Spé ψ 2001-2002 Devoir n°3 MÉCANIQUE DES FLUIDES Partie I MODELE METEOROLOGIQUE Un point M situé dans l'atmosphère est repéré par ses coordonnées x,y,z dans le repère terrestre local (Oxyz ) dont l'origine O se trouve dans un plan méz0 ridien à la latitude λ {figure 1} avec 0 ≤ λ ≤ π/ 2 pour l'hémisphère y nord, l'axe Ox étant dirigé vers l'Est, l'axe Oy étant dirigé vers le Nord, l'axe Oz étant dirigé suivant la verticale ascendante. O ¤x 2π Ω -1 On prendra Ω = rad.s λ 86164 O 0 → I-1) On s'intéresse à la résultante dF des forces de pression s’exerçant sur un élément de fluide atmosphérique de masse dm. Montrer r que la force de pression r rapportée à l'unité de masse, nor tée f et définie par d F = f dm, est donnée par l'expression figure 1 r 1 → f = − grad p où ρ est la masse volumique du fluide en M et p la ρ pression en M. Dans une atmosphère calme, par quoi est compensée la composante verticale des forces de pression ? Par la suite, on supposera cette compensation effective en toutes circonstances et on ne s'intéressera qu'au mouvement de la particule de fluide dans un plan y horizontal. I-2) Soit la situation météorologique schématisée sur la figure 2 dans laquelle l'axe anticyclone dépression fait un angle θ avec la direction Ox. La distance entre les isobares 1020 et 1000 est notée d, les pressions étant mesurées en hectopascals. On supposera le gradient de pression uniforme sur l'axe AD, sa norme étant notée a. figure 2 N.B. : Au niveau de l'axe AD les isobares sont perpendiculaires à cet axe et sont localement assimilables à des segments de droite. Données : d = 400km ; λ =42° Nord ; ρ = 1,3 kg.m-3. Calculer la valeur numérique de a. Exprimer les composantes fX et fY, de la force massique de pression en fonction de a, ρ et θ . I-3) Le référentiel géocentrique étant supposé galiléen, on se place dans un référentiel terrestre. Quelles sont les forces qui agissent sur une particule de fluide ? Qu'appelle-t-on poids de la particule? Écrire le P.F.D. pour la particule de fluide dans le référentiel terrestre. I-4) Projeter l'équation sur les axe Ox et Oy et montrer qu'en régime de « vitesse constante », le fluide atmosphérique s'écoule au niveau de l'axe AD suivant une direction et un sens que l'on précisera avec soin sur la figure. Comment modifier ces conclusions dans l'hémisphère Sud ? Spé ψ 2000-2001 page 1/5 Devoir n°3 z I-5) Chercher la norme du vecteur vitesse du vent ; calculer sa valeur numérique pour les données précédentes. Partie II ÉTUDE SIMPLIFIEE DE LA PROPULSION EOLIENNE D'UN BATEAU PAR VOILE TRADITIONNELLE. Un bateau à voile effectue une navigation locale autour d'un lieu O et l'on peut considérer qu'il se déplace dans le plan horizontal Oxy d'un référentiel galiléen avec une vitesse constante r selon la direction et le sens de u X ; on néglige toute composante latérale de "dérive" de son mouvement. Il constitue donc lui-même un référentiel galiléen (R0) qui sera choisi pour écrire les équations du mouvement des masses d'air. On assimile l'unique voile de ce tube de vent y voilier à une portion de plan de apparent incident g surface S. Cette surface reçoit et (Σ) plan de défléchit l'écoulement d'air dû au la voile vent relatif ou vent "apparent" incident sur le voilier. L'air est α V1 θ considéré comme un fluide non visqueux en écoulement stationnaire et incompressible. Le bateau évolue dans un champ de pression O et de température uniformes. (S) On admet que la voile, réglée (Σ) pour que son plan fasse un angle θ tube de vent défléchi V2 avec le vent apparent incident, figure 3 par la voile défléchit d'un angle 2θ le tube de θ courant de l'écoulement d'air incident dans le référentiel (Ro) du navire. Ce tube, de section droite Σ est celui qui traverserait la surface géométrique S de la voile, si celle-ci n'était pas déployée. On suppose que la voile n'altère pas l'écoulement et ne modifie pas sa section droite. (cf. figure 3). On suppose de plus que. sur toute le champ de vitesse r section droite d'un tube de courant, r dans (Ro) est uniforme et vaut V1 , pour