Autour des solides
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Autour des solides Quelques repères 1 Les objets de travail - - Les solides « sociaux » comme les emballages, certains meubles, certaines constructions qui existent dans l’espace réel et le monde physique uniquement. Les « maquettes » des solides précédents qui en sont des représentations épurées de leurs propriétés qualitatives, comme par exemples des emballages recouverts de papier uni, des solides construits avec du matériel « polydron », des solides en bois…. Les objets mathématiques qui sont des objets théoriques caractérisés par un ensemble de propriétés mathématiques et qui concernent le monde de la pensée. L’objectif de l’enseignement des solides à l’école primaire est de permettre aux élèves de s’abstraire des propriétés qualitatives des objets sociaux et des maquettes qui les représentent pour ne considérer que les objets mathématiques caractérisés par un ensemble de propriétés géométriques. Par exemple, l’élève devra finalement être capable de désigner par « cube » tout polyèdre ayant 6 faces carrées. La représentation des solides La représentation plane des solides est difficile en raison de la perte d’informations entre l’espace et le passage au plan et en raison du conflit entre ce qui est « vu » et ce qui est « su ». « Représenter en deux dimensions un objet tridimensionnel soulève un problème de taille : l’idéal serait de pouvoir le représenter tel qu’il se présente habituellement au regard (préservation du voir), tout en conservant sur la représentation, l’ensemble de ses propriétés (préservation du savoir). Mais ceci est malheureusement impossible la plupart du temps, d’où conflit qui amène à opérer des choix, c’est-à-dire à éliminer sur la représentation certains 2 aspects du voir et certains aspects du savoir » . Le patron est la principale représentation travaillée à l’école élémentaire. Un patron de solide est une surface plane d’un seul tenant qui permet de reconstruire le solide uniquement par pliage et sans chevauchement. On peut envisager les approches suivantes : • Le passage de l’espace au plan qui permet de considérer les polygones comme faces des polyèdres. • Le passage du plan à l’espace qui permet de mettre en évidence les relations d’incidence : relations métriques entre les différentes faces (pour accoler deux faces, les côtés concernés doivent avoir même longueur) et nombre d’arêtes issues de chaque sommet. Plier mentalement un patron pour obtenir le solide et déplier mentalement le solide pour en obtenir un patron implique le recours à ces relations d’incidence. Les programmes Dans les programmes de l’école élémentaire au cycle 2 Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. Dans les tableaux proposés dans les I.O donnant des repères pour l’organisation de la progressivité apprentissages par des équipes pédagogiques, il est suggéré : Au CP : reconnaître et nommer le cube et le pavé droit. des Au CE1 : reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits : cube, pavé... Dans les programmes de l’école élémentaire au cycle 3 Cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide. - reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ; - vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face. Les tableaux suivants proposés dans les I.O donnent des repères pour l’organisation de la progressivité des apprentissages par les équipes pédagogiques. 1 D’après l’ouvrage « Apprentissages géométriques et résolution de problèmes » cycle 3 ERMEL Hatier 2006 PARZYSZ B. (1991) « Espace, géométrie et dessin, une ingénierie didactique pour l’apprentissage, l’enseignement et l’utilisation de la perspective au lycée » Recherche en didactique des mathématiques Vol 11 2.3 La pensée sauvage Grenoble Muriel Fénichel - Novembre 2010 1 2 Dans l’espace : CE2 CM1 CM2 -Reconnaître, décrire, nommer un cube, un pavé droit. -Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet. -Reconnaître, décrire, nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. -Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé. -Reconnaître, décrire, nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. -Reconnaître ou compléter un patron d’un solide droit. Dans les programmes