Ch11 : Multiples et diviseurs 1 Multiples et diviseurs 2 Critères de

Ch11 : Multiples et diviseurs
Objectifs
• Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10.
• Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9.
• Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée.
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• Calculer le quotient et le reste d’une division d’un entier par un
entier dans des cas simples.
• Connaître et utiliser le vocabulaire associé (dividende, diviseur,
quotient, reste).
Multiples et diviseurs
Définition (Multiples)
Soient a et b deux nombres entiers positifs. Lorsque le reste de la division de a par b est égal à zéro, on dit que a est
un multiple de b, ou que b est un diviseur de a, ou encore que a est divisible par b.
Exemple : 15 est un multiple de 3, car 15 = 3 × 5.
Autrement dit, 3 est un diviseur de 15, ou encore 15 est divisible par 3.
17 n’est pas un multiple de 3, car 17 = 3 × 5 + 2.
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Critères de divisibilité
Théorème (Critères de divisibilité)
Pour savoir si un nombre donné est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10, on utilise les critères suivants :
• Un nombre sera divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Un nombre sera divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
• Un nombre est divisible par 4 lorsque le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
• Un nombre sera divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
• Un nombre sera divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
• Un nombre sera divisible par 10 s’il se termine par 0.
Exemple :
– 126 est divisible par 2 car le chiffre des unités est 6,
mais 125 n’est pas divisible par 2 car le chiffre des unités est 5.
– 252 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres 2 + 5 + 2 = 9 est multiplesde 3,
mais 254 n’est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres 2 + 5 + 3 = 10 n’est pas multiples de 3.
– 944 est divisible par 4 car 44 est divisible par 4,
mais 945 n’est pas divisible par 4 car 45 n’est pas divisible par 4.
– 155 est divisible par 5 car le chiffre des unités est 5,
mais 156 n’est pas divisible par 5 car le chiffre des unités est 6.
– 52 362 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres 5 + 2 + 3 + 6 + 2 = 18 est multiple de 9,
mais 52 363 n’est pas divisible par 9 car la somme de ses chiffres 5 + 2 + 3 + 6 + 3 = 19 n’est pas multiple de 9.
– 2 610 est divisible par 10 car le chiffre des unités est 0,
mais 2 611 n’est pas divisible par 10 car le chiffre des unités est 1.
Exemple : Le
– est divisible
– est divisible
– est divisible
– est divisible
– est divisible
nombre 4140
par 2, car il se termine par le chiffre 0.
par 3, car 4 + 1 + 4 + 0 = 9 qui est un multiple de 3.
par 4, car 40 est divisible par 4.
par 5, car il se termine par le chiffre 0.
par 9, car 4 + 1 + 4 + 0 = 9 qui n’est pas un multiple de 9.
Remarque : Pour savoir si un nombre est divisible par 3, on peut calculer la somme des chiffres du nombre obtenu jusqu’à
ce qu’on trouve un seul chiffre.
Pour 563 387 982, on calcule : 5 + 6 + 3 + 3 + 8 + 7 + 9 + 8 + 1 = 51.
Puis on calcule 5 + 1 = 6.
6 n’est pas divisible par 3 donc 563 387 982 n’est pas divisible par 3.
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Ch11 : Multiples et diviseurs
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Division Euclidienne
Définition
Une division définit une situation de partage. La quantité à partager est appelée dividende et le nombre de parts le
diviseur. La quantité par part est appelé le quotient.
On parle de division euclidienne lorsque le dividende, le diviseur et le quotient sont entiers.
Exemple : On dispose de 250 fleurs. On veut faire 35 bouquets.
2 5 0 35
− 2 4 5 7 : dans chaque bouquet, il y aura 7 fleurs et il restera 5 fleurs en plus car7×35+5 = 245+5 = 250.
5
Dans cette division euclidienne, le dividende est 250, le diviseur est 35, le quotient est 7 et le reste est 5.
4
a.
Division décimale
Division décimale de deux nombres entiers
Règle
Lorsqu’on a effectué la division euclidienne de deux nombres entiers, on peut faire la division décimale du reste : on
l’exprime en dixièmes, ce qui permet de calculer le chiffre des dixièmes du quotient. On continue de la même façon
pour les centièmes, les millièmes, . . .
Exemple :
−
0
35
5
7,1
5 0
− 3 5
1 5
50 peut être partagé 1 fois
en 35 et il reste 15,
−
0
35
5
7
5
On effectue la division euclidienne de 250 par 35,
−
b.
2
2
5
4
2
2
5
4
2
2
5
4
0
5
5
3
1
1
35
7,14
0
5
5 0
−
4 0
1 0
15 dixièmes valent 150 centièmes et 150 peut
être partagé 4 fois en 35 et il reste 10.
−
Division d’un nombre décimal par un nombre entier
Règle
Lorsque l’on effectue la division d’un nombre décimal par un nombre entier, lorsqu’on abaisse le chiffre des dixièmes
du dividende, on place une virgule au quotient.
Exemple :
1
3,
1
2
2
4
2
6,
En 13, on a 6 fois 2 et il reste 1 : on abaisse le 2 et
on place la virgule au quotient.
c.
1
3,
1
2
2
0
4
2
6,62
4
0
En 12, on a 6 fois 2 et il reste 0 : on abaisse le 4 . . .
Division par un nombre décimal
Règle
Pour effectuer une division dont le diviseur est décimal, on l’écrit comme une fraction et on multiplie le numérateur
et le dénominateur par 10, 100 ou 1000 . . .afin que le dénominateur soit entier.
Exemple : Pour calculer 254 ÷ 2, 31, on écrit : 254 ÷ 2, 31 =
Il reste à effectuer la division 25400 ÷ 231 . . .
2
254 × 100
25400
254
=
=
= 25400 ÷ 231.
2, 31
2, 31 × 100
231