A L G E B R E CE QU`IL FAUT SAVOIR POUR COMMENCER

A L G E B R E
Chapitre 1
CE QU'IL FAUT SAVOIR
POUR COMMENCER
1.1. Les nombres réels
Nous allons utiliser les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres rationnels et
irrationnels.
Exemples
0, 1, 2 et 1024
sont des des entiers naturels.
-4; 0; 2; -333 et 567
sont des entiers relatifs.
3
22
`` et -4,5 sont des nombres rationnels.
- 4 ; 0; 7 ; 1,23
π = 3,1415… et 2 = 1,414…
sont des nombres irrationnels.
Notation
Ensemble des entiers naturels: N = {0; 1; 2; 3; … }
Ensemble des entiers relatifs: Z = { …; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
Ensemble des nombres rationnels:
p
Q = { q | p∈ Z et q∈ Z * }
Il n'y a pas de notation particulière pour l'ensemble des nombres irrationnels.
Tous ces nombres (entiers naturels, entiers relatifs, rationnels et irrationnels) appartiennent à un
même ensemble, l'ensemble R des nombres réels.
Pour nous, un nombre réel sera simplement un nombre qui peut s'écrire en utilisant les chiffres 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9 et, éventuellement, une virgule et un signe (+ ou -).
Exemples
2,333… = 2,3`
45,6
-0,03000… = -0,03
5
7
``````
= 0,714285714285714… = 0,714285
-57,000… = -57
0,10110111011110111110…
En algèbre, on représente souvent les nombres réels par des lettres, les premières lettres de
l'alphabet latin (a, b, c, d, …) pour représenter des valeurs connues ou constantes et les dernières
(…, x, y, z) pour les inconnues ou les variables.
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1.2. Propriétés des nombres réels
Les nombres réels jouissent des propriétés ci-dessous, càd que quelques soient les valeurs que l'on
donne aux lettres a, b et c, les relations suivantes sont toujours vraies:
a+b = b+a
a·b = b·a
a+(b+c) = (a+b)+c
0+a = a
a·(b·c) = (a·b)·c
1·a = a
1
a+(-a) = 0
a· a = 1
a·(b+c) = a·b + a·c
Remarques
On dit que
commutativité
associativité
élément neutre
élément symétrique
distributivité
"0" est l'élément neutre de l'addition
"1" est l'élément neutre de la multiplication
"-a" est l'opposé de "a"
"1 " est l'inverse de "a" (on le note parfois a-1, càd 1 = a-1)
a
a
Règles de la multiplication par zéro
Le nombre zéro jouit de deux propriétés très particulières;
1) lorsque l'on multiplie par zéro, on trouve toujours zéro:
a·0 = 0·a = 0
2) si le produit de deux nombres vaut zéro, alors un des deux nombres (au moins) est zéro:
si a·b = 0, alors a = 0 ou b = 0
Nous utiliserons très souvent ces deux propriétés que nous appellerons "règles de la multiplication
par zéro".
Par rapport à la relation "est plus petit ou égal à" que l'on note "≤", les nombres réels vérifient les
propriétés suivantes, quelques soient les valeurs de a, b et c:
a≤a
a ≤ b ou b ≤ a (ou les deux)
si a ≤ b et b ≤ a, alors a = b
si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c
Remarque
a ≤ b signifie que "a est plus petit ou égal à b" (ou bien que "b est plus grand ou égal à a")
dans le sens suivant: si l'on place les nombres a et b sur un axe représentant l'ensemble des
nombres réels, alors b sera à droite de a.
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a
R
b
La flèche qui figure sur l'axe montre la direction dans laquelle les nombres augmentent.
D'un point de vue arithmétique, a ≤ b si le nombre (b – a) est positif.
Exemples
4 ≤ 7, car 7 – 4 = 3
-7 ≤ -4 , car -4 – (-7) = -4 + 7 = 3
1.3. Nombres positifs et nombres négatifs.
Les nombres positifs sont des nombres plus grands ou égaux à zéro et les nombres négatifs sont
plus petits ou égaux à zéro.