l'écoulement incident et V2 pour l'écoulement défléchi. On appelle α l'angle qui repèrerla direction du vent apparent par rapport à la route du voilier r que l'on définit par α = ( u X , –V1 ). Enfin. on note ρ 0 la masse volumique de l’air. II-1) Étude cinématique de l'écoulement. a) Rappeler les caractéristiques d’un écoulement stationnaire et incompressible. Exprimer. en fonction des données du problème. le débit volumique qV et le débit massique qM de l'air pour l’écoulement considéré. b) Montrer que la vitesse de l’écoulement est uniforme et a même norme V dans le tube de courant incident et défléchi. c) Écrire la relation entre Σ , surface de la section droite du tube de vent et S surface de la voile. II-2) Étude dynamique de l'écoulement a) En appliquant le théorème de la quantité de mouvement dans (R0) à un système matériel que 1’on prendra soin de définir, exprimer la composante FX de la force exercée par le vent sur la voile, en fonction de ρ 0 , S , V, α et θ. Spé ψ 2000-2001 page 2/5 Devoir n°3 x Mettre cette force sous la forme FX = ρ 0 S V 2 f(α, θ). b) On cherche, pour chacune des routes du voilier, à optimiser le réglage de la voile, de façon à obtenir la plus grande valeur possible de la force propulsive FX, compte tenu des valeurs fixées de ρ 0 , S et V . En étudiant la fonction f(α, θ) , établir l'équation qui permet de déterminer la valeur optimale θM de l'angle de réglage θ , en fonction de α. c) Dresser un tableau donnant, en correspondance. les valeurs numériques de θM, α et f(α, θM) . (On pourra, au choix, fixer des valeurs de α ∈ [0, π] puis déterminer θM et f(α, θM) ou bien fixer des valeurs de θM ∈ [0, π/2] puis déterminer α et f(α, θM).) d) Tracer. sur papier millimétré, le graphe f(α, θM) en fonction de α. e) Calculer numériquement la composante propulsive FX obtenue pour une voile de surface S = 30 m2 dans un vent apparent de vitesse V = 10 m.s-1 arrivant exactement par le travers du bateau, soit pour α = 90°. On prendra ρ 0 = 1,3 kg.m-3 . II-3) On considère que la coque et l'ensemble des superstructures du voilier présentent une résistance à l’avancement du bateau, appelée "fardage", équivalente à celle d'une voile plane de surface S0 qui serait déployée perpendiculairement au vent relatif. a) Déterminer. d'après les résultats précédents. la composante F0X de la force correspondant au fardage. On mettra cette force sous la forme F0X = ρ 0 S0 V2 f0(α). b) Tracer. sur le graphique demandé à la question II-2-d, la fonction g(α) = |S0/S f0(α)|. On prendra, pour ce tracé, S0/S = 1/10. Montrer, à partir des courbes représentant f(α, θM) et g(α) que le bateau ne peut pas être propulsé selon et sous l'action du vent pour 0 ≤ α ≤ α0. (En raison de la symétrie évidente du problème par rapport à Ox, on ne considérera que les valeurs de α comprises entre 0 et π). c) Déterminer graphiquement la valeur numérique de l'angle limite α0. Quelle est la signification physique de cette valeur ? d) Dans la réalité, l’angle α0 est le plus souvent compris entre 30° et 40° car les performances de la voile sont meilleures que celles prévues dans la question II-2. Comment peuton expliquer ce phénomène ? Partie III PROPULSION PAR UNE HELICE En l’absence de vent, le bateau utilise un moteur qui transmet sa puissance à une hélice. On étudie ici le rendement énergétique d’un tel type de propulsion. III-1) Une hélice est animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe Ox, est plongée dans un fluide parfait, incompressible de masse volumique µ. L’étude est faite dans un référentiel galiléen R lié à l’axe de l’hélice ; dans ce référentiel, l’écoulement est stationnaire. On négligera l’influence de la pesanteur. On considère un tube de courant possédant la symétrie de révolution autour de Ox et s’appuyant sur les pales de l’hélice. Ce tube de courant définit une surface fermée, constituée de la surface latérale du tube SLAT et des sections droites amont et aval S1 et S2. La pression à l’extérieur de ce tube de courant est uniforme et égale à la pression ambiante pA. r