Dipôle R, L.

Lycée Galilée Gennevilliers
Le dipôle R, L série
chap. 2
Jallu Laurent
I.
Le solénoïde .................................................................................................................... 2
Présentation ................................................................................................................. 2
Auto induction ............................................................................................................. 3
 Tension aux bornes du solénoïde ............................................................................. 3
 Symbole ................................................................................................................... 3
II. Le dipôle R, L série ...................................................................................................... 4
L’échelon de tension .................................................................................................... 4
 Interprétation microscopique ................................................................................... 5
Étude théorique ............................................................................................................ 6
Solution algébrique. ....................................................................................................... 6
Solution numérique Méthode D’Euler............................................................................ 8
Remarques .................................................................................................................. 9
III. Constante de temps du dipôle R, L série .................................................................. 10
Annexe
Énergie du solénoïde ....................................................................................... 11
TS 2008-2009
Jallu L.
Le dipôle R, L série
Évolution temporelle des systèmes électriques
Le dipôle R, L série
I. Le solénoïde
Présentation
uAB = uR
+
en éloignement
uL (en V)
0,4

uAB = uR = R i > 0
i positive
Attraction magnétique
sans
déplacement
1
t (en s)
en approche
0
u
=u =Ri <0
AB
R

i négative
Répulsion magnétique
déplacement
rapide
déplacement
lent
en approche
uAB (en V)
0,4
uAB = uR = R i > 0

i positive
Répulsion magnétique
sans déplacement
1
t (en s)
en éloignement
0
uAB = uR = R i < 0
CHAP II
2 / 11

i négative
Attraction magnétique
TS 2008-2009
Jallu L.
Le dipôle R, L série
Évolution temporelle des systèmes électriques
Il apparaît aux bornes du solénoïde « une tension induite uAB», qui génère « un courant

induit i » lorsque le circuit est fermé. Ce courant i, par le champ magnétique B qu’il crée au

sein même du solénoïde, s’oppose aux variations du champ B ' de l’aimant droit lors de son
déplacement. Le solénoïde est le siège d’un phénomène qui vérifie la « Loi de Lenz : Le sens
du courant d’induction est toujours tel que le champ magnétique qu’il crée diminue les
variations du champ magnétique qui ont produit ce courant d’induction ». C’est « l’induction
magnétique ».
Auto induction
Lorsque le solénoide est traversé par un courant i que l’on installe par un générateur, il

N
crée son propre champ magétique : par exemple, B =
i , perméabilité magnétique

du milieu avec
= 4π × 10–7 S.I. celle du vide, N nombre de spires et  la longeur du
0

solénoïde « infiniment long ». Si ce champ B varie avec i, alors le solénoïde est le siège
d’une « auto induction » qui tente de s’opposer à ses propres variations imposées de i. À
ses bornes apparaît une « force électromotrice d’autoinduction f. e. m. e » d’autant plus
grande que les variations de i sont rapides (confère courbes ci-dessus) :
(en H, le Henry)
(en V)
L=
di
e=–L
dt
μ N2 S
(en A)

2
S section du solénoïde en m .
(en s)
L, « inductance du solénoïde », mesure sa capacité à s’auto induire (capacité de réaction
face aux variations institutionnelles). C’est une caractéristique du solénoïde avec sa
résistance « r ».
A
P

Tension aux bornes du solénoïde Elle est donc
somme des deux facteurs résistifs et inductif au
sein du solénoïde.
i
- dans la convention récepteur, le facteur résistif : ri,
- dans la convention générateur, le facteur inductif : e.
(L, r)
e
di
uAB = ri – e = ri + L
= uL
dt
+
-
uAB

G. B. F.
Symbole
si le solénoïde est « idéal ou pur » (r = 0 Ω) seul le
terme inductil intervient.
i
Équivalent
i
ri
uL
(L, r)
L
uL
ex :
L = 1 H, r = 10 Ω.
L = 1100 mH, r = 4 Ω.
B
CHAP II
N
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r
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Le dipôle R, L série
Évolution temporelle des systèmes électriques
II. Le dipôle R, L série
R
Comme lors du dipôle R, C on constate un
retard à l’allumage de la lampe. L’évolution
temporelle du dipôle R, L série doit présenter
quelques similitudes avec le dipôle R, C
série. La lampe est là encore remplacée par
cette résistance R.
+
(L, r)
+
(L, r)
L’échelon de tension
P
+
A
+
uR
R
5V
YII
uR = R i
di
uL = ri + L
dt

GBF

uGBF = E
YI
uGBF
uL
(L, r)

avec
E = 0 ou 5 V
uGBF = uPN = uAC = uR + uL
N
C



La tension uR en , image à R près du
courant i circulant dans le circuit, est
continûment positive.
Retard à l’extinction de la tension uL 
par rapport aux basculements du
générateur uGBF en .

