4.3-4.5 Potentiel et charges ponctuelles

4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
Nous avons vu qu’il y avait une différence de potentiel entre deux
points dans un champ électrique.
Nous savons que nous pouvons utiliser cette différence de
potentiel pour prévoir le mouvement de particules dans une
région de l’espace.
Nous calculerons cette fois-ci, cette ∆V (d.d.p.) entre deux points au
voisinage d’une charge ponctuelle, d’abord, pour ensuite
généraliser la démarche au calcul de quelques charges
ponctuelles ainsi que pour l’extérieur des objets conducteurs.
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
Nous calculerons cette fois-ci, cette d.d.p. ∆V entre deux points au
voisinage d’une charge ponctuelle, d’abord, pour ensuite généraliser
au calcul de quelques charges ponctuelles ainsi que pour
l’extérieur des objets conducteurs
Dans une prochaine section nous verrons comment
appliquer ces calculs à un générateur Van de Graaff
Illustration: Hyperphysics
( Voltage, voltage concepts)
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
B
rB
Le potentiel V en un point B au
voisinage d’une charge ponctuelle ou
d’une sphère de métal chargée est
donnée par la relation suivante :
Q
kQ
VB =
rB
(V )
On constate que le potentiel en un point dépend uniquement de
la charge Q et de la position du point B. Valide également à
l’extérieur des sphères de métal chargées.
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
B
rB
E
A
rA
La différence de potentiel ∆V entre
deux points A et B au voisinage d’une
charge ponctuelle ou d’une sphère
de métal chargée est donnée par la
relation suivante :
1 1
VB − V A = kQ − 
 rB rA 
(V )
On constate que la différence de potentiel entre deux points
dépend uniquement de la charge Q et des positions initiale et
finale. Valide également à l’extérieur des sphères de métal
chargées.
De plus, en regardant les lignes de champ, on voit que VA > VB
Que faut-il savoir à propos de ces
formules?
Comment les démontrer ?
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
Démonstration :
Appliquons la définition de ∆V entre deux points A et B au
voisinage d’une charge ponctuelle ou d’une sphère de métal
chargée
B 

VB − V A = − ∫ E • ds
(V)
Partant de la définition
A
E
B
ds
r
Q
θ
E
A
Nous aurons une
petite dV, pour un
petit déplacement
ds
 
E • ds
Eds cos θ
kQ
E= 2
r
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
Eds cos θ
E=
kQ
r2
Quelle est la variable ?
B
C’est la position r
ds
dr = ds cos θ
θ
r
dr
Q
E
Eds cos θ = Edr
A
 
VB − V A = − ∫ E • ds
B
(V)
A
 
VB − V A = − ∫ E • ds
B
A
(V)
kQ
VB − V A = − ∫ Edr = - ∫ 2 dr
A r
A
B
B
(V)
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
kQ
VB − V A = − ∫ Edr = - ∫ 2 dr
A
A r
B
B
θ
r
dr
A
ds
E
B
kQ 
kQ

V − V = - ∫ dr =  
r
 r 
B
B
B
A
A
2
1 1
VB − V A = kQ − 
 rB rA 
A
(V )
On constate que la différence de potentiel entre deux points
dépend uniquement de la charge Q et des positions initiale et
finale. Valide également à l’extérieur des sphères de métal
chargées.
De plus, en regardant les lignes de champ, on voit que VA > VB
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
Rappel:
Nous avons utilisé le fait que le champ électrique est
conservatif. Ainsi, comme en mécanique, le travail fait par la
force électrique associée à ce champ est indépendant du
chemin que nous prenons pour aller d’un point A à un point B.
Ce qui nous a permis de définir l’énergie potentielle
électrique. Cette forme d’énergie est reliée seulement aux
forces conservatives.
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
Revenons à la différence de potentiel autour d’une charge
ponctuelle ou d’une sphère chargée.
1 1
VB − V A = kQ − 
 rB rA 
(V )
Comme nous avons vu, on
peut également définir le
potentiel V en un point au
voisinage de la charge par :
E
Partant de la définition
 
