IUT Info 1A Année 2007-08 Période 1 F. Madelaine J. Mailfert D. Richard Arithmétique Feuille de TD n◦4 † Les polycopiés du cours, les feuilles de TD et quelques corrigés sont disponibles à l’url suivante. http ://laic.u-clermont1.fr/~fmadelaine/teaching/arithmetique.html 1 Arithmétique modulaire Exercice 1. a- Écrire les tables d’addition et de multiplication dans Z/7Z. b- En déduire, dans Z/7Z, les inverses multiplicatifs des classes non nulles. c- Montrer, sans calculer 6!, que 1.2.3.4.5.6 = −1 dans Z/7Z. d- Soit p un nombre premier. Montrer que dans Z/pZ le produit des classes non nulles est p − 1. Exercice 2. a- Montrer que a est inversible dans Z/nZ si et seulement si a ∧ n = 1. b- Montrer que n − 1 est son propre inverse dans Z/nZ. c- Dans Z/10Z, quelles sont les classes inversibles ? Calculer leurs inverses. d- Mêmes questions dans Z/12Z. Exercice 3. Soient a = 1234 et b = 1235. On considère ab = 1523990. On veut inverser α = 1237 dans Z/abZ a- Vérifier que α est inversible dans Z/abZ. b- Calculer α et α, la classe de α dans Z/aZ et dans Z/bZ respectivement. c- Calculer α−1 dans Z/aZ et α −1 dans Z/bZ. d- En déduire l’inverse de α dans Z/abZ. Exercice 4. a- Déterminer un couple d’entiers u et v tels que 7u + 11v = 1. x ≡ 1 [7] . On donnera le résultat sous la forme x ≡ x0 [n0 ] b- Résoudre le système x ≡ 5 [11] avec x0 et n0 à déterminer. y ≡ 5 [7] c- En déduire les solutions du système . On pourra étudier x0 + y0 , où y0 y ≡ 1 [11] est une solution particulière. † D’après les exercices redigés par M. Dumoutet, Mme More et M. Richard. 1 feuille de TD n◦ 4 2 Arithmétique Cryptographie Exercice 5. a- Vérifier que la suite SADF = {1, 3, 6, 13, 28, 63, 142, 290, 601, 1231, 2543, 5100} constitue un sac à dos facile. b- Quel est le message binaire représenté par le nombre 2931 à l’aide du sac-à-dos SADF . c- Montrer que le nombre 3090 n’est associé à aucun message binaire issu du sac à dos SADF . Exercice 6. a- La suite SADD = {12, 30, 36, 66, 78, 84, 108, 120, 199, 250, 298, 351, 373} fournitelle un sac à dos facile ? b- Prouver que, dans la méthode du sac à dos appliquée à SADD, le nombre 542 ne peut pas représenter un message binaire. On remarquera que 542 est pair et que 542 ≡ 2 mod 3. Exercice 7. a- Est-ce que la suite {1, 3, 6, 12, 24} fournit un sac à dos facile ? b- Bob choisit le module N = 47 et le cadenas D0 = 11. Préciser la suite publiée par Bob. c- Alice veut transmettre le message 11101. Par quel entier C compris entre 1 et 47 va-t-elle le crypter ? d- Déterminer la ”clef” D associée au cadenas D0 . e- Décrypter C. Exercice 8. Bob a rendu public le sac à dos difficile SD = {2084, 2563, 1269, 286, 2345} et le module N = 2731. Alice a publié le nombre C = 236. a- Si la clé privée de Bob est D = 764, calculer D0 tel que DD0 ≡ 1 mod 2731. Quel rôle a joué D0 ? b- Déterminer le sac à dos facile SF générant SD. c- Evaluer C 0 = DC mod 2731. d- Décrypter C. Exercice 9. On assimile les lettres de l’alphabet francais aux 26 nombres 0, . . . , 25 comme l’indique le tableau ci-dessous. A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 F 5 G 6 H 7 I 8 J 9 K 10 L 11 M 12 N 13 O 14 P 15 Q 16 R 17 S 18 T 19 U 20 V 21 Par exemple, H correspond au nombre 7. Avec la fonction f (x) = 17x + 14 mod 26, on peut associer à chaque lettre une nouvelle : H deviendrait ainsi D car f (7) = 3 et 3 représente D. a- Coder le mot DEBUT. b- Résoudre l’équation 17a ≡ 1 mod 26, a étant un entier naturel. c- On appelle fonction de déchiffrage une fonction g telle que y = f (x) ⇐⇒ x = g(y). Proposer une fonction g utilisant le nombre a. d- Déchiffrer le mot VUB. 2 etc. ...