Les nombres réels vérifient la règle des signes pour la multiplication:
(positif)·(positif) = positif
(négatif)·(positif) = négatif
(positif)·(négatif) = négatif
(négatif)·(négatif) = positif
De cette règle découle une propriété caractéristique des nombres réels:
un nombre réel au carré ne peut pas être négatif càd a2 ≥ 0
En effet,
ou bien ce nombre est positif et alors son carré est positif,
ou bien ce nombre est négatif et alors son carré est positif,
ou bien ce nombre est zéro et alors son carré est zéro.
On sait que les nombres négatifs s'écrivent avec un signe "-", alors que le signe "+" est facultatif
devant l'écriture d'un nombre positif.
Le fait d'écrire le signe "–" devant le nombre "a" ne signifie pas que le nombre "-a"
est négatif, mais simplement qu'il est de signe opposé à celui de "a":
si a = 3, alors -a = -3
si a = -5, alors -a = -(-5) = 5
Il existe un lien entre "opposé" et "soustraction"; non seulement les deux notions utilisent le signe
"-", mais, par définition, "soustraire, c'est additioner l'opposé":
a – b = a + (-b).
Remarque
On utilise souvent la relation:
a – b = -(b – a)
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Exemples
3 – 2x = -(2x – 3)
(y – x)(x – y) = -(x – y)(x – y) = -(x – y)2
1.4. Opérations sur les fractions
On sait que deux fractions sont égales si et seulement si le produit du numérateur de la première
fraction par le dénominateur de la deuxième est égal au produit du dénominateur de la première
fraction par le numérateur de la deuxième (produit en croix):
a
c
=
b
d
ssi
a·d = b·c
Exemple
4 6
6 = 9 car 4·9 = 6·6
Amplifier une fraction, c'est multiplier son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
Amplifier ou simplifier une fraction ne change pas sa valeur, en effet:
a·c
a
=
b·c
b car (a·c)·b = a·(b·c)
Exemple
36
3·12 3
24 = 2·12 = 2
Dans cet exemple, il s'agit d'une simplification si l'on lit l'égalité de
gauche à droite et d'une amplification si on la lit de droite à gauche.
Amplification et simplification sont des actions contraires l'une de l'autre.
Une fraction est appelée irréductible lorsqu'il nest plus possible de la simplifier, sinon on l'appelle
réductible.
Exemple
36
3
24 est réductible, car on peut la simplifier par 12, mais la fraction obtenue, 2 , est
irréductible.
Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur de la fraction:
Exemples
5
10
2·7 = 7
a
a·n
n·b = b
Pour diviser une fraction par un nombre entier, on divise le dénominateur de la fraction:
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Exemples
5
5
:
2
=
7
14
a
a
:
n
=
b
b·n
On sait que l'addition et la multiplication des fractions sont définies comme suit:
a c a·d + b·c
b + d = b·d
a c a·c
b · d = b·d
a
b
L'inverse de la fraction b est la fraction a , on voit que prendre l'inverse d'une fraction, c'est
inverser numérateur et dénominateur.
On sait aussi que "diviser par une fraction, c'est multiplier par la fraction inverse".
Exemple
3
4
3
4
L'inverse dela fraction 4 est la fraction 3 , donc diviser par 4 , c'est multiplier par 3 :
9
8
3
4
9 3
9 4
3
=8 :4 =8 ·3 =2
Remarque
L'égalité suivante montre qu'il y a plusieurs façons de "voir" une fraction
b
a·b
a
1
a · c = c = c · b = a·b· c
Souvent un bon choix d'écriture facilite la compréhension !!
1.5. Puissances entières
Définition
si a est un nombre réel et n un nombre naturel, alors
an = a·a·a·…·a
(produit de n facteurs a)
a est la base et n la puissance ou l'exposant.
an se lit "a puissance n" ou "a exposant n".
Cette définition de la puissance d'un nombre ressemble à une abréviation: il est en effet plus court
d'écrire "a5" que "a·a·a·a·a".
De cette définition, il découle que les puissances vérifient les propriétés suivantes, quelques soient
les nombres réels a et b et les entiers naturels n et m:
an·am = an+m
(an)m = an·m
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(a·b)n = an·bn
a
an
(b )n = bn
La première de ces formule ce démontre comme suit:
an·am = (a·a·…·a )·(a·a·a·…·a ) = a·a·…·a·a·a·a·…·a = an+m
♦n∅
♦m∅
♦ n+m ∅
et les autres de la même façon.
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1.6. Parenthèses et ordre des opérations.
