Coexistence dans un même organisme de différentes formes d`ADN

Coexistence dans un même organisme de différentes formes d’ADN
mitochondrial :
observation d’un modèle stochastique
Christine Reder
Institut de Mathématiques (UMR 5251)
Université de Bordeaux 1 (France)
Saint-Louis (Sénégal), 14-09-07
1
Modélisation de la mitochondrie à Bordeaux 1 et 2 (France) : Jean-Pierre Mazat
(biologie), Marie Aimar (informatique), Christine Nazaret et C. R. (maths), Juan
Elezgaray (physique), ...
noyau
cellule
cytoplasme
une mitochondrie :
respiration cellulaire,
stockage et restitution de l’énergie
ADN mitochondrial (ADNmt)
.
2
Une cellule contient beaucoup de copies d’ADNmt.
Une mutation peut donc n’affecter qu’une partie de ces molécules.
Un tissu cellulaire est un patchwork de cellules ayant
différents niveaux de mutation
(niveau de mutation d’une cellule = nbre d’ADNmt mutées / nbre d’ADNmt total)
number of cells
step n
0%
un tissu hétéroplaste
son portrait génétique
mutation level
(grey level)
100%
.
3
Rôle du portrait génétique
Exemple : transmission du polymorphisme mitochondrial d’une femelle à ses descendants
50%
??
??
.
4
Rôle du portrait génétique
Exemple : transmission du polymorphisme mitochondrial d’une femelle à ses descendants
50% ovary
ovules drawn
out of the ovary
0%
100%
0%
100%
0%
100%
VARIOUS TYPES OF GENETIC PORTRAITS
.
4-a
Le portrait génétique d’un tissu (d’un organisme, d’une culture cellulaire, etc.) est
le résultat du développement de ce tissu.
step 0
step 2
step 1
number of cells
step 0
0%
step 1
100%
0%
step n
100%
mutation level
(grey level)
100%
0%
5
Le portrait génétique d’un tissu (d’un organisme, d’une culture cellulaire, etc.) est
le résultat du développement de ce tissu
step 0
step 1
step 2
Points-clés :
- répartition des ADNmt entre les deux cellules-filles lors de la mitose.
- processus intra-cellulaires entre 2 mitoses : réplication ou “mort” de molécules
d’ADNmt,
- développement “mécanique” du tissu.
5-a
Utilisation du modèle :
- conséquences des caractéristiques de la mutation (neutre ou non), du mode de
développement du tissu, etc., sur le portrait génétique du tissu : forme et variabilité,
évolution du niveau moyen de mutation, vitesse de prolifération cellulaire, etc.
- transmission du polymorphisme mitochondrial d’une femelle à ses descendants
- évolution du polymorphisme à l’échelle d’une population d’individus
Portrait génétique : observable expérimentalement.
Utiliser le portrait génétique pour étudier :
- la transmission du polymorphisme lors d’une mitose
- les mécanismes de réplication-répartition des ADNmt lors du cycle cellulaire
(rôle de la compartimentation par les mitochondries, le cytoplasme se comportet-il comme un liquide qui brasse les ADNmt ou comme une pâte plus ou moins
visqueuse ?) : le bi-morphisme de l’ADNmt peut être utilisé comme un traceur ( ?).
6
step 0
step 1
α2
α1
β
γ
mitose (2) sw
div2
mitose (1) sw
div1
no mitose
death
.
état à l’étape n : nombre de cellules
processus de Galton-Watson
7
step 0
step 1
α2
α1
β
γ
mitose (2) sw2
div2
mitose (1) sw1
div1
no mitose
turnover
death
.
état à l’étape n : le nombre de cellules de chaque type, i.e. le portrait génétique
processus de Galton-Watson multi-type
8
Niveau cellulaire
Hypothèse : le nombre d’ADNmt par cellule est une constante m
Modelisation des sous-processus ; exemple :
step n
step n+1
mitose (2) sw2
div2
step n
step n+1
sw
duplication
(basic or at random)
div2
random partition
9
Questions mathématiques classiques sur les Galton-Watson multi-types : décrire
le comportement asymptotique quand le nombre d’étapes tend vers l’infini, ...
step 0
step 2
step 1
number of cells
step 0
0%
step 1
100%
0%
100%
mutation level
(grey level)
100%
0%
10
.
.
step 0
step 2
step 1
.
number of cells
step 0
0%
step 1
100%
0%
100%
0%
mutation level
(grey level)
100%
10-a
step 0
step 2
step 1
.
number of cells
step 0
0%
step n
step 1
100%
0%
100%
0%
mutation level
(grey level)
100%
modèle mtDNA : décrire le régime transitoire
Conditions suffisantes pour une faible variabilité de la suite des portraits ?