V = − ∫ E • ds + V
B
B
A
Si l’on choisit VA = 0 lorsque rA =∞
A
(V)
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
On obtient
1 1 
VB − 0 = kQ − 
 rB ∞ 
(V )
Par conséquent, l’équation du
potentiel en un point sera
kQ
V =
r
500 V
1000 V
2000 V
(V )
Tous les points à la même
distance de la charge auront
le même potentiel: ils
formeront une équipotentielle
comme nous l’avons déjà vu.
Ligne équipotentielle
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
-500 V
500 V
-
+
1000 V
Ligne équipotentielle
Barrière de potentiel
-1000 V
- 2000 V
2000 V
Ligne équipotentielle
Puits de potentiel
Tous les points à la même distance de la charge auront le
même potentiel: ils formeront une équipotentielle comme
nous l’avons déjà vu.
Simulation : Équipotentielles
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
Quelle est la relation entre le potentiel et le champ pour charge
ponctuelle, pour une sphère conductrice et à l’extérieur d’une
sphère uniformément chargée?
kQ
E= 2
r
kQ
V=
r
Pour ces cas particuliers seulement ,nous avons
V = Er
ou
V
E=
r
Remarque, en mesurant V, on calcule facilement E
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles.
Autres cas particuliers : À la surface et à l’extérieur de la sphère
isolante uniformément chargée:
V=
+
+
+
+
+
+
+
kQ
r
E=
kQ
r2
r
V= ER
+
E
+
R
ou
V
E=
R
À l’intérieur , il faut obligatoirement
prendre le cas général
V = Er
V
E=
r
Er
dV
= −
dr
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
Le potentiel électrique résultant en un point au
voisinage de plusieurs charges ponctuelles sera
donné par la somme des potentiels individuels
q1
r1
(V )
+
r2
q2
VR
VR = V1 + V2 + V3
-
r3
kq1 kq 2 kq 3
VR =
+
+
r1
r2
r3
(V )
Où q2 est négative
q3
+
On applique ici aussi le principe de superposition
Voir l’exemple 4.6 du manuel
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
La fonction potentiel pour une charge ponctuelle
positive aura la forme suivante :
V(x)
kQ
V ( x) =
x
Barrière de
potentiel
+
(V )
x
Illustration de la fonction potentiel d’une charge ponctuelle
positive. Moins visuel que les lignes de champ
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
La fonction potentiel pour une charge ponctuelle
négative aura la forme suivante :
V
_
Simulation :
Équipotentielles
x
Puits de potentiel
− kQ
V ( x) =
x
(V )
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
La fonction potentiel pour deux charges ponctuelles,
une positive et une négative :
E=0
V
x
_
Remarque: Il y a deux endroits où le potentiel est nul.
À quel endroit le champ est-il nul?
Pente nulle
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
Illustration du potentiel
Dans le cas de plusieurs charges ponctuelles, les
équipotentielles constituent une façon de visualiser les
potentiels électriques.
Équipotentielles 2D
Equipotentielles 3D
http://surendranath.tripod.com/
http://www.falstad.com/vector2de/
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
La fonction résultante du potentiel électrique produit par deux
charges ponctuelles de même signe aura la forme suivante: :
V
x
À quel endroit le champ électrique est –il nul ?
E=−
Au centre, à l’endroit où la pente de potentiel est nulle
dV
dr
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
q1
q2
Que va-t-il arriver si les deux charges sont libres
de se déplacer?
Elles vont acquérir de l’énergie cinétique ∆K
q1
q2
D’où viendra cette énergie?
De la perte de l’énergie potentielle - ∆U = ∆K
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
D’où viendra cette énergie?
De la perte de l’énergie potentielle - ∆U = ∆K
q2
q1
r
Comment calculer l’énergie potentielle électrique initiale lorsque
les deux charges sont séparées d’une distance « r » ?
Comme nous avons vu au début, en calculant le travail fait
par un agent extérieur pour prendre les charges à l’infini et
les amener à vitesse constante dans cette position.
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
q2
q1
r
Comment calculer l’énergie potentielle électrique initiale lorsque
les deux charges sont séparées d’une distance « r » ?
En calculant le travail fait par un agent extérieur pour
prendre les charges à l’infini et les amener à vitesse
constante dans cette position.
ou bien, partir de la
définition:
Or, le potentiel la charge
ponctuelle q2 est donné par :
U12 = q1V2
kq 2
V2 =
r
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
q2
q1
r
Òu bien partir de la
définition:
Or, le potentiel la charge
ponctuelle q2 est donné par :
Par conséquent,
U12 = q1V2
kq 2
V2 =
r
kq1q 2
U12 =
r
J
C’est l’énergie potentielle électrique emmagasinée
dans un système de deux charges en fonction de la
position de ces charges.
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
q2
q1
r
Par conséquent,
kq1q 2
U12 =
r
J
La perte de l’énergie potentielle se transformera
en gain d’énergie cinétique
- ∆U = ∆K
L’énergie électrique emmagasinée dans l’atome d’hydrogène
se calcule avec cette équation.
Nous verrons plus loin comment généraliser l’énergie
emmagasinée dans plusieurs charges notamment en
physique atomique, moléculaire et nucléaire.
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4.3 ∆V, V et énergie potentielle U associés aux charges
ponctuelles
Résumé : Voir
Hyperphysics
Voltage, charges distribution
Voltage concepts.
Applications des définitions ∆ V, V et U dans différentes
situations associées aux charges ponctuelles.
Les équipotentielles
Relation entre E et V.
Application du principe de conservation de l’énergie
mécanique pour l’analyse du mouvement des particules
chargées
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