EXERCICE I étude de satellites d`observation 5 points

Amérique du Sud 2007- EXERCICE I. ÉTUDE DE SATELLITES D'OBSERVATION (5 points)
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1. ENVISAT : un satellite circumpolaire.
1.1.1.
figure 1
FT S
T
u
S
R
h
m.M
.u
(R 
h) 2
Expression vectorielle de la force exercée par la Terre T sur le satellite S : FTS  G
avec u vecteur unitaire orienté de S vers T.
m.M
(R 
h) 2
1.1.2. Valeur de la force FTS  G.
En exprimant les distances en mètres, on a : FTS  6,67  10 .
11
8200  5,98  1024
6,38  10
6

3 2
 800  10
= 6,34  104 N
1.2. Le satellite est étudié dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. La deuxième loi de Newton
donne FT S  m.a
m.M
G
.u  m.a
(R 
h) 2
G.M
.u
finalement: a 
(R 
h) 2
1.3. Le vecteur accélération a une valeur constante si l’on considère son altitude h constante.
direction : droite reliant les centres de la Terre et du satellite
sens : vers la Terre
A
a
a
B
figure 2
Terre
a
C
v2
.u
(R 
h)
1.4. Dans le cas d'un mouvement circulaire et uniforme, le vecteur accélération s'écrit : a 
En identifiant les deux vecteurs accélération il vient :
soit finalement
v=
G.M
.
Rh
v2
G.M

(R 
h)
 R  h 2
1.5. Application numérique: avec les distances en mètre il vient
v
6,67  1011  5,98  1024
= 7,45103 m.s-1 = 7,45 km.s-1.
6
3
6,38

10

800

10


1.6. Le satellite parcourt le périmètre 2.(R+h) de la trajectoire pendant la durée T d'une période à la vitesse v
donc
2.(R h)
2 (R h)

T=
T
v
6
3
2 (6,38 10


800 10
 )
T=
= 6,05103 s
3
7,45  10
v=
calcul effectué avec la valeur non arrondie de v
2. METEOSAT 8 : un satellite géostationnaire.
2.1. Pour être géostationnaire un satellite doit avoir :
- une orbite circulaire dont le centre est le centre T de la Terre et parcourue dans le même sens que
le sens de rotation de la Terre,
- une orbite contenue dans le plan de l'équateur terrestre,
- une période T égale à la période de rotation propre T0 de la Terre autour de l'axe des pôles.
2.2. La question1.6. donne T =
2(R 
H)
v
La question 1.4 donne v =
donc
G.M
donc
R H
T2 =
42(R 
H)
2
v
v² =
G.M
R H
2
En reportant v² dans T² il vient :
T2
42(R 
H)
=
G.M
T2
3
et finalement
R  H3
42

G.M
En posant r = R + h on retrouve bien la troisième de Kepler avec la constante K telle que
K=
4 2
G.M
42
= 9,90  10–14 S.I
6,67  10 11  5,98  10 24
T2
2.3.
K
R  H3
K=
1/ 3
 T2 
R+H= 

K 
, pour METEOSAT 8 qui est un satellite géostationnaire, T = T0 = 1436 min = 86 160 s.
1/ 3
 T02 
R+H= 

K 
1/ 3
 861602 
R+H= 
14 
 9,90  10 
= 4,22107 m = 4,22104 km
calcul effectué avec la valeur non arrondie de K
H = 4,22104 – 6,38103 = 3,58104 km
On retrouve bien une valeur voisine de 36 000 km comme indiquée dans l'énoncé.
2.4.
2.4.1. On a
2r = rP +2R + rA
Terre
rA  36 000 km
rp
avec rP = 200 km et rA = 36 000 km
P
rP  2R  rA
2
200  2  6,38  103  36000
 24 480 km
r=
2
T2
2.4.2. La troisième loi de Képler donne 3  K

r
donc
T=
A
r=
9,90  10 14 (24480 10
 )3
3
= 3,81104 s
2r
2R
T=
K.r 3
calcul effectué avec la valeur non arrondie de K