TD Physique n°12 : Statique des fluides (révisions) – Cinématique

TD Physique n°15 : Dynamique des fluides parfaits
* Exercice 1 : Vidange d’un récipient à l’aide d’un siphon

Pour vider l'eau d'une citerne, on utilise un siphon formé d'un tube coudé de section intérieure
S= 7 cm2 terminé par un embout de section s= 5 cm2 (cf figure). On indique que la section de
la surface libre (en A) est très grande devant S et s.
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On supposera le régime permanent et on prendra Po = 1 bar pour la pression atmosphérique,
 = 103 kg.m-3 pour la masse volumique de l’eau et g = 9,81 m.s-2. On considérera l’eau comme
un fluide parfait et incompressible.
1.
Exprimer puis calculer la vitesse d'écoulement en F.
2.
Calculer en mètres cubes par heure le débit du siphon.
3.
Calculer et comparer les pressions en A et en B.
4.
Calculer les pressions en C, D, E. À quelle(s) condition(s) un siphon tel que celui-ci peut-il fonctionner ?
* Exercice 2 : Cœur artificiel
B
La figure ci-contre schématise le fonctionnement d’un cœur artificiel. Ce dispositif, destiné à remplacer la partie gauche du cœur,
fonctionne dans un plan horizontal. On supposera que le sang est un liquide parfait et incompressible, et on se placera en régime
stationnaire.
On note :
(P) : la pompe.
(DA) : la veine
(BC) : l’aorte
(CD) : les capillaires
Données :
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Diamètres : dA = 1,4 cm et dB = 2 cm.
Pressions : PA = 79 mbar et PB = 171 mbar.
Masse volumique du sang : µ = 1055 kg.m-3.
Débit volumique du sang : 𝒟v = 5 L.min-1.
1. Déterminer les vitesses vA et vB du fluide en A et B.
2. Exprimer puis calculer la puissance P’ de la pompe.
** Exercice 3 : Vidange d’un réservoir en régime lentement variable
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Un récipient cylindrique de hauteur H est rempli d’eau, liquide parfait et incompressible, jusqu’à
une hauteur h. Le sommet du récipient de section S est ouvert à l’air libre. La pression
atmosphérique régnant pendant l’expérience est P0.
A l’instant initial, on ouvre l’orifice circulaire (B), de section s, au fond du réservoir ; cette section
est considérée comme petite devant S, la section du sommet de la clepsydre.
On note vA la vitesse de descente de la surface libre et vB la vitesse de sortie de l’eau.
Données : H = 50 cm, h = 40 cm, S = 2830 cm², s = 1 cm² et g = 10 m/s².
1. Exprimer la vitesse vB(t) en fonction de g et z(t), côte de la surface libre.
2. Exprimer l’équation différentielle à laquelle obéit z(t). En déduire l’expression traduisant les variations de z(t).
3. Déterminer la durée T de vidange du réservoir.
4. On souhaite que la cote z(t) décroisse proportionnellement à la durée de l’écoulement. Montrer que la forme du réservoir doit être
choisie de façon que la section de la surface libre du liquide vérifie la loi : 𝑆 (𝑧) = 𝛼 √𝑧 où 𝛼 est une constante.
** Exercice 4 : Ecoulement dans un canal
On considère l'écoulement stationnaire, supposé
incompressible, d'eau liquide assimilable à un fluide
parfait, dans un canal rectiligne de section
rectangulaire. La base de ce canal se situe dans le
plan horizontal Oxy. Sa hauteur h = 50cm est
constante selon z. Ce canal subit localement un
brusque rétrécissement, sa largeur passe de L1 =
50cm à L2 = 2 L1 / 3 = 33cm. La figure ci-dessus
représente les lignes de courant de l'écoulement, de part et d'autre du rétrécissement.
1.
Comparer v(J), v(K), v(A) et v(C).
2.
La vitesse au point A, mesurée par un tube de Pitot est de 0,5 m.s-1. Déterminer le débit volumique dans la canalisation. En
déduire la vitesse v(C).
Soit, à présent, un canal horizontal de section rectangulaire de côté L = 4 m, parcouru par
de l’eau de masse volumique , avec une vitesse v uniforme et constante sur toute une
section droite du canal. La hauteur de l’eau est notée h, supposée constante dans un premier
temps. On place un tube de verre coudé dans l’eau comme ci-contre. On appelle z la hauteur
de la colonne d’eau dans le tube par rapport à la surface libre du canal.
3.
Exprimer alors la vitesse du courant en fonction de z et de g, accélération de la pesanteur.
4.
On mesure une hauteur z = 10 cm. La hauteur d’eau h vaut 3 m. Calculer alors numériquement le débit volumique de ce
canal. On prendra g = 10 m.s-2.
La hauteur h de l’eau circulant dans le canal n’est plus constante maintenant.
𝑣2
5.
Montrer que la quantité 𝑒 = 𝑔ℎ +
6.
Exprimer le débit volumique Dv en fonction de la largeur du canal L, de h, e et g.
7.
Représenter l’allure de la courbe du débit en fonction de h et montrer, que, pour un débit donné, il y a deux profondeurs h T et
hF > hT possibles. On ne cherchera pas à calculer ces profondeurs.
2
est une constante sur tout le long du canal. Calculer numériquement la valeur de e.
** Exercice 5 : Puissance fournie par une hélice
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Une hélice est immergée dans un fluide parfait supposé
incompressible de masse volumique  .
L’hélice est animée d’un mouvement de rotation à vitesse
angulaire constante autour de son axe (x’x) fixe. Le mouvement du
fluide autour de l’hélice est supposé stationnaire.
La figure ci-dessus représente un tube de courant. Loin de l’hélice,
la vitesse du fluide est 𝑣
⃗⃗⃗⃗1 en amont de l’hélice et ⃗⃗⃗⃗
𝑣2 en aval. La
pression à grande distance de l’hélice est uniforme et vaut Pa
(c’est vrai, en particulier, sur SA, SB et sur la surface latérale Slat du tube de courant).
Les surfaces latérales S et S’ du tube, très voisines de l’hélice, ont leurs aires quasiment égales à une valeur notée S. Les
pressions sur ces sections sont uniformes et respectivement égales à P et P’. La vitesse du fluide au voisinage de l’hélice est
supposée uniforme de valeur 𝑣 = ⃗⃗⃗
𝑣′
On suppose qu’il n’y a aucune dissipation d’énergie mécanique par frottement dans le contact fluide-pales de l’hélice et on
néglige les effets de la pesanteur.
1. Donner les relations existant entre S1, S2, S, v1, v2 et v.
2. Exprimer la différence de pression P’ – P en fonction de  , v1 et v2.
1
3. On montre que 𝑣 = 2 (𝑣1 + 𝑣2 ). Exprimer la puissance Pu, fournie au fluide, par l’hélice (en fonction de v1, v2, S et ρ).
** Exercice 6 : Cheminée