Chapitre 3 Le mouvement circulaire uniforme page 10 Accélération

Chapitre 3
Le mouvement circulaire uniforme
page 10
Accélération radiale.
Soit une particule se déplaçant à vitesse
constante v sur un cercle de rayon r.
Supposons que, durant un court intervalle de
temps t , son vecteur position tourne de
l'angle  , et que le déplacement de la
  
particule, r  r2  r1 , soit vertical. Comme


v est toujours perpendiculaire à r , les
directions de ces deux vecteurs varient selon
le même angle durant un intervalle de temps



quelconque. Sur le diagramme vectoriel de l'équation v 2  v 1  v , nous voyons que

v 2  v 1  v . La direction de v est horizontale et radiale vers l'intérieur, confondue avec la
bissectrice de l'angle  à l'intérieur du cercle. Les triangles OPQ et ABC sont deux triangles
isocèles ayant les mêmes angles.
Donc,

r
r


v
v
 v 
et nous en tirons v  r
r

v v 2

Puisque r  vt , nous voyons que

t
r
Cette accélération est appelée radiale, car elle est toujours
dirigée selon un rayon. Comme son sens pointe vers le centre,
on l’appelle également accélération centripète.
v
D'après la définition a 
, nous savons que l'accélération
t
radiale est
ar 
v2
r
La période T est le temps nécessaire pour effectuer une révolution, c'est-à-dire pour parcourir
2r
une distance égale à 2r ; la vitesse est donc v 
. Ainsi :
T
ar 
4 2 r
T2
EXEMPLE: Un pilote effectue en avion un virage circulaire horizontal avec une accélération
centripète de 5g. Si la vitesse de l'avion est égale à Mach 2 (deux fois la vitesse du son, qui
vaut 340 m/s), quel est le rayon du virage?
Chapitre 3
Le mouvement circulaire uniforme
La force de gravitation
La loi de gravitation universelle a été énoncée par Newton
en 1687 dans le but d’expliquer le mouvement des
planètes autour du Soleil. Il existe, selon cette loi, une
force d’attraction entre deux objets ponctuels de masse m :
M m
F  G 2
r
où G  6,67  10 11 N  m 2 / kg 2
page 11
m
M
r
En particulier, le poids d’un objet posé à la surface de la Terre peut se calculer grâce à cette
formule.
Applications :
1. Calculer la force d’attraction exercée par la Lune sur la Terre.
2. Extraire l’expression de g et calculer sa valeur à l’aide des
informations suivantes : M Terre  5.97  10 24 kg , RTerre  6370 km
m
MT
RT
Orbites de satellites en mouvement circulaire
On suppose que la masse du corps central (Terre, Soleil) est beaucoup plus grande que la
masse du corps en orbite (satellite, planète). Cela nous permet de traiter le corps central
comme fixe. On néglige aussi les forces d’amortissement (frottement d’air dans les cas
d’orbites basses). Selon la deuxième loi de Newton, on peut écrire :
F  ma
GMm mv 2

r2
r
GM
La vitesse orbitale est donc : v orb 
r
2r
La période de l’orbite est : T 
de sorte que :
v orb
2
T
r3
GM
4 2 3
Que l’on peut exprimer ainsi : T 
r
GM
T2
ou bien : 3   il s’agit de la troisième loi de Kepler, établie en 1619.
r
Application :
Calculer le rayon de l’orbite d’un satellite géostationnaire.
2
Chapitre 3
Le mouvement circulaire uniforme
page 12
Les lois de Kepler
PREMIERE LOI OU LOI DES
ORBITES ( 1605) :
DEUXIEME LOI OU LOI DES AIRES
(1604) :
DANS LE REFERENTIEL
HELIOCENTRIQUE, L'ORBITE DE
CHAQUE PLA NETE EST UNE ELLIPSE
DONT L'UN DES FOYERS EST OCCUPE
PAR LE SOLEIL.
LE MOUVEM ENT DE CHA QUE PLA NETE EST
TEL QUE LE SEGM ENT DE DROITE RELIA NT
LE SOLEIL ET LA PLANETE BA LAIE DES
AIRES EGA LES PENDANT DES DUREES
EGA LES
Ellipse : F et F' sont les foyers ; 2a
représente le grand axe , 2b le petit axe de
l'ellipse
M est la position du satellite et dans le cas d
'une ellipse on a : MF + MF' = Constante.
TROISIEME LOI OU LOI DES PERIODES (1618) :
POUR TOUTES LES PLANETES, LE RAPPORT ENTRE LE
CUBE DU DEMI GRAND AXE (r) DE LA TRAJECTOIRE ET
LE CARRE DE LA PERIODE (T) EST LE MEME.
Cette constante est indépendante de la masse de la
planète.
Pour les différentes planètes du système solaire on a :
Chapitre 3
Le mouvement circulaire uniforme
page 13
Exercices
1. On fait tournoyer une pierre de 0,5 kg à
l’aide d’un fil de 80 cm. Calculer la force
exercée par le fil si la pierre tourne à
raison de 1 tour par seconde. On néglige
la pesanteur.
2. Une voiture entre dans un virage de 30 m
de rayon. L’adhérence maximale des
pneus est de 4'000 N. Calculer la vitesse
maximale à laquelle la voiture peut
négocier cette courbe sans déraper.
3. Calculer la valeur de force qui retient la
Terre dans son orbite autour du Soleil.
4. Calculer la force de gravitation exercée
entre deux homme de 80 kg chacun
distants de 20 cm.
5. Calculer la valeur de l’accélération d’un objet qui tombe à la surface de la Lune, de Mars.
6. Que devient la vitesse orbitale d’un satellite, en mouvement circulaire, s’il s’éloigne de la
Terre ?
7. La lune Io de Jupiter est en orbite circulaire de rayon 4,22  10 5 km avec une période de
1,77 jour. Calculer la masse du Jupiter à l’aide de ces données.
8. Saturne est éloignée du Soleil environ 9,5 fois plus que ne l’est la Terre. Calculer sa
période orbitale.
9. Calculer la vitesse d’un satellite géostationnaire.
10. Calculer la période de la station orbitale internationale sachant qu’elle vole au dessus de
nos têtes à une altitude de 300 km