CORRECTION DU DEVOIR SUR TABLE du 10 décembre 2009

CORRECTION DU DEVOIR SUR TABLE du 10 décembre 2009 groupe D2
Exercice 1(4 pts)
1) On recherche un premier nombre. (1 pt)
Voici ce qu'on sait de lui :
1) son chiffre des unités est égal à 5 ;
2) il a 431 centaines ;
3) son chiffre des dizaines est égal à 2.
Ce nombre est égal à 431 x100 + 2 x 10 + 5 soit 43125
2) On recherche un deuxième nombre. (0.5 pts) Voici ce qu'on sait de lui :
1) il est compris entre 15 000 et 16 000 ;
2) tous ses chiffres sont différents ;
3) son chiffre des centaines est un multiple de 3 ;
4) son chiffre des unités est un nombre pair supérieur à 5 ;
5) son chiffre des dizaines est le successeur du chiffre des centaines.
il est compris entre 15 000 et 16 000 donc il a 15 unités de mille car 16000 n’a pas tous
ses chiffres différents.
son chiffre des centaines est un multiple de 3 donc ce chiffre peut être égal à 0, 3, 6 ou 9.
son chiffre des unités est un nombre pair supérieur à 5 donc ce chiffre est 6 ou 8.
son chiffre des dizaines est le successeur du chiffre des centaines donc ce chiffre peut
être 1,4 ou 7 mais 1 est déjà utilisé donc on ne peut avoir que 4 ou 7 et pour le chiffre des
centaines que 3 ou 6 car 9 n’a pas de chiffre qui lui succède.
On peut donc avoir 15346, 15348,15678.
3) On recherche un nombre N à trois chiffres donc N s’écrit cdu (2 pts)
En permutant, dans l’écriture de N, le chiffre des dizaines et celui des unités, on obtient
l’écriture d’un nombre M donc M s’écrit cud
En permutant, dans l’écriture de N, le chiffre des dizaines et celui des centaines, on
obtient l’écriture d’un nombre P donc P s’écrit dcu
Car les nombres M et P restent des nombres à trois chiffres.
De plus N = 36 + M et N − 270 = P donc :
100c + 10d +u = 100c +10u + d +36 et 100c + 10d + u – 270 =100d + 10c + u
D’où 9d – 9u = 36 et 90c – 90d – 270 =0
D’où d – u = 4 et c – d = 3
Soit d = u + 4 comme u ≥ 0 , 4 ≤ d et d =c – 3 donc comme c ≤ 9 , d ≤ 6
Donc d = 4 ou d= 5 ou d= 6
Si d = 4 alors c=7 et u = 0
Si d =5 alors c = 8 et u = 1
Si d= 6 alors c=9 et u=2
On obtient 3 possibilités pour N : 740, 851 et 962
Exercice 2(8 pts)
1) Pour tracer le triangle ABC, il fallait tracer le segment [BC] puis avec le compas
tracer deux arcs de cercle de centre B et de rayon 6 cm et de centre C et de rayon
8 cm. L’intersection des deux arcs de cercle est le point A. (0.5 pts)
2) (1 pt) AB2 + AC2 = 62+ 82 = 36 + 64 =100 et BC2 = 102 = 100 donc AB2 + AC2 = BC2
d’après la réciproque du théorème de Pythagore : le triangle ABC est rectangle en
A.
3) (0,5 pt) Programme 1 : avec le compas, on construit deux cercles : l’un de centre A
et de rayon BC et l’autre de centre B et de rayon AC .Ces deux cercles se coupent
en deux points, l’un de ces deux points D est tel que ACBD est un parallélogramme
car AD=BC et BD=AC .il fallait choisir le bon point et faire attention à l’ordre des
lettres :ACBD
Ce programme repose sur la propriété caractéristique suivante :
Un quadrilatère non croisé est un parallélogramme si et seulement si ses
côtés opposés ont même longueur
(0,5 pt) Programme 2 : avec la règle et le compas ou l’équerre, on trace la parallèle
à (AC) passant par B et la parallèle à (BC) passant par A ces deux droites se
coupent en un point D tel que ACBD est un parallélogramme.
Ce programme repose sur la propriété caractéristique suivante :
Un quadrilatère non croisé est un parallélogramme si et seulement si les
côtés opposés sont deux à deux parallèles.
(0,5 pt) Programme 3 : avec le compas, on trace la médiatrice du segment [AB]
.Cette droite coupe le segment [AB] en son milieu K .puis on trace le cercle de
centre K et de rayon [CK] et la droite (CK).Ce cercle coupe (CK) en un point D tel
que ACBD est un parallélogramme car K est aussi le milieu de [CD].
