PROBABILITÉ 1/2

TERMINALE ES
Chapitre 9 : PROBABILITÉ 1/2
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SOMMAIRE
CONDITIONNEMENT........................................................................................................................................ 2
PROBABILITE D’UN EVENEMENT B SACHANT UN EVENEMENT A......................................................................... 2
REPRESENTATION A L’AIDE D’UN ARBRE DE PROBABILITE .................................................................................. 3
INDEPENDANCE – PROBABILITES TOTALES. .......................................................................................... 3
INDEPENDANCE DE DEUX EVENEMENTS .............................................................................................................. 3
INDEPENDANCE DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES ............................................................................................. 3
FORMULE DES PROBABILITES TOTALES ............................................................................................................... 3
MODELISATION D’EXPERIENCES INDEPENDANTES ............................................................................ 4
EXPERIENCES ALEATOIRES INDEPENDANTES ....................................................................................................... 4
REPETITION D’EXPERIENCES IDENTIQUES ET INDEPENDANTES ............................................................................ 4
CONDITIONNEMENT
Probabilité d’un événement B sachant un événement A
Exemple
Un sac contient 10 boules rouges et 7 boules jaunes. À l’intérieur de chaque boule, il y a une
bille en terre ou une bille en verre. Toutes les boules ont le même poids, quelle que soit la
nature de la bille à l’intérieur.
Terre Verre
Rouge
3
7
Jaune
5
2
On tire une boule au hasard, on l'ouvre et on observe la bille qu’elle contient.
On considère les événements :
R : « La boule tirée est rouge » ; V : « La boule tirée contient une bille en verre »
On constate que la boule tirée est rouge. On se demande quelle est la probabilité qu’elle
contienne une bille en verre.
Solution :
Parmi les 10 boules rouges, il y en a 7 qui contiennent une bille en verre. La probabilité
7
cherchée est donc
. On dit que c’est la « probabilité de l’événement V sachant que
10
l’événement R est réalisé » et on la note PR(V).
10
7
P(R ∩ V)
et P(R ∩ V) = , donc que PR(V) =
On constate que P(R) =
17
P(R)
17
Définition :
Une loi de probabilité P est définie sur l’ensemble E des issues d'une expérience aléatoire. A
et B sont deux événements et P(A) ≠ 0.
La probabilité de l’événement B sachant que A s'est réalisé, notée PA(B) est définie par
P(A ∩ B)
PA(B) =
P(A)
Conséquence : probabilité de P(A ∩ B)
P(A ∩ B)
, on tire P(A ∩ B) = PA(B) × P(A) avec P(A) ≠ 0.
P(A)
On a aussi P(A ∩ B) = PB(A) × P(B) avec P(B) ≠ 0.
De PA(B) =
Représentation à l’aide d’un arbre de probabilité
On représente la situation probabiliste étudiée à l’exemple par l’arbre pondéré suivant.
Indépendance – Probabilités totales.
Une loi de probabilité est définie sur un ensemble d’issues E.
Indépendance de deux événements
Définition
Dire que deux événements A et B sont indépendants signifie que : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Remarques
• Si A et B sont indépendants et de probabilités non nulles, alors : PA(B) =
P(A ∩ B)
=
P(A)
P(A) × P(B)
= P(B). Et aussi bien-sûr, PB(A) = P(A)
P(A)
• Si A et B sont deux événements incompatibles avec P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0 alors ils ne sont
pas indépendants car P(A ∩ B) = 0 et P(A) × P(B) ≠ 0
Indépendance de deux variables aléatoires
Définition
X et Y sont des variables aléatoires sur E.
On note x1, x2, ..., xn les valeurs prises par X et y1, y2, ..., ym celles prises par Y.
Dire que X et Y sont indépendantes signifie que pour tous i et j, les événements (X = xi) et
(Y = yj) sont indépendants.
Formule des probabilités totales
Définition
Dire que les événements B1, B2, ..., Bn forment une partition de E signifie qu’ils sont deux à
deux incompatibles et que leur réunion est E.
Théorème
Les événements B1, B2, ..., Bn forment une partition de E. Alors, pour tout événement A,
P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + … + P(A ∩ Bn) c’est-à-dire :
P(A) = PB1 (A) × P(B1) + PB2 (A) × P(B2) + … + PBn (A) × P(Bn)
Démonstration
Les événements A ∩ B1, A∩ B2, ..., A ∩ Bn sont deux à deux incompatibles et leur réunion
est A, la formule en découle.
Modélisation d’expériences indépendantes
Expériences aléatoires indépendantes
Des expériences aléatoires successives sont indépendantes lorsque le résultat obtenu à |lune de
ces expériences ne dépend pas des résultats obtenus aux expériences précédentes.
Modélisation
Dans le cas d'une succession d’expériences indépendantes, la probabilité d'une liste de
résultats est le produit des probabilités de chaque résultat de cette liste.
Répétition d’expériences identiques et indépendantes
Exemple
• On tire au hasard une boule dans une urne contenant 4 boules rouges (R), 3 boules vertes
(\/) et 2 boules noires (N). La loi de probabilité est définie ci-après :
Issue
R V N
4 3 2
Probabilité
9 9 9
On répète deux fois l’expérience précédente. La première boule tirée est remise dans l’urne
avant le deuxième tirage, ainsi les deux expériences sont identiques et indépendantes.
On note P la loi de probabilité sur l’ensemble E des 9 listes de résultats.
L’événement S : « Obtenir deux boules de la même couleur » est réalisé par les listes (R; R),
(\/; \/), (N ; N). Calculer p(S).
Solution :