Chapitre. Opérations sur les nombres en écriture

Chapitre.
Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire.
I.Sommes et différences de nombres en écriture fractionnaire (pas dans le socle)
propriété admise: Pour calculer la somme ou la différence de deux nombres en écriture fractionnaire,
ceux-ci doivent avoir le même dénominateur.
Lors du calcul, on conserve les dénominateurs.
a b a+b
+ =
c est non nul. on additionne les numérateurs.
c c
c
a−b
a b
=
c est non nul. on soustrait les numérateurs.
c −c
c
3
2
5
exemple 1:
+
=
11 11 11
Démonstration: on note x le quotient de a par c , et y le quotient de b par c.
On a: cx = a et cy = b
donc cx + cy = a + b
donc c ( x + y ) = a + b
a+b
donc x + y =
c
a b a+b
donc + =
c c
c
La démonstration est identique pour la soustraction.
Technique: Pour calculer la somme ou la différence de plusieurs nombres en écriture fractionnaire, il faut
REDUIRE les différentes écritures au même dénominateur.
5 7
+
12 8
24 est un multiple commun à 12 et 8. On peut donc choisir
24 comme dénominateur commun
10 21
+
A=
24 24
31
A=
24
7 5
−
3 12
7×4 5
B=
−
3 × 4 12
28 5
B=
−
12 12
23
B=
12
A=
II.
B=
Produit de nombres en écriture fractionnaire.
1 a
théorème: a × = .
b b
Cette relation est à connaître dans les capacités du programme,
mais n'est pas dans les exigibles du socle.
Démonstration: on note q le quotient de 1 par b.
b×q=1
a×b×q=a×1
a× q×b=a
(a×q)×b=a
a
a×q=
b
a×1 a
Donc
=
b
b
Illustration:
5
6 × = 6 × 2,5
2
5
6 × = 15
2
6 × 5 30
=
2
2
6×5
=15
2
b a×b
Corollaire: a × =
c
c
a
= ×b
c
b
1
=a×(b× )
c
c
b
1
a× =(a×b)×
c
c
b a×b
a× =
c
c
Démonstration: a ×
6
×5=3×5
2
6
× 5 = 15
2
On a donc bien: 6 ×
5 6×5 6
=
= ×5
2
2
2
Propriété admise: pour calculer le produit de nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les
dénominateurs entre eux et les numérateurs entre eux.
a
c ac
× d = b d b et d sont différents de 0.
b
seule la multiplication des nombres positifs en écriture fractionnaire est un exigible du socle.
Démonstration
On note x le quotient de a par b et y le quotient de c par d.
On a donc b x = a et dy = c
Donc b x × d y = a c
donc x y × b d = a c
ac
a c ac
donc x y =
donc × =
bd
b d bd
Exemple:
3 5
3×5
×
=
4 11 4 × 11
III.
3 5 15
×
=
4 11 44
Inverse hors socle
Définition: on appelle inverse du nombre x (x différent de 0) le nombre y tel que: x y = 1.
Autre formulation: 2 nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à 1.
exemple 1:
0,5 est l'inverse de 2.
Propriété : Si a et b sont non nuls, l'inverse de
a
b
est .
b
a
5
3
l'inverse de 3 est 5 .
a
Démonstration: On note x = . On sait que pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaire, on
b
multiplie les dénominateurs entre eux et les numérateurs entre eux.
a b
ab
1
Remarque: l'inverse d'un nombre B est donc B
b × a = ba = 1
exemple 2:
IV.
Division par un quotient hors socle
Théorème: diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse.
1
A×1
2
18
9
Démonstration: A × B = B
Exemple: 9 × 3 = 3 = 6
2 =
3
A
=B
Diviser par B, c'est bien multiplier par
a c a d
: = × b, c et d sont différents de 0.
b d b c
Démonstration: L'inverse de
9
1,5 = 6
1
B.
c
d
est . Avec la règle précédente, on a la solution.
d
c
Théorème:
Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif. C'est-à-dire:
Le quotient de deux nombres positifs est un nombre positif;
Le quotient de deux nombres négatifs est un nombre positif
Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraire est un nombre négatif.
Dans tous les cas, la distance à zéro du quotient est le quotient des distances à zéro,