Ce programme repose sur la propriété caractéristique suivante :
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se
coupent en leur milieu. Figure : (0.5pt)(avec D correctement placé)
4) (1pt) Le triangle AHB est rectangle en H puisque H est le pied de la hauteur issue
de A donc d’après le théorème de Pythagore: AH2 + BH2 = ΑB2
Sachant que BH= 3,6 cm et que AB= 6 cm, on a donc AH2= 62 – 3,62= 36 – 12,96=23,04 et
donc AH=4,8 cm.
5) (0,5 pt) a) Pour tracer la médiatrice de [BC], on trace deux cercles de même rayon
de centres respectifs B et C ;ces deux cercles se coupent en deux points T et N , la
médiatrice de [BC] est la droite (TN).
(1,5 pt) b) Par définition, la médiatrice de [BC] coupe [BC] perpendiculairement en
son milieu J. I appartient à cette médiatrice donc la droite (IJ) est cette médiatrice.
Puisque (AH) est la hauteur issue de A du triangle ABC, elle est perpendiculaire à
(BC) et la droite (IJ) est aussi perpendiculaire à (BC) donc (AH) et (IJ) étant
perpendiculaires à une même droite , elles sont parallèles.
Puisque I appartient aussi à (AC), les droites (AH) et (IJ) définissent donc une
CI
CJ
IJ
configuration de Thalès dans le triangle ACH, en particulier
=
=
c'est-àCA CH AH
CI
5
5x8
dire
=
donc CI =
soit CI = 6,25 cm.
8 10 − 3,6
6,4
6) (1.5pt) la médiane issue de A est la droite qui passe par A et par le milieu du
segment [BC] donc c’est la droite (AJ) .Elle coupe (BC) en J.
J est le milieu de [BC] or le triangle ABC est rectangle en A .
D’après le théorème suivant : Dans un triangle rectangle, le milieu de
l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle.
Ainsi J est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC donc AJ = BJ et donc
BJA est un triangle isocèle en J.
Exercice 3 (4.5 pts)
1) Deux méthodes permettant de dire si une fraction représente un
nombre décimal (0.75 pts)
a
Pour savoir si une fraction représente un nombre décimal, on peut:
b
Méthode 1 :
Calculer le quotient décimal de a par b.
Si la division se termine (c'est-à-dire si on obtient un reste nul au bout d'un nombre fini
d'étapes), la
a
représente un nombre décimal.
fraction
b
a
Sinon, on doit rechercher la fraction irréductible égale à
et appliquer l’une des deux
b
méthodes suivantes :
Méthode 2 :
a
. Décomposer le dénominateur de celle-ci en
Trouver la fraction irréductible égale à
b
produit de facteurs premiers.
Si les seuls facteurs premiers figurant dans cette décomposition sont 2 et 5, alors la
a
fraction représente un nombre décimal.
b
a
Sinon, la fraction représente un nombre rationnel non décimal.
b
Méthode 3 :
Si on remarque que le dénominateur b est un diviseur d'une puissance de dix, on peut
a
exhiber directement une fraction décimale égale à la fraction . On peut aussi utiliser des
b
produits connus tels que 2x50, 4x25, 8x 125 pour faire apparaître au dénominateur des
puissances de 10.
Indiquer deux méthodes possibles permettant de dire si une fraction représente un
nombre décimal
2)Pour chacun des nombres suivants, préciser s’il est décimal ou non décimal et
justifier votre réponse : (2.5 pts)
8
est une fraction irréductible dont le dénominateur 23 est un nombre premier donc il ne
23
peut pas s’écrire sous la forme 2n x 5p donc cette fraction ne représente pas un nombre
décimal.
17
est une fraction irréductible car 17 est un nombre premier et 8 = 23 donc cette fraction
8
représente un nombre décimal .
55
5
est égale à la fraction irréductible
or 52 = 4 x 13 et 13 est un nombre premier
572
52
donc le dénominateur ne peut pas s’écrire sous la forme 2n x 5p donc cette fraction ne
représente pas un nombre décimal.
13
est une fraction irréductible dont le dénominateur peut s’écrire 20 x 51 donc cette
5
fraction représente un nombre décimal .
47
est une fraction irréductible dont le dénominateur peut s’écrire 20 x 53 donc cette
125
fraction représente un nombre décimal .
105
21
est égale à la fraction irréductible
qui représente un nombre décimal car 8=23 .
