03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb

Nombres complexes . Trigonométrie
I) Ensemble des nombres complexes
1) Définition
2) Partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique
3) Egalité de deux complexes
4) Opérations + et × dans 
5) Représentation géométrique des complexes
6) Ordre dans 
II) Conjugué . Module
1) Définitions
2) Interprétation géométrique
3) Inverse d’un complexe non nul
4) Propriétés
5) Inégalité triangulaire
III) Argument d’un nombre complexe
1) Nombres complexes de module 1
2) Notation e
i
t
3) Argument
4) Interprétation géométrique
5) Exemple
6) Propriétés
7) Forme trigonométrique d’un complexe
8) Exercices
IV) Racines d’un complexe
1) Définition
2) Calcul algébrique des racines carrées
3) Résolution des équations du second degré
4) Racines n-ièmes de 1
5) Résolution de l’équation z
n
=a
V) Utilisations des nombres complexes en géométrie
1) Liens distance-module et angle-argument
2) Points alignés, droites orthogonales
3) Exercices
4) Transformation du plan
5) Translation, homothétie, rotation
VI) Utilisations des nombres complexes en trigonométrie
1) Formules d’Euler
2) Formules utiles
3) Linéarisation
4) Calcul de sommes trigonométriques
5) Exercice
VII) Exponentielle complexe
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VII)
Exponentielle
complexe
1) Définition
2) Propriété fondamentale
3) Proposition
VIII) Trigonométrie
1) Ce qu’il faut savoir par cœur ou savoir retrouver rapidement
2) Exercices
I) Ensemble des nombres complexes
1) Définition
VS (Version Symbolique) : on pose =
9
x+i y
ê
H
x,y
L
œ
2
=
VF (Version Française) :  est l’ensemble des nombres z qui peuvent s’écrire sous la forme z=x+i y avec x et y deux réels
quelconques.
Le nombre i est un nouveau “nombre”. Il vérifie i
2
= -1.
Remarquons que:
(1) Cette définition de l’ensemble  n’a pas de sens... Qu’est-ce que c’est que ce nombre i, surgissant de nulle part ? On
peut présenter  plus rigoureusement, mais nous nous contenterons de celle-ci.
(2) Ce n’est pas la première fois que vous êtes confrontés (sans le réaliser) à une définition peu rigoureuse. Si vous n’en
êtes pas convaincu, essayez de donner par exemple la définition d’un angle, d’une droite ou d’un nombre réel....
2) Partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique
(1) Etant donné z=x+i y un nombre complexe (avec x,yœ), on pose Re z=x et Im z=y .
Re
z
est la partie réelle de z et Im z est la partie imaginaire de z.
(2) L’écriture z=x+i y du nombre complexe z (avec x,yœ) est l’écriture (ou la forme) algébrique de z .
Par exemple avec z=i-2 , Re
H
z
L
= -2 et Im
H
z
L
=1
3) Egalité de deux complexes
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes parties réelles et imaginaires.
Soient z=x+i y et z'=x'+i y' deux complexes écrits sous forme algébrique. Alors:
z=z'ñx=x' et y=y'ñRe
H
z
L
=Re
H
z'
L
et Im
H
z
L
=Im
H
z'
L
4) Opérations + et × dans 
Soient z=x+i y et z'=x'+i y' deux complexes écrits sous forme algébrique
On pose: z+z'=
H
x+x'
L
+i
H
y+y'
L
et zäz'=
H
x x '-yy'
L
+i
H
x y'+x'y
L
.
En particulier i
2
= -1 .
On pose a=1-i et b= -3+4i. Calculer a+b , a
2
, a
4
, aäb et b
2
.
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5) Représentation géométrique des complexes
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct:
(1) au complexe z=x+i y est associé le point M
x
y , appelé image de z dans le plan, noté
M
H
z
L
.
(2) au point M
x
y est associé le complexe z=x+i y, appelé affixe de M et noté noté z
M
.
6) Ordre dans 
Il n’y a pas d’ordre dans  prolongeant l’ordre usuel b sur  et compatible avec la multiplication .