L’intensité traversant le dipôle suit les variations de tension imposées par le
générateur mais avec une certaine « lenteur ». La tension aux bornes du
solénoïde présente cette même « lenteur » en plus du saut de discontinuité
lorsqu’elle change de signe. Au bout d’un certain temps elle s’annule, hors les basculements
du générateur.
CHAP II
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
Le dipôle R, L série
Évolution temporelle des systèmes électriques
Interprétation microscopique
La tension u en , est comme i dont elle est l’image, continue et positive. Contrairement
R
au dipôle R, C aucun point de discontinuité n’est présent dans le circuit pour interrompre le
sens du courant i imposé par le générateur uGBF en . Elle suit avec « retard » l’évolution
de celui-ci, non nulle lorsqu’il génère (uGBF = 5 V) et nulle lorsqu’il s’efface (uGBF = 0 V).
-
Lorsque la tension uGBF en  du générateur installe le courant i sous une
différence de potentiels constante de 5 V (parties gauche des oscilloscopes), la
tension uL  est brusquement positive et s’annule. Le solénoïde a réagit en
s’opposant au champ magnétique qu’il crée. Cette auto-induction dure tant que i
di
di
varie ( ≠ 0). La f. e. m. e = – L
qu’il génère, est négative. Ce
dt
dt
comportement générateur s’oppose au GBF et en ralentit l’établissement du
courant.
+
P
A
P
uL > 0
+
uR
R+ r
5V
E
i
A
+
uR= E
R+r
5V
E
u
L
L
N
Auto-induction
du solénoïde
+
C
i>0
N
i
C
Après installation du courant i, l’effet
inductif du solénoïde est terminé.
Celui-ci n’est présent dans le circuit
que sous son aspect résistif « r »
additionné à la résistance R. Si le
solénoïde est pur (r = 0 Ω) la tension
uL est alors nulle (cas de l’étude).
Le générateur bascule de 0 à 5 V et
tente d’établir le courant i positif.
Cette brusque variation di auto
induit un contre courant qui finit par
s’éteindre lorsque i est enfin
installée (i constant). Les évolutions
temporelles du courant i, de la
tension uR traduisent celle du
Sinon R et r se partagent la tension E
E
solénoïde uL.
du générateur et i =
est non
R +r
nulle.
- Lorsque la tension uGBF en  du générateur bascule à O V (parties droites des
oscilloscopes) il s’efface en provoquant de nouveau une brusque variation du
courant i. di de nouveau non nulle, le solénoïde reparaît par son induction qui
s’oppose désormais à cette variation de son champ magnétique. La f. e. m.
CHAP II
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Le dipôle R, L série
Évolution temporelle des systèmes électriques
nouvelle e alors positive, tente d’impulser un courant en concordance avec le
générateur qui s’éteint. L’extinction du courant i s’en trouve ralentie.
+
P
A
+
P
A
uL < 0
uR= E
R+r
Auto-induction
du solénoïde
uL
L
i>0
N
N
C
C
i
La disparition nouvelle du générateur
provoque une auto induction du solénoïde
puisque di <0 (le courant i s’éteint). Le
solénoïde est un générateur éphémère qui
induit un courant de même sens que i. Il en
ralentit sa disparition.
À la fin, plus aucun courant ne circule dans le
circuit. La résistance R, le solénoïde (L, r)
ont comme le générateur, « disparus » avec le
retard lié à l’auto induction. Toutes les
tensions sont ainsi nulles.
Étude théorique
+
P
A
u
PN
+
uGBF
GBF
Or
B
u
L
(L, r)
N
C
À tout instant

CHAP II
E=L
di
+ (R+ r) i.
dt
Solution algébrique
AC
AB
BC
uGBF = uR + uL
uR
R
=u =u +u
L
di
uL = ri + L
dt
di
Donc
uGBF = R i + ri + L
dt
Comme
uGBF = E,
uR = R i
et
- Équation différentielle du 1er ordre en i (t) ;
- Évolution temporelle du courant i (t).
Avec E = constante (5 V ou O V).
di
+ (R+ r) i = E ou
dt
6 / 11
di
(R + r) i – E
+
= 0.
dt
L
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
Le dipôle R, L série
Évolution temporelle des systèmes électriques
À l’établissement du courant : E = 5 V, i(0) = 0 A. Par ailleurs, y = i –
i –
.
(R + r ) t
–
L
=ke
or i(0) –
E
(R + r)
E
(R + r)
E
E
=k à t = 0 s, donc k = –
(R + r)
(R + r )
Et