40
8
3)
a) Parmi ces fractions, écrire sous forme de fractions décimales celles qui
représentent des nombres décimaux (0.25 pts)
17 13 47 105
Les fractions qui représentent des nombres décimaux sont :
;
;
;
8
5 125 40
Elles sont égales respectivement aux trois fractions décimales suivantes :
1725 26 376 2625
;
;
;
1000 10 1000 1000
b) Pour les nombres rationnels non décimaux de cette liste, donner une valeur
approchée par excès au centième près. (0.25 pts)
8
55
Les nombres non décimaux de la listes sont représentés par les fractions :
.
et
23
572
Leurs valeurs approchées par excès au centième près respectives sont 0,35 et 0,1.
c) Donner les écritures « à virgule » des nombres décimaux, puis ordonner
toutes les écritures à virgule obtenues en b) et c) dans l’ordre décroissant
(0.25 pts)
17
105
Remarque : les fractions
et
sont égales
8
40
Les écritures à virgules des nombres décimaux sont respectivement : 1,725 ;
2,6 ;0,376 ;2,625
Dans l’ordre décroissant, les cinq écritures à virgule sont ordonnées ainsi :
2,625 > 2,6 > 1,725 > 0,376> 0,35 > 0,1
105 13 17
47 8
55
D’où
>
>
>>
> >
.
40
5
8
125 23 572
d) Donner une écriture fractionnaire du nombre 3,09090909…(09 répété à
l’infini). Indiquer la nature de ce nombre. (0.5 pts)
Soit x le nombre 5,120120120… ; 1000x = 5120,120120120… donc 1000x – x = 5115
5115
1705
d’où x =
soit
. Ce nombre est un nombre rationnel car il est représenté par une
999
333
fraction irréductible dont le dénominateur 333 est le produit de 3² par 37qui ne peuvent
pas s’écrire sous la forme 2n x 5p donc cette fraction ne représente pas un nombre
décimal.
Question complémentaire(3.5 pts)
1) Règles implicites employées par les élèves qui ont proposé un rangement incorrect
(2pts)
Les élèves A et C n'ont pas effectué correctement le rangement de ces nombres.
L'élève A semble comparer d'abord les parties entières:
Si elles sont différentes, le plus grand nombre est celui qui possède la plus grande
partie entière.
Si elles sont égales, il compare alors les parties décimales en fonction de leur
longueur, donc du nombre de leurs chiffres.
Les zéros sont pris en compte même s'ils sont à gauche de la partie décimale: pour lui
2,7 est plus petit que 2,13.
L'élève semble donc appliquer un principe selon lequel plus il y a de chiffres dans la
partie décimale, plus le nombre est grand. Cette régie proviendrait de ses
connaissances sur les nombres entiers.
Les nombres décimaux semblent être assimilés à des couples de deux nombres
entiers séparés par une virgule.
L'élève C semble avoir comparer les nombres sans tenir compte de la virgule et
comme s’il s’agissait de nombres entiers ainsi 2,7 < 3,6 < 1,31 < 2,13 < 3,04 < 1,225
car 27<36<131<213<304<1225.
2) Procédés utilisés par les élèves qui ont réussi (1.5 pts)
Les élèves B, D et E ont effectué un rangement correct de ces nombres.
L'élève B a écrit tous les nombres sous la forme de leur écriture à virgule. Il sait
comparer les nombres décimaux sous cette forme. Cette méthode nécessite la
capacité de passer d'une écriture fractionnaire (pas toujours présentée sous fraction
décimale) à une écriture à virgule, ce qui n'est pas toujours facile et peut occasionner
des erreurs de calcul. L'avantage c'est qu'elle est très rapide quand on a compris
l'algorithme de comparaison mis en place lorsque toutes les écritures sont à virgule.
L’élève D écrit tous les nombres sous forme de fractions décimales ou de quotients de
dénominateur « 100 » puis il lui suffit de comparer les numérateurs, lesquels sont tous
entiers sauf 122,5 qui est clairement inférieur à 131.
Pour se ramener à une comparaison entre nombres entiers uniquement, il lui aurait
fallu choisir 1000 pour dénominateur commun, ce qui aurait nécessité davantage de
calculs .sa méthode est très économique, efficace, pour les nombres qu’il lui était
demandé de ranger. Elle peut s’avérer plus délicate à mettre en œuvre pour d’autres
nombres.
L'élève E commence par repérer les nombres inférieurs à 2, puis les compare entre
eux.
Ensuite il repère les nombres supérieurs à 3 puis les compare entre eux. Enfin il
repère les nombres compris entre les entiers 2 et 3, puis les compare entre eux. Il
conclut en écrivant les nombres dans l'ordre croissant.
Selon le cas, il compare les nombres soit sous leur forme d'écriture à virgule ou soit
sous leur forme d'écriture fractionnaire, dés lors que les deux fractions ont le même
dénominateur (50). Cette méthode a l'avantage d'être pragmatique. Cet élève profite
des opportunités liées aux valeurs des nombres mis en jeu dans les différentes
écritures pour appliquer la connaissance la plus directe .L’inconvénient est que cette
méthode n’est pas généralisable car le repérage des nombres dépend des nombres en
présence.