Sur la surface S1, la vitesse du fluide est uniforme et égale à v1 u X; sur S2, elle est égale r à v2 u X. Au voisinage de l’hélice, on considère deux sections S et S ’ d’aires sensiblement égales S ≈ S’ : r -sur la surface S, la vitesse est v u X et la pression p. Spé ψ 2000-2001 page 3/5 Devoir n°3 r -sur la surface S ’, la vitesse est v’ u X et la pression p’. Au voisinage proche de l’hélice, entre S et S ’, l’écoulement est perturbé, et il existe une discontinuité de la pression de part et d’autre de l’hélice. S1 Pa Pa S’ S S2 Pa P x v1 v’ v hélice v2 figure 4 Slat Exprimer la pression p en fonction de pA, µ, v1 et v. Donner une expression analogue pour p’ en fonction de de pA, µ, v2 et v. r III-2) On note F la résultante des forces exercées par l’hélice sur le fluide. a). En effectuant un bilan de quantité de mouvement dans le volume compris r entre S et S ’, exprimer F en fonction de S, µ, v1 et v2. b) En raisonnant cette fois dans le volume compris entre S1 et S2, obtenir une r deuxième expression de F en fonction de S, µ, v, v1 et v2. Déduire de ce qui précède, une relation simple entre v, v1 et v2. c) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à un volume de fluide bien choisi, déterminer la puissance P fournie par l’hélice au fluide. Donner le résultat : Ÿ d’une part en fonction du débit massique DM et des vitesses v1 et v2. Ÿ d’autre part en fonction de la force F. Étudier le signe de P et justifier l’allure du tube de courant représenté en début d’énoncé. III-3) L’hélice est celle d’un navire. Celui-ci est animé, par rapport à la « terre » d’un r mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse -U u X. Par rapport à la « terre », le r fluide est immobile à grande distance r en amont de l’hélice, et possède la vitesse w u X assez loin en aval de l’hélice. La force - F subie par l’hélice de la part du fluide fait avancer le navire. Le référentiel R est celui lié au navire, R0 celui lié à la terre. a) En utilisant les résultats des questions III-2-a ou III-2-b., exprimer F en fonction de DM, v et U. b) En déduire que la force de poussée F et la puissance P sont liée par la relation suivante : 2S µ P2 – 2S µ FU P – F 3 = 0. III-4) Dans la suite, la viscosité de l’eau intervient uniquement pour déterminer la force de frottement agissant sur le navire ; les résultats précédents restent utilisables. La force de frottement RF s’exerçant sur le navire animé de la vitesse U, ou traînée de frottement, est donnée par l’expression : Spé ψ 2000-2001 page 4/5 Devoir n°3 RF = 1 C µ ΣU2 2 avec µ masse volumique de l’eau, Σ la surface du navire mouillée par l’eau et C coefficient de traînée de frottement, dont la valeur dépend du nombre de Reynolds RE. a) Quelle est la relation entre RF et F si le navire est en mouvement rectiligne et uniforme dansR0 ? b) Déduire des résultats précédents la relation suivante : P = F GH I JK Cµ Σ CΣ 1+ 1+ U3 4 S Quel est l’effet sur la vitesse d’un doublement de la puissance ? c) Exprimer le rendement de propulsion η, rapport de la puissance utile PU = FU à la puissance totale P. On commentera l’expression obtenue. d) Quelle serait la valeur de la force de poussée F dans le cas d’un rendement de propulsion égal à l’unité ? e) Exprimer la différence P – PU en fonction de µ, S et w. En déduire une interprétation physique de cette différence. f) Application numérique : Le navire est un transbordeur de longueur L = 145 m, avec Σ = 1,94×103 m2. On désire une vitesse U de 19 nœuds, soit 9,77 m.s-1. La propulsion est assurée par une hélice de diamètre égal à 4,35 m. On prend pour l’eau µ = 103 kg.m-3 et pour valeur de la viscosité η = 10-3 Pl. La courbe suivante donne l’évolution du coefficient C en fonction du logarithme décimale du nombre de Reynolds. Pour l’expression du nombre de Reynolds, on prendra L comme longueur caractéristique. figure 5 Calculer la valeur du nombre de Reynolds, la valeur de la traînée de frottement RF, la puissance totale fournie par l’hélice, la puissance utile PU et le rendement η. Spé ψ 2000-2001 page 5/5 Devoir n°3