(Il faudrait avoir zr0 et z'r0flz z'r0)
En effet: si ir0 alors on doit avoir i
2
r0, ce qui est faux, et si ib0 alors on doit avoir i
2
r0, ce qui est faux
II) Conjugué . Module
1) Définitions
Soit z=x+i y un complexe écrit sous forme algébrique. On définit:
(1) le conjugué z de z par z=x-i y
(2) le module z de z par z=x
2
+y
2
=z z
2) Interprétation géométrique
Si z est l’affixe du point M, alors:
(1) z=O M
(2) M
H
z
L
est le symétrique par rapport à la droite Ox du point
M
H
z
L
3) Inverse d’un complexe non nul
Soit zœ
*
un nombre complexe non nul. Alors
1
z
=
z
-
z
2
.
On pose a=1-i et b= - 3+4i. Calculer sous forme algébrique
1
a
,
1
b
et
a
b
.
4) Propriétés
"z,tœ , on a:
(1) z+t=z+t et zät=zät .
(2) z=z .
(3) Re
H
z
L
=
z+z
-
2
et Im
H
z
L
=
z-z
-
2
i
(4) zœñz=z et zœiñz= -z ( i=
8
i y
ê
yœ
<
est l’ensemble des imaginaires purs)
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Et:
"z,tœ , on a:
(1) z=0ñz=0.
(2)
z
ä
t
=
z
ä
t
et
z
t
=
z
t
( si t∫0 )
(3) z=z .
(4) z
M
=O M et z
B
-z
A
=A B .
Trouver deux entiers naturels a,b vérifiant a
2
+b
2
=
I
3
2
+5
2
M
I
7
2
+4
2
M
5) Inégalité triangulaire
"
z
,
t
œ
,
z
+
t
b
z
+
t
. Il y a égalité lorsqu’il existe l œ 
+
tel que z= l t ou t= l z
III) Argument d’un nombre complexe
1) Nombres complexes de module 1
Soit z=x+i y un complexe. Alors
§
z
§
=1ñ $ tœ
ì
:
x
=
cos
t
y=
sin
t .
On note  l’ensemble des nombres complexes de module 1. On a =
8
cos
H
t
L
+isin
H
t
L
ê
tœ
<
.
sin(t)
cos(t)
t
z=eit
1
1
2) Notation e
i
t
On pose e
i
t
=cos
H
t
L
+isin
H
t
L
pour tœ.
Cette notation se justifie car on retrouve la propriété de base de calcul de l’exponentielle:
"t,t'œ,e
i
H
t
+
t
'
L
=e
i
t
e
i
t
'
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3) Argument
Soit zœ
*
et q œ . Alors q est un argument de z ñ z=z e
i
q
.
On écrit alors arg
H
z
L
= q
@
2p
D
, car, si q est un argument de z, les autres sont q + 2kp avec kœ.
Attention: z=0 n’a pas d’argument
4) Interprétation géométrique
q = Arg
H
z
L
=
K
O x,O M
H
z
L
O
@
2p
D
M(z)
q
= arg(z)
0 x
y
5) Exemple
Calculer un argument de a= -1+i et b=i-3
6) Propriétés
"z,z'œ
*
, arg
H
zäz'
L
=arg
H
z
L
+arg
H
z'
L
@
2p
D
et arg
z
z
'
=arg
H
z
L
-arg
H
z'
L
@
2p
D
7) Forme trigonométrique d’un complexe
a) Définition
Tout complexe z∫0 peut se mettre sous la forme z=r e
i
q
avec r=
§
z
§
>0 et
q
=
Arg
H
z
L
œ
. Une telle écriture est une
forme trigonométrique de z. Elle n'est pas unique, car on peut remplacer q par q + 2kp avec kœ.
b) Calcul sur les nombres complexes mis sous forme trigonométrique
Soient r,r' œ ]0,+¶[ et q,q'œ et nœ. Alors:
(1) r e
i
q
r'e
i
q
'
=r r 'e
i
H
q
+
q
'
L
et (2)
r e
i
q
r
'
e
iq'
=
r
r
'
e
i
H
q-q'
L
(3)
I
r e
i
q
M
n
=r
n
e
i
n
q
et (4)
H
cos
H
q
L
+isin
H
q
L
L
n
=cos
H
nq
L
+isin
H
nq
L
(Formule de Moivre)
(5) cos
H
q
L
=
e
i
q
+e
-
i
q
2
et sin
H
q
L
=
e
i
q
-e
-
i
q
2
i
(Formules d’Euler)
8) Exercices
a) Calculer les parties réelles et imaginaires de a=
1-i3
1
+
i
10
et de b=
1+2+i
1
+
2
-i
10
.
b) Prouver que "a,bœ,e
i a
+e
i b
=2 cos
H
b-a
L
2
e
i
H
a
+
b
L
2
.
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