogène (planète gravitant autour d'une étoile
autre que le soleil) de masse 𝑀! de rayon 𝑅! , dépourvue d'atmosphère, à partir de sa base
spatiale habitée ISS209 installée sur cette même exoplanète.
On prendra 𝐺 = 6.67 ∙ 10!!! N·m2 ·kg!! , 𝑀! = 3 ∙ 10!" kg, 𝑅! = 5000 km.
III.1 : Exprimer en utilisant entre autres les grandeurs et les vecteurs unitaires fournis sur la
figure ci-dessus, la force 𝐹! qui agit sur le satellite lorsque celui-ci est placé sur son orbite
(𝑟 représente la distance du satellite au centre de l'exoplanète). Pourquoi l'expression de la
force de gravitation permet-elle d'affirmer que le mouvement a lieu dans un plan et pourquoi
les coordonnées polaires sont-elles adaptées ?
III.2 : Dans le référentiel Galiléen R lié au centre de l'exoplanète, exprimer en notation
vectorielle le principe fondamental de la dynamique appliqué au satellite. On notera 𝑎! le
vecteur accélération du satellite.
III.3 : Dans le référentiel R, donner en coordonnées polaires l'expression de l’accélération
𝑎! du satellite placé sur son orbite. On utilisera dans cette question les grandeurs et les
vecteurs unitaires fournis sur la figure ainsi que 𝜔! , la vitesse angulaire du satellite.
III.4 : On suppose désormais que le satellite est placé sur une orbite circulaire de rayon 𝑅!
(mesuré à partir du centre de l'exoplanète) et tourne selon le sens trigonométrique habituel.
Prouver que la vitesse angulaire de rotation 𝜔! du satellite est alors constante et en déduire
son expression.
4
III.5 : Rappeler l'expression de 𝜔! en fonction du module 𝑉! du vecteur vitesse du satellite, et
en déduire l'expression de 𝑉! . Evaluez cette vitesse pour une orbite circulaire éloignée de 2000
km de la surface de l'exoplanète.
III.6 : Rappeler l'expression de l'énergie mécanique 𝐸!! du satellite dans le référentiel R. On
cherchera une expression pour laquelle 𝐸!! est nulle lorsque 𝑅! tend vers l'infini et lorsque la
vitesse du satellite est nulle également. Discutez le signe de 𝐸!! , que signifie-t-il ?
Exercice IV : Vibration des bâtiments et tremblement de terre (5 points + 1 point bonus)
Les bâtiments sont soumis à des sollicitations vibratoires diverses, dont celles des
tremblements de terre. On s'intéresse au cas d'un château d'eau, que l'on représente comme
une masse M de 150 tonnes située au-dessus du sol et fixée à l’extrémité d’un ressort de
raideur k = 7,7×106 N/m, susceptible d'osciller horizontalement le long d'un axe Ox, l'origine
correspondant à la position d'équilibre du château d'eau (Fig. 1).
Fig. 1 : château d'eau et sa représentation simplifiée comme un oscillateur harmonique horizontal
IV.1 : Compte-tenu des caractéristiques du château d'eau, quelle est la période d'oscillation
propre, T, de l'oscillateur harmonique associé ?
IV.2 : Rappeler la forme générale de la fonction x(t) donnant la position d'un oscillateur
harmonique de période propre T et d'amplitude x0.
IV.3 : En déduire l'expression de l'accélération a(t) ; quelle est la plus grande valeur, a0, de
l'accélération au cours du mouvement ? Calculez celle-ci dans le cas où x0 = 10 cm.
IV.4 : Sur un même graphe comportant deux échelles des ordonnées (une à droite et une à
gauche), tracer (et identifier) les courbes représentatives de x(t) et a(t). Justifier, sur la base
des propriétés mécaniques d'un ressort et du principe fondamental de la dynamique, le signe
relatif des position et accélération.
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Les séismes provoquent une accélération horizontale du sol (et donc des bâtiments
supportés) qui dépend de la période propre des structures considérée. La figure 2 ci-dessous
signifie que, dans le cas du tremblement de terre qui nous intéresse, les structures oscillantes
acquièrent, lors du passage du séisme, une accélération maximum a0-s qui dépend de leur
période propre : 1,54 m/s2 lorsque T est inférieure à 0,4 s et 1,54×(0,4/T)2/3 lorsque leur
période est plus grande (T étant donné en s).
Fig. 2 : accélération subie en fonction de la période de la structure
IV.5 : Quelle est, compte-tenu de la période propre calculée précédemment, l'accélération
maximum, a0-s, qui est transmise au château d'eau par le séisme ? Comment se compare-t-elle
à celle de la pesanteur ? En déduire la force de rappel qui s'exerce sur le château d'eau.
IV.6 : On suppose donc qu'à la fin du séisme le château d’eau retourne en régime
d’oscillations libres, avec l'accélération maximum, a0-s, ainsi qu'une amplitude et une vitesse
maximum correspondante. Quelle est alors l'énergie mécanique de l'oscillateur ?
Les questions suivantes sont en bonus (1 point)
Une fois l'onde sismique passée, le bâtiment se comporte en fait comme un oscillateur
libre faiblement amorti. On définit alors le taux d'amortissement, ζ, comme étant la
diminution relative de l'amplitude des oscillations entre 2 maxima consécutifs aux temps ti et
ti+1 : ζ = [x(ti) – x(ti-1)]/ x(ti).
On rappelle l'expression générale du mouvement d'un oscillateur harmonique faiblement
amorti :
𝑥 𝑡 = 𝑥! 𝑒 !!"/! 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙)
IV.7 : Commenter les différents paramètres qui interviennent dans cette expression. En quoi
cette expression est-elle caractéristique d'un amortissement faible ?
IV.8 : Exprimer 𝛾 en fonction, notamment, de ζ. En prenant pour ζ une valeur standard de
10%, en déduire la valeur de 𝛾. Pour ce faire, vous avez besoin de supposer que 𝜔 = 2𝜋/𝑇,
où est 𝑇 est la période propre calculée plus haut : en quoi est-ce une approximation et
pourquoi est-elle valable ?
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