Le rôle principal des parenthèses dans l'écriture mathématique est de séparer les opérations les unes
des autres.
Si l'on n'avait pas de convention sur l'ordre des opérations, il faudrait mettre entre parenthèses
chaque expression contenant une opération et les deux nombres s'y rapportant:
((3·4) + (2+5))
((3·(42)) – ((5·4)·2))
On devrait alors effectuer les opérations à l'intérieur d'une paire de parenthèses qui ne contient pas
de parenthèse et on conviendrait de ne pas écrire de parenthèse autour d'un nombre seul:
((3·4) + (2+5)) = (12 + 7) = 19
((3·(42) – ((5·4)·2)) = ((3·16) – (20·2)) = (48 – 40) = 8
La convention sur l'ordre des opérations permet d'économiser en écriture, mais demande plus
d'attention lors des calculs !!
Ordre des opérations
Pour déterminer la valeur d'une expression arithmétique, il faut effectuer les différentes opérations
en suivant l'ordre indiqué par les règles ci-dessous:
1˚ les opérations à l'intérieur d'une paire de parenthèses qui ne contient pas de parenthèse
2˚ les puissances (et les racines)
3˚ les multiplications et les divisions (de gauche à droite)
4˚ les additions et les soustractions (de gauche à droite)
Exemple
10 – 2(5 9 – 3·22 ) = 10 – 2(5·3 – 3·4) = 10 – 2(15 – 12) = 10 – 2·3 = 10 – 6 = 4
Remarques
1) Si, dans une écriture sans parenthèse, il ne reste que des multiplications et des divisions
(ou que des additions et des soustractions) il faut effectuer ces opérations de gauche à
droite:
3·8:4·2 = 24:4·2 = 6·2 = 12
7 – 2 + 5 = 5 + 5 = 10
2) En général, on n'écrit pas de parenthèse autour d'un nombre seul:
(12) = 12
(-3) = -3
3) La barre de fraction représente une division, mais attention à l'ordre des opérations:
3+4
2·3 s'écrit, sans la barre de fraction, (3+4):(2·3).
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1.7. Vocabulaire et terminologie.
Il est nécessaire maintenant de revenir sur certains des termes utilisés dans cette introduction et
d'essayer d'en préciser le sens.
Une expression mathématique est une écriture qui utilise des nombres, des lettres représentant des
nombres, des signes d'opérations, des symboles de fonctions, etc …, mais qui ne contient pas de
signe de relation comme = ; < ; > ; ≤ ou ≥.
Exemples
1) x2 – 3x + 2
f(x)·g(x)
2) 3x – 5 = 2
4 > -2x
mathématiques.
x+4
sont des expressions mathématiques,
1024 est grand
ne sont pas des expressions
Une équation est une égalité de deux expressions mathématiques.
Exemples
x2 + 3 = 4x
f(x) = g(x)
x+2 = x+2
Une inéquation est une relation du type < , > , ≤ ou ≥ entre deux expressions mathématiques.
Exemples
x2 + 3 > 4x
f(x) ≤ g(x)
x+2 – x+2 ≥ 0
Une formule (mathématique) est une relation (= , < , > , ≤ , ≥) toujours vraie entre deux
expressions mathématiques.
Exemples
1) a·(b+c) = a·b + a·c
2) x2 + 3x > 0
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
x2 + 2x = 5x – 3
a2 ≥ 0
sont des formules.
ne sont pas des formules.
Une propriété est une formule mathématique que, généralement, on peut démontrer.
Exemples
a2 ≥ 0
(a·b)n = an ·bn
sont des propriétés que l'on peut démontrer.
Un axiome est une formule que l'on ne peut pas démontrer, mais que l'on admet pour vraie.
Exemples
a+b = b+a
a·(b+c) = a·b + a·c
sont des axiomes des nombres réels.
Il est très difficile de définir le terme "définition" ! Cependant on peut dire qu'en mathématique, une
définition est une explication qui donne un sens à une écriture ou à un mot qui n'avait pas encore
de signification mathématique.
Exemple
Avant d'entendre parler de "puissance" et de voir l'écriture "a5 ", on ne savait pas ce que
signifiait ces termes en mathématique:
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la formule an = a·a·a·…·a
définit "an", car le terme de droite de l'égalité est une
expression dont on connaît déjà le sens.
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