actuel, sont mentionnés donc mentionnés les solides suivants : cube, pavé droit, prismes droits, pyramide. Néanmoins, d’autres solides comme le cylindre, solides non droits peuvent être rencontrés par les élèves lors des activités proposées. Il s’agit de les reconnaître et d’aborder leur représentation sous forme de patron. Le travail sur les solides à l’école élémentaire doit permettre aux élèves de se fabriquer des images mentales de ces solides pour pouvoir ensuite les mobiliser. A l’issue de l’école élémentaire, les élèves doivent être capables de reconnaître, nommer et décrire les solides usuels. Ce travail ne peut et ne doit pas se faire en utilisant des représentations des solides en perspective cavalière mais en manipulant des solides. On ne peut donc pas se contenter de faire des exercices sur un livre. Pour reconnaître ces solides, il va falloir les différencier parmi d’autres et en particulier parmi ceux qui ne comportent pas uniquement des faces carrées ou rectangulaires (par exemple des faces qui sont des triangles, éventuellement des parallélogrammes ou des disques). On peut alors utiliser le matériel suivant : • Des prismes droits à base triangulaire de plusieurs sortes (les bases ne sont pas nécessairement des triangles équilatéraux mais peuvent être isocèles et aussi quelconques, les autres faces peuvent être des carrés ou des rectangles). • Des pyramides à base carrée dont les faces qui ne sont pas la base ne sont pas nécessairement des triangles équilatéraux. • Des pyramides à base triangulaire. • Des solides constitués de faces carrées, rectangulaires et triangulaires qui ne soient ni des prismes, ni des pyramides. A partir de ce lot de solides, il est possible de proposer plusieurs types de situations permettant aux élèves d’acquérir les compétences visées. Quelques exemples de situations pour mettre en évidence les propriétés mathématiques des solides Au cycle 3, il s’agit principalement d’approcher les propriétés mathématiques des solides (l’élève devra être capable de caractériser un solide par le nombre de ses faces, de ses sommets, de ses arêtes mais aussi par la nature de ses faces) ; Reconnaître un solide dans un lot : le jeu du portrait Un meneur de jeu (élève, groupe d’élèves ou enseignant) choisit un solide. Les autres devront trouver le solide choisi en posant, à tour de rôle, des questions fermées (auxquelles on ne peut répondre que par « oui » ou « non »). Ces questions doivent utiliser les caractéristiques géométriques des solides. Il est interdit d’utiliser leur nom (ex : on ne demande pas est-ce le cube ?). Si une question est ambiguë ou mal formulée, le maître du jeu répond par « je ne peux pas répondre » Cette activité ne revêt pas du tout la même difficulté suivant que les solides sont mis à distance ou s’ils sont manipulables par les élèves. Dans ce cas, les élèves peuvent le tourner dans tous les sens pour compter les faces, sommets, arêtes, analyser les formes des faces. Ils peuvent mettre de côtés les solides éliminer. Des questions sans grand rapport avec la géométrie risquent d’apparaître (est-ce que ça ressemble à une maison, …) le rôle de l’enseignant est d’amener les élèves à poser des questions qui portent sur les caractéristiques géométriques du solide. Il rectifiera au fur et à mesure le vocabulaire mal employé. Le choix des solides doit se faire en adéquation avec l’objectif choisi. Par exemple, si on veut faire amener les élèves à prendre en compte la nature des faces, il est nécessaire de choisir un solide tel que les questions relatives au nombre de faces, de sommets et d’arêtes ne puissent pas permettre de le caractériser. Muriel Fénichel - Novembre 2010 2 Cette activité doit permettre d’utiliser le vocabulaire des solides en situation de communication (seule situation qui donne du sens à l’utilisation d’un vocabulaire adéquat) et de travailler les images mentales des solides. Elle fait aussi travailler la logique car il faut agir en fonction des réponses aux questions (il est plus facile d’agir après une réponse « oui » qu’après un « non »). Des activités de ce type sont proposées dans l’ouvrage ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006, p.479) Voir en annexe 1 quelques remarques à propos