–
E
i=
(1 – e
(R + r )
(R + r ) t
L
)
u (en V)
Évolution des grandeurs électriques à
l’établissement du courant

5

–
RE
uR = R i =
(1 – e
(R + r )

di
uL = ri + L
dt
(R + r ) t
L
)

(R + r ) t
(R + r ) t
–
L
L
)+ E e
–
RE
uL =
(e
(R + r)
(R + r ) t
r
L
+ )
R
–

E
et y = i .
(R + r)
(R + r ) t
L
or i(0) = k à t = 0 s, donc k =
–
E
i=
e
(R + r )
(R + r ) t
L
–
rE
di
uL = ri + L =
e
dt (R + r)
CHAP II
t (en ms)
1
À l’extinction du courant : E = 0 V, i(0) =
i =ke
R = 1 × 103 Ω
L = 1 H, r= 0 Ω
E=5V

0

E = uR + uL

–
rE
uL =
(1 – e
(R + r)

t

E
et
(R + r)
–
RE
uR = R i =
e
(R + r )
(R + r ) t
L
(R + r ) t
(R + r ) t
(R + r ) t
–
–
R
E
L
L
L
– Ee
= –
e
(R + r)
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Le dipôle R, L série
Évolution temporelle des systèmes électriques
u (en V)
5
Évolution des grandeurs électriques à
l’extinction du courant

t
0 = uR + uL

0

t (en ms)
1

R = 1 × 103 Ω
L = 1 H, r = 0 Ω
E=0V

Solution numérique
L
Méthode D’Euler
i
+ (R+ r) i = E
t
Δ i(t + Δt) = – (
i (t + Δt) = i (t) + Δ i(t)
avec
Δ i(t) = – (
(R + r) i(t + t ) – E
)Δt
L
et
i(t)
État du courant i(t + Δt)
à l’instant t + Δt.
Avec
CHAP II
i
(R + r) i – E
+
= 0.
L
t
ou
i (0) = 0
et
E
i (0) =
et
(R + r )
(R + r) i(t ) – E
)Δt
L
État du courant i(t)
à l’instant t.
« pas » Δt
E=5V
à l’établissement,
E=0V
à l’extinction.
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Le dipôle R, L série
Évolution temporelle des systèmes électriques
Établissement du courant
État
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t en s
uL(t) en V
0,00E+00
5,00E+00
1,00E-04
4,50E+00
2,00E-04
4,05E+00
3,00E-04
3,65E+00
4,00E-04
3,28E+00
u
(en
V)
5,00E-04
2,95E+00
uR(t) en V
0,00E+00
5,00E-01
9,50E-01
1,36E+00
1,72E+00
2,05E+00
2,66E+00
2,34E+00
2,39E+00
2,61E+00
2,15E+00
2,85E+00
1,94E+00
3,06E+00
1,74E+00
3,26E+00
1,57E+00
3,43E+00
1,41E+00
3,59E+00
1,27E+00
3,73E+00
2
1,14E+00
3,86E+00
1,03E+00
3,97E+00
Dipôle R, L série soumis à
échelon de tension :
Méthode d’Euler (*)
6,00E-04
5
7,00E-04
8,00E-04
9,00E-04
1,00E-03
1,10E-03
1,20E-03
1,30E-03
0
1,40E-03
1,50E-03
Extinction du courant
uL(t) en V
uR(t) en V
-5,00E+00
5,00E+00
-4,50E+00
4,50E+00
-4,05E+00
4,05E+00
-3,65E+00
3,65E+00
-3,28E+00
3,28E+00
-2,95E+00
2,95E+00
-2,66E+00R = 12,66E+00
× 103 Ω
-2,39E+00L = 1 2,39E+00
H, r = 0 Ω
E
=
5
V,
et 0 V
-2,15E+00
2,15E+00
-1,94E+00Δt = 11,94E+00
× 10– 4 s
-1,74E+00
1,74E+00
-1,57E+00
1,57E+00
-1,41E+00
1,41E+00t (en ms)
-1,27E+00
1,27E+00
-1,14E+00
1,14E+00
-1,03E+00
1,03E+00
Courbes d’Euler,
+
Courbes algébriques.
(*) Les courbes de uR = R i et de uL sont volontairement représentées conformément au
tableau de valeurs. Les colonnes Δi et ΔuL ne sont pas présentes pour plus de clarté, mais
nécessaires aux calculs.
Remarques