10-b
simulations : mtHScop (Scilab, Linux ou autres systèmes)
.
11
simulations
12
État du processus stochastique :
X(n) = [X0(n), ...., Xm(n)]
Xi(n) = nbre de cellules de niveau de mutation i/m à l’étape n
Portrait génétique (aléatoire, observable expérimentalement) :
X(n)/ ∑ Xi(n)
i
∑i Xi(n) = N(n) = nombre total de cellules
Espérance “normalisée” (processus déterministe)
E(X(n))/ ∑ E(Xi(n)) = E(X(n))/E(N(n))
i
(portrait qu’on obtiendrait en partant d’un très grand nombre de cellules ayant
même niveau de mutation).
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Théorème(s) : Si le nombre d’ADNmt par cellule est infiniment grand, et sous
certaines hypothèses, la suite des portraits est quasi-déterministe.
Presque sûrement, elle est infiniment proche (topologie faible) de la suite, déterministe, des espérances normalisées , elle-même infiniment proche d’une suite
obtenue par résolution d’une EDP.
Par exemple, pour le modèle neutre “basique”, le portrait à l’étape n est infiniment
proche de u( . , t = n/m), où u est la solution de
(EDP)
∂u 1 ∂2
( l(1 − l) u ) u( . , t = 0) = δl0
=
2
∂t 2 ∂l
où t = le temps, l = le niveau (level) de mutation.
(équation du type Fokker-Planck).
14
Modèle-expérience : possibilité de comparaison quantitative des portraits
(topologie faible ⇔ distance L2 sur les “portraits cumulés”)
cumulated proportion of cells
1
0.5
l_Opt=0.14 t_Opt=0.25
d_Opt=0.015
0
0
0.5
mutation
level
1
portrait cumulé de l’ovaire d’une femme, 82 cellules analysées (Brown et al., 2001)
portrait cumulé obtenu par ajustement des paramètres du modèle neutre
15
Trame de la preuve : si le nombre d’ADNmt par cellule est infiniment grand, et
sous certaines hypothèses [...] :
1- à partir du moment où il y a beaucoup de cellules (/m), l’évolution du portrait est
quasi-déterministe (topologie L1[0, 1] : niveau de mutation = variable “qualitative” )
2- tant que le nombre d’étapes est assez petit (/m), le portrait est presque le Dirac
initial, (topologie faible sur les mesures sur [0, 1] : niveau de mutation = variable
“topologique” )
3- recoller 1 et 2
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Les résultats sont obtenus si la non-neutralité de la mutation n’est pas trop
forte.
(Mutation non-neutre :
- la mutation peut agir sur la capacité de réplication de l’ADNmt
- le niveau de mutation d’une cellule peut agir sur sa capacité à se diviser (ou à
survivre)
Mutation neutre sinon.)
Expérimentations avec mtHScop :
- test de la nécessité des hypothèses des théorèmes pour assurer une faible variabilité ?
- test de la validité pratique des énoncés (dans les simulations comme dans la réalité, le nombre d’ADNmt par cellule n’est pas “infiniment grand”...)
- observations qualitatives et quantitatives : forme des portraits, niveau moyen de
mutation, vitesse de croissance du tissu, variabilité, etc.
- comprendre le fonctionnement de ces processus stochastiques de Galton-Watson.
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Exemple de proposition issue de l’observation d’un portrait expérimental non
dégénéré : le cytoplasme ne se comporte pas comme un liquide qui brasse
les ADNmt. (modèle, neutre ou non → incompatibilité entre les ordres de grandeur
réels du nombre d’étapes de divisions n et du nombre d’ADNmt par cellule).
(nombre réel d’ADNmt par cellule) / (m du modèle) ≈ viscosité mitochondriale ?
“Théorème” : avec m = nombre de mitochondries par cellule (au lieu du nombre
d’ADNmt), le modèle est un modèle simplifié (de type “gros-grain”) d’un modèle où
sont représentés les 3 niveaux ADNmt, mitochondrie, cellule.
cell
mitochondrion
(coarse grain)
mtDNA
.
18
.
19
- processus de Galton-Watson : Harris (1963), Athreya et Ney (1971)
- analyse non-standard et probabilités : Nelson (1987)
- ANS et discret → continu : Jacques Harthong, Claude Lobry
- biologie : Jean-Pierre Mazat
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