du jeu du portrait. Les patrons de solides pouvant constituer un support pour le jeu du portrait sont dans le fichier intitulé « patrons solides» consultable sur le site http/ :fenichel.creteil.iufm.fr Décrire un solide pour le faire reconnaître ou pour le construire L’ouvrage ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 propose des activité de ce type : Habiller un solide Par groupe de deux, les élèves disposent d’un solide et d’un lot de polygones parmi lesquels figurent les faces du solide. Dans un premier temps, il s’agit de choisir parmi ces polygones quels sont ceux qui recouvriront exactement les faces du solide. Dans un second temps, les binômes sont appariés et disposent d’un solide différent. Chacun d’entre eux devra décrire son solide pour que l’autre puisse « l’habiller ». Construire un solide Les élèves doivent commander des polygones à partir d’un catalogue pour construire un solide identique à un solide donné caché dans un coin de la salle de classe. Les élèves doivent aller prendre des informations sur le solide, les noter sur un quart de feuille de papier puis utiliser ces informations pour consulter le catalogue et commander les polygones qui correspondent aux faces du solide. Pour cela ils disposent d’un bon de commande. Une fois le bon de commande rempli, on leur donne un lot de polygones pour qu’ils puissent matérialiser leur commande. Du scotch est à leur disposition pour qu’ils construisent le solide à partir de leur commande. Une mise en commun est organisée autour des conditions qui permettent à un bon de commande de construire le solide. Un exemple de catalogue ainsi que des lots de polygones correspondants pouvant être découpés et utilisés lors de la commande sont donné dans les fichiers « catalogue solides » et « polygones pour les commandes » consultables sur le site http/ :fenichel.creteil.iufm.fr Etablir une carte d’identité d’un solide Pour terminer une séquence sur l’approche des propriétés des solides il est possible d’envisager la rédaction de carte d’identité de quelques solides. Cette carte pourrait être évolutive. Les mêmes choses n’y figureraient pas suivant le niveau de classe concerné (pas forcément de dessin en perspective en CE2). Elle peut contenir le nom du solide, une photo, le nombre de faces, d’arêtes et de sommets, la forme des faces. On peut y insérer des exemples d’objets qui ont cette forme, des dessins des différentes faces (les vues), puis lorsque la notion de patron a été introduite, un patron découpé et collé par une de ces faces. Si c’est sur une affiche, on peut y suspendre un solide du type concerné par l’affiche. Quelques exemples de situations permettant de passer du solide à un de ses patrons et réciproquement et donc d’approcher les relations d’incidence Découvrir le patron d’un solide Objectif : Faire prendre conscience que n’importe quel assemblage de figures planes ne permet pas toujours de construire un polyèdre. Mettre en évidence les conditions qui vont permettre qu’une figure plane puisse permettre de construire un polyèdre : Introduire le patron d’un polyèdre Un solide est mis à la disposition d’un groupe de deux élèves (par exemple une pyramide à base carrée ou une pyramide à base rectangulaire) ainsi que des gabarits des faces du solide. Les élèves doivent réaliser un dessin leur permettant de construire le solide en utilisant les gabarits. La mise en commun permet une analyse des dessins et la mise en évidence de ceux qui permettent de reconstruire le solide. Muriel Fénichel - Novembre 2010 3 Dans une deuxième phase, le solide est éloigné des élèves. Un des élèves du binôme doit aller chercher des informations à l’aide d’un quart de feuille de papier pour que le groupe puisse réaliser le dessin à partir de ces informations. Le message est transmis à un autre binôme qui doit construire le solide à partir d’un lot de polygones mis à disposition. Si les dessins d’un seul tenant n’apparaissent pas dans les messages, on peut, dans un deuxième temps, imposer cette contrainte. On peut donner aux élèves une des définitions suivantes d’un patron de polyèdre : - Un patron est un développement à plat du polyèdre en un seul morceau qui permet de reconstruire le polyèdre uniquement par pliage sans recouvrement. - Un patron d’un polyèdre est une figure en un seul morceau où toutes les faces du polyèdre sont représentées permettant après découpage du contour et pliage de reconstruire le polyèdre. Représenter un cube en vue de le faire reproduire. 