Là encore c’est l’évolution de i(t) qui fait l’objet de l’étude théorique. On peut
également travailler à partir de uR(t), voire uL(t).
uGBF = u R + u L
E=u +u
R
du
CHAP II
R
= – du
E=L
di
+ (R+ r) i.
dt
u
E=
L
L
(R r )
L duL
(R + r)
E=
+
u L.
R
R dt
R
9 / 11
R
=Ri
L du R
(R + r)
+
u R.
R dt
R
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Le dipôle R, L série
Évolution temporelle des systèmes électriques

Comme dans le cas du dipôle R, C les solutions algébriques ne sont pas à retenir mais
peuvent faire l’objet d’une vérification. ex :
(R+ r) t
–
RE
L du R
(R+ r)
L )
« uR =
(1 – e
est solution de
E=
+
u R ».
(R+ r)
R
R dt
–
R = RE e
dt
L
du
uR
=
–
Ee
(R+ r) t
L
RE
(1 – e
(R+ r)
–
×
L
R
×
(R+ r)
R
+
(R+ r) t
L )
(R+ r) t
(R+ r) t
–
L + E (1 – e
L ) = E.
L’équation est vérifiée !
III. Constante de temps du dipôle R, L série
Les évolutions temporelles des grandeurs électriques en dipôles R, L série sont semblables à
celles du dipôle R, C série. Elles font apparaître également ces deux régimes, « transitoire »
des grandeurs qui varient, et « permanent » lorsqu’elles sont constantes. Seul le régime
τ
transitoire nécessite une évaluation de sa durée : C’est le rôle de la « constante de temps ».
La physique de l’établissement ou de l’extinction du courant au sein du dipôle étant la même,
cette constante de temps
τ est caractéristique
des éléments du dipôle, non de son état de
τ
fonctionnement. Le régime transitoire dure environ 5 .
τ
τ
La détermination de est possible graphiquement. À , Les grandeurs sont à 63 % du final
en établissement de courant, à 37 % en extinction. C’est également l’abscisse de l’intersection
du régime permanent et de la tangente à l’origine du signal.
u (en V)
Régime
transitoire
5
Régime
permanent
63 %
37 %
0
τ
τ
2
Régime
transitoire
Régime
permanent
Constante de temps du
dipôle R, L série
CHAP II
t (en ms)
R = 1 × 103 Ω
L = 1 H, r = 0 Ω
E = 5 V, et 0 V
τ=1ms
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Le dipôle R, L série
Évolution temporelle des systèmes électriques
En supposant le solénoïde idéal (r = 0 Ω), il n’agit par auto induction que lors du régime
transitoire, au cours duquel sa tension uL subitement non nulle, va finalement s’annuler. Cette
tension uL a un signe qui dépend du comportement du GBF en créant « un contre pouvoir ».
Elle est positive en extinction et négative à l’établissement. Si le solénoïde n’est pas idéal,
son comportement en régime permanent est comparable à celui de la résistance R.
Quant à cette résistance R, sa tension uR est « au régime transitoire près » celle du générateur
puisque alors le solénoïde n’agit plus. Elle partage ou non cette tension uGBF=E avec la
résistance r éventuelle du solénoïde.
(en s)
(en H)
L
On peut également calculer à partir des caractéristiques du dipôle :
=
R
(en Ω)
τ
τ
Ce rapport est un temps et ne dépend que des caractéristiques électriques du dipôle. Il est
possible de mener une analyse dimensionnelle à partir de l’une des équations différentielles
di
i
di
R
di
i
dt =
par exemple :
+ i= + =0
+
=T
ou
dt
dt
dt
L
L
i
u dt
L
[ ]=
=
=
= T.
R
R
u
di
τ
Annexe
Énergie du solénoïde
à un instant t, l’énergie électrique aux bornes du solénoïde est :
t
t
di
Li 2
Li(t)2
Li(0)2
E = P dt = u i dt = L i dt = L i di =
=
–
L
L
dt
2
2
2C
0
0
0
0
0
avec P la puissance électrique du solénoïde idéal.
t
t
t
Au terme du régime transitoire d’établissement du courant, i(0) = 0 et i(t) =
E
, l’énergie
R+r
Li(t)2
LE 2
.
=
L
2
2
2(R + r)
E
Au terme du régime transitoire d’extinction du courant, i(0) =
et i(t) =0, l’énergie
R+r
Li(0)2
LE 2
magnétique libérée par le solénoïde est E
.
–
= –
L
2
2(R + r)2
magnétique emmagasinée par le solénoïde est E
À un instant quelconque : E (t) =
L
CHAP II
Li(t) 2
.
2
11 / 11