3 (Donner du sens aux mathématiques, Pfaff et Fénichel, Bordas, 2004, p.240) Objectifs : Découvrir le patron du cube Approcher le fait qu’un cube a plusieurs patrons Dans la première phase, les élèves travaillent par groupe de deux. Chaque binôme dispose d’un cube coloré, d’une feuille de papier et de crayons de couleur. Il est associé à un autre binôme qui dispose d’un cube coloré mais différent. Chaque binôme doit produire un message qui sera donné au binôme associé afin que ce dernier puisse reconstituer le cube de leur camarade avec les mêmes couleurs aux mêmes endroits. Le message ne doit contenir que du dessin (avec les couleurs). Il est interdit d’utiliser des mots, des nombres, des symboles tels que des flèches ou autres. Le cube doit bien sûr être gardé à l’écart des regards indiscrets. Dans la deuxième phase, les messages sont échangés et les cubes réalisés à partir de carrés de couleur en carton et de ruban adhésif. La validation se fera par comparaison avec l’original conservé par le groupe rédacteur. Il est fort probable que les élèves ne pensent pas au patron, surtout si c’est une séance de découverte du patron. Mais ce n’est pas grave. Le but est de leur montrer que cette représentation est la meilleure solution au problème. Dans le cas ou personne ne pense au patron, l’enseignant le proposera à la fin de la mise en commun. Il proposera d’ouvrir les solides. Il faut prévoir une séance pour donner aux élèves la possibilité d’expérimenter cette solution. L’enseignant peut alors proposer à toute la classe le même solide, les élèves dessinent leur patron, on fabrique les solides d’après les patrons (original caché à ce moment) puis on compare avec l’original. Le cube donné a été réalisé avec du papier. Il contient des carrés blancs (les patrons des deux types de cube sont donnés en annexe 3) . Ces faces blanches rendent plus difficiles les représentations autres que le patron. Il faut prévoir plusieurs faces d’une même couleur pour la même raison. Un matériel du type Polydron, permet le dépliage et est donc très favorable à l’étude des patrons. Il peut servir pour valider des exercices de reconnaissance de patrons trouvés dans les manuels. Cette situation peut être proposée avec d’autres solides que le cube. D’autres situations avec les mêmes objectifs sont proposées dans l’ouvrage ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 : « Représenter un solide » et « Assemblons les faces ». Il s’agit alors ensuite d’approfondir ses connaissances sur les patrons et utiliser les relations d’incidence Des pentaminos (assemblages de cinq carrés) aux patrons du cube Objectifs : - mettre en évidence le fait qu’un cube a plusieurs patrons - mettre en évidence les relations d’incidences entre les faces d’un cube Il s’agit de dessiner le carré manquant pour qu’un pentamino (assemblage de cinq carrés, voir annexe 3) puisse devenir le patron d’un cube. 3 Cet ouvrage n’est plus édité Muriel Fénichel - Novembre 2010 4 Les élèves disposent d’une feuille sur laquelle sont dessinés un ou plusieurs pentaminos .Il doivent dessiner, en utilisant un stylo de couleur verte, le carré qui manque pour que le pentamino devienne le patron d’un cube. Ils n’ont pas le droit de découper l’assemblage. Une fois leur hypothèse matérialisée, ils peuvent la vérifier en utilisant un matériel de type polydron constitué de cinq carrés de même couleur permettant de matérialiser le pentamino et d’un carré d’une autre couleur pour matérialiser le carré qu’ils ont rajouté ou alors en utilisant des carrés de couleur découpés dans du carton. La situation peut être prolongée par la recherche de tous les patrons du cube. Il y a 11 patrons différents du cube (non superposables) : - A partir de l’assemblage de 4 carrés, on trouve les patrons suivants : - A partir de l’assemblage de 3 carrés - A partir de l’assemblage de 2 carrés Bibliographie Donner du sens aux mathématiques, Pfaff et Fénichel, Bordas, 2004, (cet ouvrage n’est plus édité) ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 Hatier Travaux géométriques cycle 3 IREM de Lille CRDP du Nord – Pas- de- Calais, 2000 Muriel Fénichel - Novembre 2010 5 Annexe 1 Le jeu du portrait avec des objets géométriques Le jeu du portrait met en œuvre la description d’un objet géométrique et à cette occasion à la mise en place et à l’utilisation d’un vocabulaire géométrique pour désigner l’objet et ses propriétés. Il s’agit de poser des questions pour reconnaître un objet géométrique choisi parmi un ensemble d’objets donnés. Les réponses aux questions ne peuvent être que « oui » ou « non ». Le choix des objets géométriques et de la consigne Ils doivent être choisis en adéquation avec les objectifs que l’on s’est fixé : Par exemple en CP, si l’objectif est la reconnaissance des figures géométriques telles que le carré, le triangle, le rectangle, le disque et la désignation correcte de ces dernières, alors les objets seront choisis parmi ces derniers et la consigne donnée sera la suivante : vous allez me poser des questions pour deviner quelle figure géométrique j’ai choisie. La consigne est ouverte et on n’interdit pas aux élèves d’utiliser le nom des figures. Mais si l’objectif est d’amener les élèves à utiliser les propriétés de ces figures, ici le nombre des côtés, des sommets ou encore l’isométrie des côtés (côtés « pareils », égaux) alors dans la consigne on interdit les questions dans lesquelles intervient le nom des figures. La consigne doit être précise, sans ambiguïté. Elle ne doit pas être modifiée au cours du jeu. Par exemple, en CM1 si l’objectif est de faire apparaître les différences entre le carré, le losange et le rectangle, la consigne pourra être la suivante : vous allez poser des questions pour deviner quelle est la figure que j’ai choisie. Vous poserez des questions sur le nombre d’angles droits et sur le nombre de côtés de même longueur. Vous n’avez pas le droit de nommer les figures. Dans ce cas, les figures choisies seront uniquement des quadrilatères ce qui empêchera les questions relatives au nombre de côtés. Il est bien sûr possible de jouer au jeu du portrait avec des polyèdres. On pourra alors poser des questions sur la nature des faces, le nombre de faces, le nombre de sommets et le nombre d’arêtes. La vérification des propriétés Au cycle 2, les propriétés seront reconnues de manière perceptive, bien qu’il soit possible à la fin du CE1, de faire utiliser le double décimètre et un gabarit d’angle droit pour les vérifier. On le fera de manière systématique au CE2. On pourra aussi utiliser du papier quadrillé pour dessiner les figures. Au CM1 et au CM2, les élèves ne seront plus autorisés à reconnaître les propriétés des figures de manière perceptive. Ils devront vérifier la présence des propriétés à l’aide des outils usuels (gabarit ou équerre pour vérifier la présence d’angles droits, ou de segments perpendiculaires, compas pour vérifier l’isométrie éventuelle de longueurs). Pour cela, une fois la consigne donnée, ils devront analyser les figures données pour savoir quelles propriétés elles possèdent. Par exemple, sur un jeu de portrait portant sur les quadrilatères, si la consigne est de poser des questions sur la présence de côtés égaux et d’angles droits, les élèves devront vérifier, avec les outils adéquats, la présence éventuelle de ces propriétés sur les figures. Cela peut être une bonne occasion pour coder les propriétés présentes dans les figures. Les élèves peuvent, avant de commencer à poser les questions, analyser chacune des figures en mettant en évidence les propriétés sur lesquelles doivent porter les questions, puis trouver un moyen pour s’en rappeler. Le codage ainsi introduit permet alors de lire rapidement les propriétés sur les figures et de ne pas les vérifier à chaque fois. Cela permet de poser des questions plus rapidement et plus efficacement. La manière de gérer les questions Il semble important de noter les questions et les réponses apportées afin de permettre aux élèves de mieux mémoriser les informations que les réponses apportent. En effet, le jeu du portrait permet aussi d’apprendre aux élèves à coordonner des informations et à tenir compte d’une réponse négative. En effet, bien souvent, une réponse négative correspond, pour les élèves, à l’absence d’information et dans ce cas ils ne tiennent pas compte de la réponse. Par exemple, si la réponse à la question « la figure a-t-elle trois côtés ? » est « non », un élève pourra ensuite poser la question suivante : « la figure a-t-elle trois sommets ? ». Le fait de noter les questions et les réponses, permet aussi de mieux cadrer les apprentissages en jeu, d’éviter que le jeu ne devienne qu’une partie de devinettes. Il faut que les élèves puissent prendre conscience qu’à travers le jeu ils font de la géométrie, qu’ils perfectionnent leurs connaissances sur les figures géométriques. Il vaut mieux jouer moins longtemps et prendre plus de temps pour gérer chaque jeu. Muriel Fénichel - Novembre 2010 6 Les difficultés à prendre en compte La difficulté à poser des questions Quand on joue au jeu du portrait avec des élèves de CP, voire avec certains élèves de CE1, il faut prendre en compte leur difficulté à poser des questions. Généralement, ils ne savent pas le faire. Il faut alors le leur apprendre. La difficulté à éliminer les figures à chaque information donnée Il est nécessaire aussi d’apprendre aux élèves à organiser leur recherche et à éliminer les figures qui ne conviennent pas après chaque réponse. C’est pour cette raison, qu’il est plus facile de gérer un jeu de portrait avec des petites affiches sur lesquelles sont dessinées les figures et que les élèves peuvent retourner ou écarter. Si on utilise une feuille sur laquelle sont dessinées les figures, penser à en prévoir plusieurs ou prévoir une feuille de gestion du jeu sur laquelle les élèves pourront à chaque réponse noter les figures qu’ils éliminent ou qu’ils gardent. La difficulté à prendre en compte une réponse négative Voir ci-dessus. Il est alors nécessaire de faire reformuler la réponse autrement de manière à ce qu’elle soit prise en compte. La difficulté à coordonner des informations D’où la nécessité de noter question et réponse et d’aider les élèves à prendre en compte l’ensemble des informations. La difficulté à utiliser de manière correcte certaines questions : Par exemple si à la question « A-t-il deux angles droits ? », on répond « oui », cela ne veut pas dire que la figure a seulement deux angles droits, cela veut dire qu’elle en a au moins deux. Il est donc possible d’amener les élèves à affiner leur question en introduisant les expressions « au moins », « seulement »… Quelques pistes pour prolonger l’activité « jeu du portrait » Il est alors possible, dès le CM1, de proposer aux élèves de résoudre des énigmes géométriques leur permettant de retrouver un polygone parmi plusieurs dessinés sur une feuille : Je suis un quadrilatère Je n’ai pas d’angle droit Tous mes côtés ont la même longueur. Qui suis-je ? Tous mes côtés ont le même longueur J’ai seulement deux angles droits Qui suis-je ? Les énigmes peuvent avoir plusieurs solutions. Dans un deuxième temps, on peut demander aux élèves d’écrire des énigmes pour leur camarade. Ils seront alors amenés à utiliser de manière précise le vocabulaire géométrique introduit. Il est aussi possible d’établir avec les élèves des cartes d’identités des figures étudiées. On ne donnera pas de définition de ces figures mais la carte d’identité déclinera toutes les propriétés de la figure même si elles sont redondantes pour la définir. Exemple : Le rectangle Quadrilatère 4 angles droits 2 côtés opposés égaux alors qu’on sait qu’une condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit un rectangle est qu’il ait trois angles droits. La notion de condition suffisante ne relève pas de l’école élémentaire. On peut juste approcher cette notion au CM2 en faisant construire aux élèves un quadrilatère qui a trois angles droits et leur faire constater que c’est bien un rectangle parce qu’il possède les propriétés écrites sur la carte d’identité. La carte d’identité peut s’enrichir au fur et à mesure qu’on approfondit ses connaissances sur les figures, par exemple en introduisant les propriétés sur les diagonales ou la présence éventuelle d’axes de symétrie. Muriel Fénichel - Novembre 2010 7 Annexe 2 Muriel Fénichel - Novembre 2010 8 Muriel Fénichel - Novembre 2010 9 Annexe 3 Muriel Fénichel - Novembre 2010 10
